高考数学专题复习课件：1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 49页

§1.3 　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的含义 .2. 理解全称量词与存在量词的意义 .3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定． p q p ∧ q p ∨ q 綈 p 真 真 ___ 真 假 真 假 ___ 真 假 假 真 假 真 ___ 假 假 假 ___ ___ 真 假 假 真 真 2. 全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ___ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ___ ∀ ∃ 3. 全称命题和特称命题 (4) 全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词． ( 　　 ) (5) 写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词． ( 　　 ) (6) ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) 与 ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) 的真假性相反． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) √ 【 解析 】 由题意知命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，所以 p ∨ q 为真命题．故选 A. 【 答案 】 A 2 ． (2016· 浙江 ) 命题 “ ∀ x ∈ R ， ∃ n ∈ N * ，使得 n ≥ x 2 ” 的否定形式是 ( 　　 ) A ． ∀ x ∈ R ， ∃ n ∈ N * ，使得 n ＜ x 2 B ． ∀ x ∈ R ， ∀ n ∈ N * ，使得 n ＜ x 2 C ． ∃ x ∈ R ， ∃ n ∈ N * ，使得 n ＜ x 2 D ． ∃ x ∈ R ， ∀ n ∈ N * ，使得 n ＜ x 2 【 解析 】 ∀ 的否定是 ∃ ， ∃ 的否定是 ∀ ， n ≥ x 2 的否定是 n ＜ x 2 . 故选 D. 【 答案 】 D 3 ． (2015· 浙江 ) 命题 “ ∀ n ∈ N * ， f ( n ) ∈ N * 且 f ( n ) ≤ n ” 的否定形式是 ( 　　 ) A ． ∀ n ∈ N * ， f ( n ) ∉ N * 且 f ( n ) ＞ n B ． ∀ n ∈ N * ， f ( n ) ∉ N * 或 f ( n ) ＞ n C ． ∃ n 0 ∈ N * ， f ( n 0 ) ∉ N * 且 f ( n 0 ) ＞ n 0 D ． ∃ n 0 ∈ N * ， f ( n 0 ) ∉ N * 或 f ( n 0 ) ＞ n 0 【 解析 】 写全称命题的否定时，要把量词 ∀ 改为 ∃ ，并且否定结论，注意把 “ 且 ” 改为 “ 或 ” ． 故选 D. 【 答案 】 D 【 答案 】 1 【 答案 】 ①②③ 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 【 例 1 】 (1) 已知命题 p ： m ， n 为直线， α 为平面，若 m ∥ n ， n ⊂ α ，则 m ∥ α ，命题 q ：若 a ＞ b ，则 ac ＞ bc ，则下列命题为真命题的是 ( 　　 ) (2) 已知命题 p ：若 x ＞ y ，则－ x ＜－ y ；命题 q ：若 x ＞ y ，则 x 2 ＞ y 2 . 在命题 ① p ∧ q ； ② p ∨ q ； ③ p ∧ ( 綈 q ) ； ④ ( 綈 p ) ∨ q 中，真命题是 ( 　　 ) A ． ①③ B ． ①④ C ． ②③ D ． ②④ 【 答案 】 (1)B 　 (2)C 【 答案 】 B 【 答案 】 (1)B 　 (2)D 【 答案 】 (1)C 　 (2)D 【 方法规律 】 (1) 判定全称命题 “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x ，证明 p ( x ) 成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个 x ＝ x 0 ，使 p ( x ) 成立． (2) 对全 ( 特 ) 称命题进行否定的方法 ① 找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ② 对原命题的结论进行否定． 【 答案 】 (1)D 　 (2)C 题型三　由命题的真假求参数的取值范围 【 例 4 】 已知命题 p ：关于 x 的方程 x 2 － ax ＋ 4 ＝ 0 有实根；命题 q ：关于 x 的函数 y ＝ 2 x 2 ＋ ax ＋ 4 在 [3 ，＋ ∞ ) 上是增函数．若 p ∨ q 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 【 答案 】 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 探究 1 在本例条件下，若 p ∧ q 为真命题，求实数 a 的取值范围． 【 解析 】 ∵ p ∧ q 为真， ∴ p 和 q 均为真， ∴ a 的取值范围为 [ － 12 ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ) ． 探究 2 在本例条件下，若 p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求实数 a 的取值范围． 【 解析 】 由 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假．