高中数学第四章数列4-2等差数列4-2-1第1课时等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册 30页

4.2.1 　等差数列的概念 第 1 课时　等差数列的概念及通项公式 激趣诱思 知识点拨 姚明是大家都熟悉的篮球运动员 , 下面是姚明刚进 NBA 一周训练时投球的个数 : 第一天 6 000, 第二天 6 500, 第三天 7 000, 第四天 7 500, 第五天 8 000, 第六天 8 500, 第七天 9 000 . 得到数列 :6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000 . 你发现这个数列有什么特点了吗 ? 激趣诱思 知识点拨 一、等差数列 一般地 , 如果一个数列从 第 2 项 起 , 每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个常数 , 那么这个数列就叫做等差数列 , 这个常数叫做等差数列的 公差 , 公差通常用字母 d 表示 . 名师点析 等差数列概念的理解 (1) 定义中强调 “ 从第 2 项起 ”, 因为第 1 项没有前一项 . (2) 每一项与它的前一项的差必须是同一个常数 ( 因为同一个常数体现了等差数列的基本特征 ) . (3) 公差 d 是每一项 ( 从第 2 项起 ) 与它的前一项的差 , 不要把被减数与减数弄颠倒 . (4) 公差可以是正数、负数、零 . (5) 等差数列的增减性与公差 d 的关系 : 当 d> 0 时 , 是递增数列 ; 当 d< 0 时 , 是递减数列 ; 当 d= 0 时 , 是常数列 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 判断下列各组数列是不是等差数列 . 如果是 , 写出首项 a 1 和公差 d. ① 1,3,5,7,9, … ; ② 9,6,3,0, - 3, … ; ③ 1,3,4,5,6, … ; ④ 7,7,7,7,7, … ; 解 : ① 是 , a 1 = 1, d= 2; ② 是 , a 1 = 9, d=- 3; ③ 不是 ; ④ 是 , a 1 = 7, d= 0; ⑤ 不是 . 激趣诱思 知识点拨 二、等差中项 由三个数 a , A , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 . 这时 , A 叫做 a 与 b 的 等差中项 . 这三个数满足关系式 2 A=a+b . 微练习 若 a , b 是方程 x 2 - 2 x- 3 = 0 的两根 , 则 a , b 的等差中项为 ( 　　 ) 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 三、等差数列的通项公式 首项为 a 1 , 公差为 d 的等差数列 { a n } 的通项公式为 a n =a 1 + ( n- 1) d. 名师点析 (1) 等差数列的通项公式是关于三个基本量 a 1 , d 和 n 的表达式 , 所以由首项 a 1 和公差 d 可以求出数列中的任意一项 . (2) 等差数列的通项公式可以推广为 a n =a m + ( n-m ) d , 由此可知 , 已知等差数列中的任意两项 , 就可以求出其他的任意一项 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 等差数列 { a n }:5,0, - 5, - 10, … 的通项公式是 　　　　　 .   (2) 若等差数列 { a n } 的通项公式是 a n = 4 n- 1, 则其公差 d= 　　　　　 .   解析 : (1) 易知 a 1 = 5, d=- 5, 所以 a n = 5 + ( n- 1)·( - 5) = 10 - 5 n. (2) 公差 d=a n -a n- 1 = (4 n- 1) - [4( n- 1) - 1] = 4 . 答案 : (1) a n = 10 - 5 n 　 (2)4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列的通项公式及其应用 例 1 (1) 已知数列 { a n } 是首项为 2, 公差为 4 的等差数列 , 若 a n = 2 022, 则 n= ( 　　 ) A.504 B.505 C.506 D.507 (2) 在等差数列 40,37,34, … 中 , 第一个负数项是 ( 　　 ) A. 第 13 项 B . 第 14 项 C. 第 15 项 D . 第 16 项 (3) 在等差数列 { a n } 中 , 若 a 3 = 12, a 6 = 27, 则其通项公式为 　　　　　 .   分析 : (1) 与 (2) 均可先求通项公式 , 再利用通项公式解决相应问题 ;(3) 可根据已知条件建立关于 a 1 和 d 的方程组 , 求得 a 1 和 d 即可得到通项公式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 根据题意 , 数列 { a n } 是首项为 2, 公差为 4 的等差数列 , 则 a n =a 1 + ( n- 1) d= 4 n- 2, 若 a n = 2 022, 则有 4 n- 2 = 2 022, 解得 n= 506 . (2) 首项 a 1 = 40, 公差 d=- 3, 所以 a n = 40 - 3( n- 1) = 43 - 3 n. 答案 : (1)C 　 (2)C 　 ( 3) a n = 5 n- 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧 1 . 等差数列的通项公式可由首项与公差确定 , 所以要求等差数列的通项公式 , 只需求出首项与公差 . 2 . 等差数列 { a n } 的通项公式 a n =a 1 + ( n- 1) d 中共含有四个参数 , 即 a 1 , d , n , a n , 如果知道了其中的任意三个数 , 那么就可以由通项公式求出第四个数 , 这一求未知量的过程 , 我们通常称之为 “ 知三求一 ” . 3 . 通项公式可变形为 a n =dn+ ( a 1 -d ), 可把 a n 看作自变量为 n 的一次函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 在等差数列 { a n } 中 , 求解下列各题 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差中项及其应用 例 2 (1) 若等差数列的前三项分别为 a ,2 a- 1,3 -a , 求其第 2 020 项 ; (2) 在 - 1 和 7 之间插入三个数 a , b , c , 使这五个数成等差数列 , 求这三个数 . 分析 : (1) 先根据条件求出通项公式 , 再代入求解 ;(2) 先根据等差中项求出 b , 再依次利用等差中项求出 a , c. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等差中项的应用策略 1 . 求两个数 x , y 的等差中项 , 根据等差中项的定义得 2 . 