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- 2021-06-24 发布
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§11.3
变量间的相关关系、统计案例
[
考纲要求
]
1.
会作两个相关变量的散点图,会利用散点图认识变量之间的相关关系
.2.
了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程
.3.
了解独立性检验
(
只要求
2
×
2
列联表
)
的基本思想、方法及其简单应用
.4.
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用
.
1
.两个变量的线性相关
(1)
正相关
在散点图中,点散布在从
________
到
________
的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.
(2)
负相关
在散点图中,点散布在从
_______
到
_______
的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.
左下角
右上角
左上角
右下角
(3)
线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在
_____________
,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
2
.
回归方程
(1)
最小二乘法
求回归直线,使得样本数据的点到它的
_________________
的方法叫做最小二乘法.
一条直线附近
距离的平方和最小
①
当
r
>0
时,表明两个变量
_________
;
②
当
r
<0
时,表明两个变量
________
;
③
r
的绝对值越接近
1
,表明两个变量的线性相关性
____
;
r
的绝对值越接近
0
,表明两个变量的线性相关性
_____
.通常当
|
r
|
>
0.75
时,认为两个变量有很强的线性相关关系.
正相关
负相关
越强
越弱
4
.独立性检验
(1)
分类变量:变量的不同
“
值
”
表示个体所属的
_________
,像这类变量称为分类变量.
(2)
列联表:列出两个分类变量的
________
,称为列联表.假设有两个分类变量
X
和
Y
,它们的可能取值分别为
{
x
1
,
x
2
}
和
{
y
1
,
y
2
}
,其样本频数列联表
(
称为
2
×
2
列联表
)
为
不同类别
频数表
2
×
2
列联表
y
1
y
2
总计
x
1
a
b
a
+
b
x
2
c
d
c
+
d
总计
a
+
c
b
+
d
a
+
b
+
c
+
d
【
思考辨析
】
判断下面结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“
×”
)
(1)
相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.
(
)
(2)
“
名师出高徒
”
可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.
(
)
(3)
只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值.
(
)
【
答案
】
(1)
×
(2)
√
(3)
√
(4)
×
(5)
√
(6)
×
【
答案
】
C
2
.下面是
2
×
2
列联表:
y
1
y
2
合计
x
1
a
21
73
x
2
22
25
47
合计
b
46
120
则表中
a
,
b
的值分别为
(
)
A
.
94
,
72
B
.
52
,
50
C
.
52
,
74 D
.
74
,
52
【
解析
】
∵
a
+
21
=
73
,
∴
a
=
52.
又
a
+
22
=
b
,
∴
b
=
74.
【
答案
】
C
3
.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了
100
位居民进行调查,经过计算
K
2
≈
0.99
,根据这一数据分析,下列说法正确的是
(
)
A
.有
99%
的人认为该电视栏目优秀
B
.有
99%
的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C
.有
99%
的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D
.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
【
解析
】
只有
K
2
≥
6.635
才能有
99%
的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系,而即使
K
2
≥
6.635
也只是对
“
该电视栏目是否优秀与改革有关系
”
这个论断成立的可能性大小的结论,与是否有
99%
的人等无关.故只有
D
正确.
【
答案
】
D
4
.
(2017·
湖南三校联考
)
某产品在某零售摊位的零售价
x
(
单位:元
)
与每天的销售量
y
(
单位:个
)
的统计资料如下表所示:
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
【
答案
】
C
5
.
(
教材改编
)
在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了
1 671
人,经过计算
K
2
的观测值
k
=
27.63
,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是
________
的
(
填
“
有关
”
或
“
无关
”
)
.
【
答案
】
有关
(2)
x
和
y
的散点图如图所示,则下列说法中所有正确命题的序号为
________
.