若 p 真 q 假，则 a ＜－ 12 ；若 p 假 q 真，则－ 4 ＜ a ＜ 4. 故 a 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 12) ∪ ( － 4 ， 4) ． 【 方法规律 】 根据命题真假求参数的方法步骤 (1) 先根据题目条件，推出每一个命题的真假 ( 有时不一定只有一种情况 ) ； (2) 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3) 最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 跟踪训练 3 (1) 已知命题 p ： “ ∀ x ∈ [1 ， 2] ， x 2 － a ≥ 0 ” ，命题 q ： “ ∃ x ∈ R ，使 x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 － a ＝ 0 ” ，若命题 “ p 且 q ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A ． { a | a ≤ － 2 或 a ＝ 1} B ． { a | a ≥ 1} C ． { a | a ≤ － 2 或 1 ≤ a ≤ 2} D ． { a | － 2 ≤ a ≤ 1} (2) (2017· 福建厦门双十中学期中 ) 已知 p ：存在 x ∈ R ， mx 2 ＋ 1 ≤ 0 ， q ：任意 x ∈ R ， x 2 ＋ mx ＋ 1 ＞ 0. 若 p 且 q 为真命题，则实数 m 的取值范围是 ( 　　 ) A ． m ＜ 2 B ．－ 2 ＜ m ＜ 2 C ． 0 ＜ m ＜ 2 D ．－ 2 ＜ m ＜ 0 【 解析 】 (1) ∵“ p 且 q ” 为真命题， ∴ p 、 q 均为真命题， ∴ p ： a ≤ 1 ， q ： a ≤ － 2 或 a ≥ 1 ， ∴ a ≤ － 2 或 a ＝ 1. (2) 关于 p ：存在 x ∈ R ， mx 2 ＋ 1 ≤ 0 ， ∴ m ＜ 0 ；关于 q ：任意 x ∈ R ， x 2 ＋ mx ＋ 1 ＞ 0 ，则 Δ ＝ m 2 － 4 ＜ 0 ，解得－ 2 ＜ m ＜ 2. 因为 p 且 q 为真命题，所以 p ， q 均为真命题，则实数 m 的取值范围是－ 2 ＜ m ＜ 0. 故选 D. 【 答案 】 (1)A 　 (2)D 【 答案 】 C 【 温馨提醒 】 判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立 ( 有解、无解 ) ，然后再利用逻辑用语进行判断． 二、求参数的取值范围 【 典例 2 】 已知命题 p ： “ ∀ x ∈ [0 ， 1] ， a ≥ e x ” ；命题 q ： “ ∃ x ∈ R ，使得 x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝ 0 ” ． 若命题 “ p ∧ q ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 【 解析 】 若命题 “ p ∧ q ” 是真命题，那么命题 p ， q 都是真命题．由 ∀ x ∈ [0 ， 1] ， a ≥ e x ，得 a ≥ e ；由 ∃ x ∈ R ，使 x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝ 0 ，知 Δ ＝ 16 － 4 a ≥ 0 ， a ≤ 4 ，因此 e ≤ a ≤ 4. 【 答案 】 [e ， 4] 【 温馨提醒 】 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围． 三、利用逻辑推理解决实际问题 【 典例 3 】 (1) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ， B ， C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为 ________ ． (2) 对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名． 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第 ________ 名． 【 解析 】 (1) 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说 “ 三人去过同一城市 ” ，说明甲去过 A ， C 城市，而乙 “ 没去过 C 城市 ” ，说明乙去过城市 A ，由此可知，乙去过的城市为 A . (2) 由上可知：甲、乙、丙均为 “ p 且 q ” 形式，所以猜对一半者也说了错误 “ 命题 ” ，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名． 【 答案 】 (1) A 　 (2) 一 【 温馨提醒 】 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题 . ► 方法与技巧 1 ．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现 “ 或 ” 、 “ 且 ” 时，要结合语句的含义理解． 2 ．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是 “ 改量词，否结论 ” ． ► 失误与防范 1 ． p ∨ q 为真命题，只需 p 、 q 有一个为真即可； p ∧ q 为真命 题，必须 p 、 q 同时为真． 2 ．两种形式命题的否定 p 或 q 的否定：非 p 且非 q ； p 且 q 的否定；非 p 或非 q . 3 ．命题的否定与否命题 “ 否命题 ” 是对原命题 “ 若 p ，则 q ” 的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论； “ 命题的否定 ” 即 “ 非 p ” ，只是否定命题 p 的结论 .