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- 2021-06-24 发布
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新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形 ABCD是空间四边形, , , ,E F G H 分别是边 , , ,AB BC CD DA的中点
(1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若 BD= 23,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。
证明:在 ABD 中,∵ ,EH分别是 ,AB AD 的中点∴ 1// , 2EH BD EH BD
同理, 1// , 2FG BD FG BD ∴ // ,EH FG EH FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。
(2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
2、如图,已知空间四边形 ABCD中, ,BC AC AD BD, E 是 AB 的中点。
求证:(1) AB 平面 CDE;
(2)平面CDE 平面 ABC 。
证明:(1) BC AC CE ABAE BE
同理, AD BD DE ABAE BE
又∵CE DE E ∴ AB 平面CDE
(2)由(1)有 平面
又∵ AB 平面 ABC , ∴平面 平面 ABC
考点:线面垂直,面面垂直的判定
A
H
G F
E
D
C
B
A
E
D
B C
3、如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 是 1AA 的中点,
求证: 1 //AC 平面 BDE 。
证明:连接 AC 交 BD 于O ,连接 EO ,
∵ 为 的中点, 为 的中点
∴ 为三角形 1A AC 的中位线 ∴ 1//EO AC
又 在平面 内, 1AC在平面 外
∴ 平面 。
考点:线面平行的判定
4、已知 ABC 中 90ACB, SA 面 ABC , AD SC ,求证: AD 面 SBC .
证明: 90ACB∵ ° BC AC
又 SA 面 ABC SA BC
BC面 SAC
BC AD
又 ,SC AD SC BC C AD 面 SBC
考点:线面垂直的判定
5、已知正方体 1 1 1 1ABCD A BC D ,O 是底 ABCD对角线的交点.
求证:(1) C1O∥面 11AB D ;(2) 1AC 面 11AB D .
证明:(1)连结 11AC ,设 1 1 1 1 1AC B D O,连结 1AO
∵ 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体 11A ACC 是平行四边形
∴A1C1∥AC 且 11AC AC
又 1,OO分别是 11,AC AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 11O C AO
11AOC O 是平行四边形
1 1 1,C O AO AO∥ 面 11AB D , 1CO 面 ∴C1O∥面 11AB D
(2) 1CC 面 1 1 1 1A B C D 1 1 !CC B D
又 1 1 1 1AC B D∵ , 1 1 1 1B D AC C面 1 1 1AC B D即
同理可证 11AC AD , 又 1 1 1 1D B AD D
1AC 面 11AB D
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
A
1
E
D1
C
1
B1
D
C B
A
S
D
C
BA
D1
O
D
BA
C1
B1A1
C
N
M
P
C
B
A
6、正方体 ABCD A B C D 中,求证:(1) 'AC B D DB 平面 ;( 2) 'BD ACB 平面 .
考点:线面垂直的判定
7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C;
(2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD.
证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD,
又 BD 平面 B1D1C,B1D1 平面 B1D1C,
∴BD∥平面 B1D1C.
同理 A1D∥平面 B1D1C.
而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD.
(2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G.
从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴ B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD.
考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、四面体 ABCD中, ,,AC BD E F 分别为 ,AD BC 的中点,且 2
2EF AC ,
90BDC,求证: BD 平面 ACD
证明:取CD 的中点G ,连结 ,EG FG ,∵ ,EF分别为 的中点,∴ EG 1
2
// AC
1
2
//FG BD ,又 ,AC BD ∴ 1
2FG AC ,∴在 EFG 中, 2 2 2 21
2EG FG AC EF
∴ EG FG ,∴ BD AC ,又 ,即 BD CD , AC CD C
∴ 平面
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形
9、如图 P 是 ABC 所在平面外一点, ,PA PB CB平面 PAB ,M 是 PC 的中点,N 是 AB 上的点,
3AN NB
(1)求证: MN AB ;( 2)当 90APB, 24AB BC时,求 MN 的长。
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G E
F
证明:(1)取 PA 的中点Q ,连结 ,MQ NQ ,∵ M 是 PB 的中点,
∴ //MQ BC ,∵ CB 平面 PAB ,∴ MQ 平面
∴QN 是 MN 在平面 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ ,PA PB ∴ PD AB ,又 3AN NB ,
∴ BN ND [来源:学§科§网]
∴ //QN PD ,∴QN AB ,由三垂线定理得 MN AB
(2)∵ 90APB, ∴ 1 22PD AB,∴ 1QN ,∵ 平面 .∴ MQ NQ ,且
1 12MQ BC,∴ 2MN
考点:三垂线定理
10、如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 、 F 、G 分别是 AB 、 AD 、 11CD的中点.求证:平面 1D EF ∥
平面 BDG .