证明三项成等差数列 , 只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可 , 即若 a , b , c 成等差数列 , 则 a+c= 2 b ; 反之 , 若 a+c= 2 b , 则 a , b , c 成等差数列 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列的判断与证明 例 3 判断下列数列是否为等差数列 . (1) 在数列 { a n } 中 , a n = 3 n+ 2; (2) 在数列 { a n } 中 , a n =n 2 +n. 分析 : 根据等差数列的定义 , 判断 a n+ 1 -a n 是否为常数 . 解 : (1) a n+ 1 -a n = 3( n+ 1) + 2 - (3 n+ 2) = 3( n ∈ N * ), 故该数列为等差数列 . (2) a n+ 1 -a n = ( n+ 1) 2 + ( n+ 1) - ( n 2 +n ) = 2 n+ 2, 故该数列不是等差数列 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用定义法判定 ( 或证明 ) 数列 { a n } 是等差数列的基本步骤为 : (1) 作差 a n+ 1 -a n . (2) 对差式进行变形 . (3) 当 a n+ 1 -a n 是一个与 n 无关的常数时 , 数列 { a n } 是等差数列 ; 当 a n+ 1 -a n 不是常数 , 而是与 n 有关的代数式时 , 数列 { a n } 不是等差数列 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知数列 { a n } 中 , a 1 =a 2 = 1, a n =a n- 1 + 2( n ≥ 3) . (1) 判断数列 { a n } 是否为等差数列 , 并说明理由 ; (2) 求 { a n } 的通项公式 . 解 : (1) 当 n ≥ 3 时 , a n =a n- 1 + 2, 即 a n -a n- 1 = 2, 而 a 2 -a 1 = 0 不满足 a n -a n- 1 = 2( n ≥ 3), ∴ { a n } 不是等差数列 . (2) 当 n ≥ 2 时 , a n 是等差数列 , 公差为 2 . 当 n ≥ 2 时 , a n = 1 + 2( n- 2) = 2 n- 3, 又 a 1 = 1 不适合上式 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 求证 : 数列 { b n } 是等差数列 ; (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 分析 : 先用 a n 表示 b n+ 1 , b n , 再验证 b n+ 1 -b n 为常数 , 最后可求出数列 { a n } 的通项公式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断等差数列的方法 (1) 定义法 : a n+ 1 -a n =d ( n ∈ N * ) 或 a n -a n- 1 =d ( n ≥ 2, 且 n ∈ N * ) ⇔ 数列 { a n } 是等差数列 . (2) 等差中项法 :2 a n+ 1 =a n +a n+ 2 ( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 为等差数列 . (3) 通项公式法 : 数列 { a n } 的通项公式 a n =pn+q ( p , q 为常数 ) ⇔ 数列 { a n } 为等差数列 . 注意 :(1) 通项公式法不能作为证明方法 . (2) 若 a n+ 1 -a n 为常数 , 则该常数为等差数列 { a n } 的公差 ; 若 a n+ 1 -a n =a n -a n- 1 ( n ≥ 2, 且 n ∈ N * ) 成立 , 则无法确定等差数列 { a n } 的公差 . (3) 若数列的前有限项成等差数列 , 则该数列未必是等差数列 ; 而要否定一个数列是等差数列 , 只要说明其中连续三项不成等差数列即可 . (4) 已知数列的递推公式求数列的通项时 , 要通过对递推公式进行合理变形 , 构造出等差数列求通项 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 对称法设项 典例 成等差数列的四个数之和为 26, 第 2 个数和第 3 个数之积为 40, 求这四个数 . 方法点睛 题中是已知四个数成等差数列 , 则采用 “ 对称法 ” 设项 , 这样可以减少计算量 , 因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的 “ 对称法设项 ” 的方法 , 以达到快速求解的目的 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知数列 { a n } 的通项公式 a n = 2 n+ 5, 则此数列 ( 　　 ) A . 是公差为 2 的等差数列 B . 是公差为 5 的等差数列 C . 是首项为 5 的等差数列 D . 是公差为 n 的等差数列 解析 : ∵ a n+ 1 -a n = 2( n+ 1) + 5 - (2 n+ 5) = 2, ∴ 数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 3 . 在数列 { a n } 中 , a 1 = 2, a n+ 1 =a n + 2, 则 a 20 = ( 　　 ) A . 38 B . 40 C .- 36 D .- 38 解析 : ∵ a n+ 1 =a n + 2, ∴ a n+ 1 -a n = 2, ∴ 数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列 . ∵ a 1 = 2, ∴ a 20 = 2 + (20 - 1) × 2 = 40 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 若 m 和 2 n 的等差中项为 4,2 m 和 n 的等差中项为 5, 则 m 和 n 的等差中项为 　　　　　 .   解析 : 由 m 和 2 n 的等差中项为 4, 得 m+ 2 n= 8 . 又由 2 m 和 n 的等差中项为 5, 得 2 m+n= 10 . 两式相加 , 得 3 m+ 3 n= 18, 即 m+n= 6 . 答案 : 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 在等差数列 { a n } 中 , a 1 = 23, 公差 d 为整数 , 若 a 6 > 0, a 7 < 0 . (1) 求公差 d 的值 ; (2) 求通项 a n . 又公差 d 为整数 , 所以 d=- 4 . (2) 因为等差数列 { a n } 的首项为 23, 公差为 - 4, 所以通项 a n = 23 - 4( n- 1) =- 4 n+ 27 .