2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-1空间几何体的结构特征及直观图练习新人教B版 5页

‎8.1 空间几何体的结构特征及直观图 核心考点·精准研析 考点一　空间几何体的结构特征 ‎ ‎1.以下命题:‎ ‎①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;‎ ‎②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;‎ ‎③以矩形的任意一边所在直线为轴,其余三边旋转一周所得的旋转体是圆柱;‎ ‎④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.‎ 其中正确命题的个数为 (　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.以下四个命题中,真命题为 (　　)‎ A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.直四棱柱是直平行六面体 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 ‎3. 下列结论:‎ ‎①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;‎ ‎②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;‎ ‎③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;‎ ‎④圆柱的任意两条母线相互平行.‎ 其中正确的是 (　　)‎ A.①② B.②③ C.①③ D.②④‎ ‎4.若四面体的三对相对棱分别相等,则称之为等腰四面体,若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直,则称之为直角四面体,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点,可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为 (　　)‎ A.2,8 B.4,12 C.2,12 D.12,8‎ ‎【解析】1.选B.由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.‎ 5‎ ‎2.选D.对于A,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故A是假命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故B是假命题;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故C是假命题;由棱台的定义知D是真命题.‎ ‎3.选D.①所取的两点的连线与圆柱的轴所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线定义不符.③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.‎ ‎4.选A.因为矩形的对角线相等,所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的,所以长方体中有8个直角四面体.‎ ‎　解决空间几何体概念辨析题的常用方法 ‎(1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.‎ ‎(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.‎ ‎【秒杀绝招】　优选法解T2,根据棱台的概念知,所有侧棱交于一点,故D正确,A,B,C可以不予考虑.‎ 考点二　空间几何体的表面积与体积 ‎ 命 题 精 解 读 考什么：(1)考查求几何体的表面积与体积.‎ ‎(2)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.‎ 怎么考：(1)由几何体求表面积或体积.(2)与平行、垂直的性质、判定相结合考查.‎ 新趋势：以柱、锥、台、球为载体，结合线面垂直等知识考查.‎ 学 霸 好 方 法 空间几何体表面积、体积的求法 ‎(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.‎ ‎(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.‎ 5‎ 求空间几何体的表面积或侧面积 ‎【典例】(2018·全国卷I)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)‎ A.12π B.12π C.8π D.10π ‎【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2,底面半径r=,所以该圆柱表面积S=π·()2·2+2π··2=12π.‎ 面积为8的正方形截面的边长与圆柱的高及底面半径有何关系?‎ 提示:正方形边长与圆柱高相等,是底面半径的2倍.‎ 求空间几何体的体积 ‎【典例】(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为_____g. ‎ ‎【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2),‎ V=6×6×4-×12×3=132(cm3).‎ m=ρV=0.9×132=118.8(g).‎ 答案:118.8‎ ‎(1)求制作该模型所需原料的质量实际是求面积还是体积问题?‎ 提示:体积问题.‎ ‎(2)模型的体积与长方体体积和四棱锥体积之间有何关系?‎ 提示:模型的体积是长方体体积和四棱锥体积之差.‎ 5‎ ‎1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________. ‎ ‎【解析】=‎ ‎=·AB ‎=××1×1×1=.‎ 答案:‎ ‎2.圆锥的全面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为_________cm3. ‎ ‎【解析】设底面圆的半径为r cm，母线长为a cm，则侧面积为×(2πr)a=‎ πra.由题意得解得故圆锥的高h= =5，所以体积为V=πr2h=π××5=π(cm3).‎ 答案：π ‎1.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为 (　　)‎ 5‎ A.3 B. C.1 D.‎ ‎【解析】选C.如题图,因为△ABC是正三角形,‎ 且D为BC中点,则AD⊥BC.‎ 又因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,‎ 故BB1⊥AD,且BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1,‎ 所以AD是三棱锥A-B1DC1的高.‎ 所以=·AD=××=1.‎ ‎2. (2020·佛山模拟)如图是一个铸铁零件,它是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体,圆柱的底面直径与高均为2厘米,正四棱柱底面边长为2厘米,侧棱为3厘米,则该零件的质量为________克.(铁的密度约为7.4克/厘米3,结果精确到0.1克) ‎ ‎【解析】半圆柱的体积=πr2h=0.5π×2=π(厘米3),正四棱柱的体积=底面积×高=2×2×3=12(厘米3),所以铸铁零件的体积=(12+π)厘米3,所以铸铁零件的质量=体积×密度=(12+π)×7.4≈112.0(克).‎ 答案:112.0‎ 5‎