证明:∵ 、 分别是 、 的中点, EF ∥ BD
又 EF 平面 , BD 平面 ∥平面
∵ 1DG EB 四边形 1D GBE 为平行四边形, 1DE∥GB
又 1DE 平面 ,GB 平面 1DE∥平面
1EF D E E, 平面 ∥平面
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
11、如图,在正方体 中, 是 1AA 的中点.
(1)求证: 1 //AC 平面 BDE ;
(2)求证:平面 1A AC 平面 .
证明:(1)设 AC BD O,
∵ 、O 分别是 1AA 、 AC 的中点, 1AC∥ EO
又 1AC 平面 BDE , EO 平面 , ∥平面
(2)∵ 1AA 平面 ABCD, BD 平面 , 1AA BD
又 BD AC , 1AC AA A, BD 平面 1A AC , BD 平面 , 平面 BDE 平面
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知 ABCD是矩形,PA 平面 ABCD, 2AB , 4PA AD,E
为 BC 的中点.
(1)求证: DE 平面 PAE ;( 2)求直线 DP 与平面 所成的角.
证明:在 ADE 中, 2 2 2AD AE DE, AE DE
∵ 平面 , DE 平面 , PA DE
又 PA AE A, 平面
(2) DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角
在 Rt PAD , 42PD ,在 Rt DCE 中, 22DE
在 Rt DEP 中, 2PD DE , 030DPE
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD是 060DAB且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,
且平面 PAD 垂直于底面 .
(1)若G 为 AD 的中点,求证: BG 平面 PAD ;
(2)求证: AD PB ;
(3)求二面角 A BC P的大小.
证明:(1) ABD 为等边三角形且 为 的中点, BG AD
又平面 平面 , 平面
(2) 是等边三角形且 为 的中点, AD PG
且 AD BG , PG BG G, AD 平面 PBG ,
PB 平面 ,
(3)由 , AD ∥ BC , BC PB
又 , ∥ , BG BC
PBG 为二面角 的平面角
在 Rt PBG 中, PG BG , 045PBG
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)
14、如图 1,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, M 为 1CC 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: 1AO 平面 MBD.
证明:连结 MO, 1AM ,∵DB⊥ 1AA,DB⊥AC, 1A A AC A,
∴DB⊥平面 11A ACC ,而 1AO 平面 ∴DB⊥ 1AO.
设正方体棱长为 a ,则 22
1
3
2AO a , 223
4MO a .
在 Rt△ 11AC M 中, 22
1
9
4A M a .∵ 2 2 2
11AO MO A M ,∴ 1AO OM .
∵OM∩DB=O,∴ 1AO⊥平面 MBD.
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直
15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,
作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.
证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF.
∵ AC BC ,∴CF AB .
∵ AD BD ,∴ DF AB .
又CF DF F ,∴ AB 平面 CDF.
∵CD 平面 CDF,∴CD AB .
又CD BE , BE AB B,
∴CD 平面 ABE,CD AH .
∵ AH CD , AH BE ,CD BE E,
∴ AH 平面 BCD.
考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
D1 C1
A1 B1
D C
A B
证明:连结 AC
BD AC∵ ⊥ ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影
BD A C
A C BC
A C BC D1
1 1
1 1同理可证
平面
考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:
平面 ABC⊥平面 BSC.
证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,
则 AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC= 2 a,SO= 2
2
a,
AO2=AC2-OC2=a2- 2
1
a2= a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥
平面 BSC.
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)
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