高考数学模拟试卷3 (7) 16页

- 1 - 高考数学模拟训练题（第 43 套） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合  1M x x  ，  2 0N x x x   ，则（ ） A． M N B． N M C．  1M N x x  D．  0M N x x  2．设    2 i 3 i 3 5 ix y     （i 为虚数单位），其中 x ，y 是实数，则 ix y 等于（ ） A．5 B． 13 C． 2 2 D．2 3．某高校调查了 320 名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方 图，其中自习时间的范围是 17 5 30．， ，样本数据分组为 17 5 20．， ， 20 22 5， ． ， 22 5 25．， ，  25 27 5， ． ， 27 5 30．， ．根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22 5．小时的人数 是（ ） A．68 B．72 C．76 D．80 4．  5 2 11 1 xx      的展开式中 2x 的系数为（ ） A．15 B． 15 C．5 D． 5 5．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     是离心率为 5 ，左焦点为 F ，过点 F 与 x 轴垂直 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点 M ， N ，若 OMN△ 的面积为 20，其中O 是坐标 原点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 12 8 x y  B． 2 2 14 8 x y  C． 2 2 18 2 x y  D． 2 2 18 4 x y  - 2 - 6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． 4 2π B． 2 6π C． 4 π D． 2 4π 7．执行如下图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出 S 的值为（ ） A．3.2 B．3.6 C．3.9 D． 4.9 8．等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，公比为 q ，若 6 39S S ，则 5 62S  ， 1a  （ ） A． 2 B． 2 C． 5 D．3 9．已知函数     πcos 2 0, 2f x x          的最小正周期为 π ，将其图象向右平移 π 6 个单位后得函数   cos2g x x 的图象，则函数  f x 的图象（ ） A．关于直线 2π 3x  对称 B．关于直线 π 6x  对称 C．关于点 2π 03     ， 对称 D．关于点 5π 012     ， 对称 10．已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π ， 1AA  平面 ABC ， 5AB  ， 12BC  ， 13AC  ，则直线 1BC 与平面 1 1AB C 所成角的正弦值为 - 3 - （ ） A． 5 3 52 B． 7 3 52 C． 5 2 26 D． 7 2 26 11．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的短轴长为 2，上顶点为 A，左顶点为 B ， 1F ， 2F 分别 是椭圆的左、右焦点，且 1F AB△ 的面积为 2 3 2  ，点 P 为椭圆上的任意一点，则 1 2 1 1 PF PF  的取值范围为（ ） A． 1 2， B． 2 3  ， C． 2 4  ， D． 1 4， 12．已知对任意 21 eex     ， 不等式 2e x a x 恒成立(其中 e 2 71828 ． 是自然对数的底数）， 则实数 a 的取值范围是（ ） A． e0 2      ， B． 0 e， C． 2e ， D． 2 4 e     ， 13 ． 已 知 实 数 x ， y 满 足 条 件 4 0 2 2 0 0 0 x y x y x y             ， ， 若 z ax y  的 最 小 值 为 8 ， 则 实 数 a  __________． 14．若函数  f x 是偶函数 0x  时，    lg 1f x x  ，则满足  2 1 1f x   的实数 x 取值范围 是________． 15．已知平行四边形 ABCD 中， 2AD  ， 120BAD   ，点 E 是 CD 中点， 1AE BD   ，则 BD BE   _________． 16．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 4a  ， 4 =30S ， 2n  时，  1 1 2 1n n na a a    ，则 na 的通项公式 na  ___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）在 ABC△ 中 a 、b 、c 分别为角 A、B 、C 所对的边，已知 sin 1 2sin sin 2cos B A C C  ． （1）求角 B 的大小； - 4 - （2）若 1a  ， 7b  ，求 ABC△ 的面积． 18．（12 分）在四棱锥 A DBCE 中，底面 DBCE 是等腰梯形， 2BC DE ， BD DE CE  ， ADE△ 是等边三角形，点 F 在 AC 上．