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  • 2021-06-24 发布

高考数学专题复习课件:11-3 变量间的相关关系、统计案例

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§11.3  变量间的相关关系、统计案例 [ 考纲要求 ]   1. 会作两个相关变量的散点图,会利用散点图认识变量之间的相关关系 .2. 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程 .3. 了解独立性检验 ( 只要求 2 × 2 列联表 ) 的基本思想、方法及其简单应用 .4. 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 . 1 .两个变量的线性相关 (1) 正相关 在散点图中,点散布在从 ________ 到 ________ 的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2) 负相关 在散点图中,点散布在从 _______ 到 _______ 的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关. 左下角 右上角 左上角 右下角 (3) 线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _____________ ,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. 2 . 回归方程 (1) 最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的 _________________ 的方法叫做最小二乘法. 一条直线附近 距离的平方和最小 ① 当 r >0 时,表明两个变量 _________ ; ② 当 r <0 时,表明两个变量 ________ ; ③ r 的绝对值越接近 1 ,表明两个变量的线性相关性 ____ ; r 的绝对值越接近 0 ,表明两个变量的线性相关性 _____ .通常当 | r | > 0.75 时,认为两个变量有很强的线性相关关系. 正相关 负相关 越强 越弱 4 .独立性检验 (1) 分类变量:变量的不同 “ 值 ” 表示个体所属的 _________ ,像这类变量称为分类变量. (2) 列联表:列出两个分类变量的 ________ ,称为列联表.假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的可能取值分别为 { x 1 , x 2 } 和 { y 1 , y 2 } ,其样本频数列联表 ( 称为 2 × 2 列联表 ) 为 不同类别 频数表 2 × 2 列联表 y 1 y 2 总计 x 1 a b a + b x 2 c d c + d 总计 a + c b + d a + b + c + d 【 思考辨析 】  判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系. (    ) (2) “ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系. (    ) (3) 只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值. (    ) 【 答案 】 (1) ×   (2) √   (3) √   (4) ×   (5) √   (6) × 【 答案 】 C 2 .下面是 2 × 2 列联表: y 1 y 2 合计 x 1 a 21 73 x 2 22 25 47 合计 b 46 120 则表中 a , b 的值分别为 (    ) A . 94 , 72           B . 52 , 50 C . 52 , 74 D . 74 , 52 【 解析 】 ∵ a + 21 = 73 , ∴ a = 52. 又 a + 22 = b , ∴ b = 74. 【 答案 】 C 3 .为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居民进行调查,经过计算 K 2 ≈ 0.99 ,根据这一数据分析,下列说法正确的是 (    ) A .有 99% 的人认为该电视栏目优秀 B .有 99% 的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C .有 99% 的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D .没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 【 解析 】 只有 K 2 ≥ 6.635 才能有 99% 的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系,而即使 K 2 ≥ 6.635 也只是对 “ 该电视栏目是否优秀与改革有关系 ” 这个论断成立的可能性大小的结论,与是否有 99% 的人等无关.故只有 D 正确. 【 答案 】 D 4 . (2017· 湖南三校联考 ) 某产品在某零售摊位的零售价 x ( 单位:元 ) 与每天的销售量 y ( 单位:个 ) 的统计资料如下表所示: x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 【 答案 】 C 5 . ( 教材改编 ) 在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 1 671 人,经过计算 K 2 的观测值 k = 27.63 ,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是 ________ 的 ( 填 “ 有关 ” 或 “ 无关 ” ) . 【 答案 】 有关 (2) x 和 y 的散点图如图所示,则下列说法中所有正确命题的序号为 ________ . 【 答案 】 (1)D   (2) ①② (2) 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10 , 1) , (11.3 , 2) , (11.8 , 3) , (12.5 , 4) , (13 , 5) ;变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10 , 5) , (11.3 , 4) , (11.8 , 3) , (12.5 , 2) , (13 , 1) . r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 (    ) A . r 2 < r 1 < 0 B . 0 < r 2 < r 1 C . r 2 < 0 < r 1 D . r 2 = r 1 【 答案 】 (1)D   (2)C 题型二 线性回归分析 【 例 2 】 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x ( 单位:千元 ) 对年销售量 y ( 单位: t) 和年利润 z ( 单位:千元 ) 的影响,对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i ( i = 1 , 2 , … , 8) 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 跟踪训练 2 某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下: 零件的个数 x ( 个 ) 2 3 4 5 加工的时间 y ( 小时 ) 2.5 3 4 4.5 (1) 在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; 【 解析 】 题型三 独立性检验 【 例 3 】 (2017· 莱芜模拟 ) 大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取 50 名同学调查他们对莫言作品的了解程度,结果如下: 阅读过莫言 的 作品数 ( 篇 ) 0 ~ 25 26 ~ 50 51 ~ 75 76 ~ 100 101 ~ 130 男生 3 6 11 18 12 女生 4 8 13 15 10 (1) 试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率; (2) 对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为 “ 对莫言作品非常了解 ” ,否则为 “ 一般了解 ” . 根据题意完成下表,并判断能否有 75% 的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关? 非常了解 一般了解 合计 男生 女生 合计 (2) 非常了解 一般了解 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 【 方法规律 】 (1) 独立性检验的关键是正确列出 2 × 2 列联表,并计算出 K 2 的值. (2) 弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系,根据题目要求作出正确的回答. 跟踪训练 3 (2017· 黑龙江哈尔滨六中期末 ) 为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了 60 人,从女生中随机抽取了 50 人参加环保知识测试,统计数据如下表所示: 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 P ( K 2 ≥ k ) 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001 k 0.455 0.708 2.706 6.635 10.828 思想与方法系列 22 求线性回归方程的方法技巧 【 典例 】 (12 分 ) 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量 / 万吨 236 246 257 276 286 年份- 2012 - 4 - 2 0 2 4 需求- 257 - 21 - 11 0 19 29 (2) 利用所求得的线性回归方程,可预测 2018 年的粮食需求量大约为 6.5 × (2018 - 2012) + 260.2 = 6.5 × 6 + 260.2 = 299.2( 万吨 ) . (12 分 ) 【 温馨提醒 】 求线性回归方程时,重点考查的是计算能力.若本题用一般法去解,计算更烦琐 ( 如年份、需求量,不做如上处理 ) ,所以平时训练时遇到数据较大的题目时,要考虑有没有更简便的方法解决 . ► 方法与技巧 1 .回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决: (1) 确定特定量之间是否有相关关系,如果有就找出它们之间贴近的数学表达式; (2) 根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势; (3) 求出线性回归方程. 2 .根据 K 2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度. ► 失误与防范 1 .回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值. 2 .独立性检验中统计量 K 2 的观测值 k 的计算公式很复杂,在解题中易混淆一些数据的意义,代入公式时出错,而导致整个计算结果出错 .