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  • 2021-06-24 发布

高中数学立体几何常考证明题汇总

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新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD是空间四边形, , , ,E F G H 分别是边 , , ,AB BC CD DA的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 23,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 证明:在 ABD 中,∵ ,EH分别是 ,AB AD 的中点∴ 1// , 2EH BD EH BD 同理, 1// , 2FG BD FG BD ∴ // ,EH FG EH FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形 ABCD中, ,BC AC AD BD, E 是 AB 的中点。 求证:(1) AB 平面 CDE; (2)平面CDE  平面 ABC 。 证明:(1) BC AC CE ABAE BE     同理, AD BD DE ABAE BE     又∵CE DE E ∴ AB 平面CDE (2)由(1)有 平面 又∵ AB  平面 ABC , ∴平面 平面 ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C 3、如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1 //AC 平面 BDE 。 证明:连接 AC 交 BD 于O ,连接 EO , ∵ 为 的中点, 为 的中点 ∴ 为三角形 1A AC 的中位线 ∴ 1//EO AC 又 在平面 内, 1AC在平面 外 ∴ 平面 。 考点:线面平行的判定 4、已知 ABC 中 90ACB, SA  面 ABC , AD SC ,求证: AD  面 SBC . 证明: 90ACB∵ ° BC AC 又 SA  面 ABC SA BC BC面 SAC BC AD 又 ,SC AD SC BC C   AD  面 SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体 1 1 1 1ABCD A BC D ,O 是底 ABCD对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 11AB D ;(2) 1AC  面 11AB D . 证明:(1)连结 11AC ,设 1 1 1 1 1AC B D O,连结 1AO ∵ 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体 11A ACC 是平行四边形 ∴A1C1∥AC 且 11AC AC 又 1,OO分别是 11,AC AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 11O C AO 11AOC O 是平行四边形 1 1 1,C O AO AO∥ 面 11AB D , 1CO 面 ∴C1O∥面 11AB D (2) 1CC  面 1 1 1 1A B C D 1 1 !CC B D 又 1 1 1 1AC B D∵ , 1 1 1 1B D AC C面 1 1 1AC B D即 同理可证 11AC AD , 又 1 1 1 1D B AD D  1AC  面 11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 A 1 E D1 C 1 B1 D C B A S D C BA D1 O D BA C1 B1A1 C N M P C B A 6、正方体 ABCD A B C D 中,求证:(1) 'AC B D DB 平面 ;( 2) 'BD ACB 平面 . 考点:线面垂直的判定 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD 平面 B1D1C,B1D1  平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴ B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 考点:线面平行的判定(利用平行四边形) 8、四面体 ABCD中, ,,AC BD E F 分别为 ,AD BC 的中点,且 2 2EF AC , 90BDC,求证: BD 平面 ACD 证明:取CD 的中点G ,连结 ,EG FG ,∵ ,EF分别为 的中点,∴ EG 1 2 // AC 1 2 //FG BD ,又 ,AC BD ∴ 1 2FG AC ,∴在 EFG 中, 2 2 2 21 2EG FG AC EF   ∴ EG FG ,∴ BD AC ,又 ,即 BD CD , AC CD C ∴ 平面 考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形 9、如图 P 是 ABC 所在平面外一点, ,PA PB CB平面 PAB ,M 是 PC 的中点,N 是 AB 上的点, 3AN NB (1)求证: MN AB ;( 2)当 90APB, 24AB BC时,求 MN 的长。 A1 A B1 B C1 C D1 D G E F 证明:(1)取 PA 的中点Q ,连结 ,MQ NQ ,∵ M 是 PB 的中点, ∴ //MQ BC ,∵ CB  平面 PAB ,∴ MQ  平面 ∴QN 是 MN 在平面 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ ,PA PB ∴ PD AB ,又 3AN NB , ∴ BN ND [来源:学§科§网] ∴ //QN PD ,∴QN AB ,由三垂线定理得 MN AB (2)∵ 90APB, ∴ 1 22PD AB,∴ 1QN  ,∵ 平面 .∴ MQ NQ ,且 1 12MQ BC,∴ 2MN  考点:三垂线定理 10、如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E 、 F 、G 分别是 AB 、 AD 、 11CD的中点.求证:平面 1D EF ∥ 平面 BDG . 证明:∵ 、 分别是 、 的中点, EF ∥ BD 又 EF 平面 , BD  平面 ∥平面 ∵ 1DG EB 四边形 1D GBE 为平行四边形, 1DE∥GB 又 1DE 平面 ,GB  平面 1DE∥平面 1EF D E E, 平面 ∥平面 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) 11、如图,在正方体 中, 是 1AA 的中点. (1)求证: 1 //AC 平面 BDE ; (2)求证:平面 1A AC  平面 . 证明:(1)设 AC BD O, ∵ 、O 分别是 1AA 、 AC 的中点, 1AC∥ EO 又 1AC 平面 BDE , EO  平面 , ∥平面 (2)∵ 1AA  平面 ABCD, BD  平面 , 1AA BD 又 BD AC , 1AC AA A, BD  平面 1A AC , BD  平面 , 平面 BDE  平面 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定 12、已知 ABCD是矩形,PA 平面 ABCD, 2AB  , 4PA AD,E 为 BC 的中点. (1)求证: DE 平面 PAE ;( 2)求直线 DP 与平面 所成的角. 证明:在 ADE 中, 2 2 2AD AE DE, AE DE ∵ 平面 , DE  平面 , PA DE 又 PA AE A, 平面 (2) DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt PAD , 42PD  ,在 Rt DCE 中, 22DE  在 Rt DEP 中, 2PD DE , 030DPE 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形 13、如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD是 060DAB且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 . (1)若G 为 AD 的中点,求证: BG 平面 PAD ; (2)求证: AD PB ; (3)求二面角 A BC P的大小. 证明:(1) ABD 为等边三角形且 为 的中点, BG AD 又平面  平面 , 平面 (2) 是等边三角形且 为 的中点, AD PG 且 AD BG , PG BG G, AD  平面 PBG , PB 平面 , (3)由 , AD ∥ BC , BC PB 又 , ∥ , BG BC PBG 为二面角 的平面角 在 Rt PBG 中, PG BG , 045PBG 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法) 14、如图 1,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, M 为 1CC 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: 1AO 平面 MBD. 证明:连结 MO, 1AM ,∵DB⊥ 1AA,DB⊥AC, 1A A AC A, ∴DB⊥平面 11A ACC ,而 1AO 平面 ∴DB⊥ 1AO. 设正方体棱长为 a ,则 22 1 3 2AO a , 223 4MO a . 在 Rt△ 11AC M 中, 22 1 9 4A M a .∵ 2 2 2 11AO MO A M ,∴ 1AO OM . ∵OM∩DB=O,∴ 1AO⊥平面 MBD. 考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC BC ,∴CF AB . ∵ AD BD ,∴ DF AB . 又CF DF F ,∴ AB 平面 CDF. ∵CD  平面 CDF,∴CD AB . 又CD BE , BE AB B, ∴CD  平面 ABE,CD AH . ∵ AH CD , AH BE ,CD BE E, ∴ AH  平面 BCD. 考点:线面垂直的判定 16、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D D1 C1 A1 B1 D C A B 证明:连结 AC BD AC∵ ⊥ ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影         BD A C A C BC A C BC D1 1 1 1 1同理可证 平面 考点:线面垂直的判定,三垂线定理 17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. 证明∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO, 则 AO⊥BC,SO⊥BC, ∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC= 2 a,SO= 2 2 a, AO2=AC2-OC2=a2- 2 1 a2= a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥ 平面 BSC. 考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)