【
答案
】
(1)D
(2)
①②
(2)
变量
X
与
Y
相对应的一组数据为
(10
,
1)
,
(11.3
,
2)
,
(11.8
,
3)
,
(12.5
,
4)
,
(13
,
5)
;变量
U
与
V
相对应的一组数据为
(10
,
5)
,
(11.3
,
4)
,
(11.8
,
3)
,
(12.5
,
2)
,
(13
,
1)
.
r
1
表示变量
Y
与
X
之间的线性相关系数,
r
2
表示变量
V
与
U
之间的线性相关系数,则
(
)
A
.
r
2
<
r
1
<
0 B
.
0
<
r
2
<
r
1
C
.
r
2
<
0
<
r
1
D
.
r
2
=
r
1
【
答案
】
(1)D
(2)C
题型二 线性回归分析
【
例
2
】
(2015·
课标全国
Ⅰ
)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费
x
(
单位:千元
)
对年销售量
y
(
单位:
t)
和年利润
z
(
单位:千元
)
的影响,对近
8
年的年宣传费
x
i
和年销售量
y
i
(
i
=
1
,
2
,
…
,
8)
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
跟踪训练
2
某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数
x
(
个
)
2
3
4
5
加工的时间
y
(
小时
)
2.5
3
4
4.5
(1)
在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
【
解析
】
题型三 独立性检验
【
例
3
】
(2017·
莱芜模拟
)
大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取
50
名同学调查他们对莫言作品的了解程度,结果如下:
阅读过莫言
的
作品数
(
篇
)
0
~
25
26
~
50
51
~
75
76
~
100
101
~
130
男生
3
6
11
18
12
女生
4
8
13
15
10
(1)
试估计该校学生阅读莫言作品超过
50
篇的概率;
(2)
对莫言作品阅读超过
75
篇的则称为
“
对莫言作品非常了解
”
,否则为
“
一般了解
”
.
根据题意完成下表,并判断能否有
75%
的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关?
非常了解
一般了解
合计
男生
女生
合计
(2)
非常了解
一般了解
合计
男生
30
20
50
女生
25
25
50
合计
55
45
100
【
方法规律
】
(1)
独立性检验的关键是正确列出
2
×
2
列联表,并计算出
K
2
的值.
(2)
弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系,根据题目要求作出正确的回答.
跟踪训练
3
(2017·
黑龙江哈尔滨六中期末
)
为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了
60
人,从女生中随机抽取了
50
人参加环保知识测试,统计数据如下表所示:
优秀
非优秀
总计
男生
40
20
60
女生
20
30
50
总计
60
50
110
P
(
K
2
≥
k
)
0.500
0.400
0.100
0.010
0.001
k
0.455
0.708
2.706
6.635
10.828
思想与方法系列
22
求线性回归方程的方法技巧
【
典例
】
(12
分
)
某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
年份
2008
2010
2012
2014
2016
需求量
/
万吨
236
246
257
276
286
年份-
2012
-
4
-
2
0
2
4
需求-
257
-
21
-
11
0
19
29
(2)
利用所求得的线性回归方程,可预测
2018
年的粮食需求量大约为
6.5
×
(2018
-
2012)
+
260.2
=
6.5
×
6
+
260.2
=
299.2(
万吨
)
.
(12
分
)
【
温馨提醒
】
求线性回归方程时,重点考查的是计算能力.若本题用一般法去解,计算更烦琐
(
如年份、需求量,不做如上处理
)
,所以平时训练时遇到数据较大的题目时,要考虑有没有更简便的方法解决
.
►
方法与技巧
1
.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决:
(1)
确定特定量之间是否有相关关系,如果有就找出它们之间贴近的数学表达式;
(2)
根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势;
(3)
求出线性回归方程.
2
.根据
K
2
的值可以判断两个分类变量有关的可信程度.
►
失误与防范
1
.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值.
2
.独立性检验中统计量
K
2
的观测值
k
的计算公式很复杂,在解题中易混淆一些数据的意义,代入公式时出错,而导致整个计算结果出错
.
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