2021高考数学一轮复习专练30等差数列及其前n项和含解析理新人教版 4页

专练30　等差数列及其前n项和 命题范围：等差数列的概念和性质、等差数列的通项公式及前n项和公式 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·广东测试]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．10‎ ‎2．[2020·四川成都测试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝，S10＝15，则a7＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)‎ A．－12 B．－10‎ C．10 D．12‎ ‎4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎5．[2020·湖南怀化月考]等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7＝22，S11＝143.若Sn>195，则n的最小值为(　　)‎ A．13 B．14‎ C．15 D．16‎ ‎6．[2020·皖南八校联考]已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)‎ A．－3 B．－ C．－2 D．－4‎ ‎7．[2020·江西师大附中高三测试]已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7＝(　　)‎ A．13 B．49‎ C．35 D．63‎ ‎8．[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)‎ A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 ‎9．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)‎ A．an＝2n－5 B．an＝3n－10‎ C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 二、填空题 ‎10．[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝‎3a1，则＝________.‎ ‎11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝________.‎ ‎12．[2020·广东惠州一调]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为______．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·山东泰安测试]我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺．‎ ‎14．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足a2016＋a2017＝π，b20b21＝4，则tan＝(　　)‎ A. B. C．1 D．－1‎ ‎15．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ ‎16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围是________．‎ 专练30　等差数列及其前n项和 ‎1．D　设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，‎ ‎∴ 整理得解得∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.故选D.‎ ‎2．A　设等差数列{an}的首项为a1，则由等差数列{an}的前n项和为Sn及S10＝15，得＝15，所以a1＋a10＝3.由等差数列的性质，得a1＋a10＝a4＋a7，所以a4＋a7＝3.又因为a4＝，所以a7＝.故选A.‎ ‎3．B　设等差数列{an}的公差为d，‎ 则3＝‎2a1＋d＋‎4a1＋d，‎ 得d＝－a1，又a1＝2，‎ ‎∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.‎ ‎4．C　∵S6＝＝48，∴a1＋a6＝16，‎ 又a4＋a5＝24，‎ ‎∴(a4＋a5)－(a1＋a6)＝8，‎ ‎∴3d－d＝8，d＝4.‎ ‎5．B　设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝22，所以‎2a5＝22，即a5＝11.‎ 又因为S11＝＝＝143，解得‎11a6＝143，即a6＝13.‎ 所以公差d＝a6－a5＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，‎ 所以Sn＝＝(n＋2)n.‎ 令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n<－15(舍)．故选B.‎ ‎6．D　∵{an}为等差数列，∴S5＝‎5a3＝－15，‎ ‎∴a3＝－3，‎ ‎∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.‎ ‎7．B　∵Sn＝an2＋bn，∴{an}为等差数列，‎ ‎∴S7＝＝＝＝49.‎ ‎8．C　由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋×9]－[9(n＋1)·n＋×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去)．则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块)．故选C.‎ ‎9．A　本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．‎ 方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.‎ 方法二：设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.‎ ‎10．4‎ 解析：本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．‎ 设等差数列{an}的公差为d，由a2＝‎3a1，即a1＋d＝‎3a1，得d＝‎2a1，‎ 所以＝＝＝＝4.‎ ‎11．14‎ 解析：∵{an}为等差数列，∴a6＝a3＋3d，a7＝a3＋4d，‎ ‎∴a6＋a7＝7d＝14，∴d＝2，∴a4＝a3＋d＝2，‎ ‎∴S7＝‎7a4＝7×2＝14.‎ ‎12．3‎ 解析：设{an}的公差为d.因为a4＋a5＝25，S6＝57，所以解得所以{an}的公差为3.‎ ‎13．1.5‎ 解析：设此等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，由题意得，即解得所以夏至的日影子长为1.5尺．‎ ‎14．A　tan＝tan＝tan＝，故选A.‎ ‎15．8‎ 解析：∵a7＋a8＋a9＞0，a7＋a9＝‎2a8，‎ ‎∴‎3a8＞0，即a8＞0.‎ 又∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜0，‎ ‎∴等差数列前8项的和最大．故n＝8.‎ ‎16. 解析：解法一：由于Sn＝7n＋d＝n2＋n，‎ 设f(x)＝x2＋x，则其图象的对称轴为直线x＝－.当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，故7.5＜－＜8.5，解得－1＜d＜－.‎ 解法二：由题意，得a8＞0，a9＜0，所以7＋7d＞0，且7＋8d＜0，即－1＜d＜－.‎