且 3AC AF ． （1）证明： AD∥平面 BEF ； （2）若平面 ADE  平面 BCED ，求二面角 A BE F  的余弦值． 19．（12 分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智 能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外 设多个分支机构需要国内公司外派大量 80 后、90 后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层 员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了 100 位员工，得到数据如下表： 愿意接受外派人数 不愿意接受外派人数 合计 80 后 20 20 40 90 后 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过 01．的前提下认为“是否愿意接受外派 与年龄层有关”，并说明理由； （2）该公司选派 12 人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的 80 后员工中用分 层抽样方法抽出 6 名，组成 80 后组，在参与调查的 90 后员工中，也用分层抽样方法抽出 6 名，组成 90 后组． ①求这 12 人中，80 后组、90 后组愿意接受外派的人数各有多少? ②为方便交流，在 80 后组、90 后组中各选出 3 人进行交流，记在 80 后组中选到愿意接受外 派的人数为 x ，在 90 后组中选到愿意接受外派的人数为 y ，求 x y 的概率． 参考数据：  2 0P k k 015． 010． 0 05． 0 025． 0 010． 0 005． 0k 2 072． 2 706． 3 841． 5 024． 6 635． 7 879． 参考公式：      2 2 (= n ad bck a b c d a c b d      ） ，其中 n a b c d    ． 20．（12 分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 F 在 y 轴的正半轴上，点 A 是抛物线上的一点， - 5 - 以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F ． （1）求抛物线的标准方程： （2）设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P ， Q两点，连接 QF 并延长交抛物线 的准线于点 R ，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程． 21．（12 分）已知函数   1ln xf x k x x   ，且曲线  y f x 在点   1 1f， 处的切线与 y 轴垂直． （1）求函数  f x 的单调区间； （2）若对任意    01 1,ex , （其中 e为自然对数的底数），都有   1 1 ( 0)1 f x ax x a    恒成立， 求 a 的取值范围． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的 极坐标方程为 sin cos    ，点 P 的曲线 C 上运动． （1）若点 Q在射线 OP 上，且 4OP OQ  ，求点 Q的轨迹的直角坐标方程； （2）设 3π4 4M      ， ，求 MOP△ 面积的最大值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 设 0a  ， 0b  ，且 2 2 2a b ab  ，求证： （1） 3 3 2a b  ； （2）   5 5 4a b a b   ． - 6 - 高考数学模拟训练题答案（第 43 套） 1【答案】B 【解析】由题意得    2 0 0 1N x x x x x M      ．选 B． 2．【答案】A 【解析】由    2 i 3 i 3 5 ix y     ，得    6 3 2 i 3 5 ix x y      ， ∴ 6 3 3 2 5 x x y         ，解得 3 4 x y       ，∴ i 3 4i 5x y     ．选 A． 3．【答案】B 【解析】由频率分布直方图可得，320 名学生中每周的自习时间不足 22 5．小时的人数是  320 0 02 0 07 25 72   ． ． ． 人．选 B． 4． 【答案】C 【解析】二项式 51 x 展开式的通项为  1 5C 0,1,2,3,4,5r r rT x r   ，故展开式中 2x 的系数 为 2 4 5 5C C 10 5 5    ．选 C． 5． 【答案】A 【解析】由 5c a  可得 2 25c a ，∴ 2 2 25a b a  ，故 2 2 4b a  ． ∴双曲线的渐近线方程为 2y x  ，由题意得  ,2M c c ，  , 2N c c  ， ∴ 1 4 202OMNS c c   △ ，解得 2 10c  ，∴ 2 2a  ， 2 8b  ， ∴双曲线的方程为 2 2 12 8 x y  ．选 A． 6【答案】D 【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所示）， 其体积 2π 2 1 2 2 4πV       ． - 7 - 7． 【答案】C 【解析】运行框图中的程序可得 ① 1k  ， 21 22S    ，不满足条件，继续运行； ② 2k  ， 2 82 =3 3S   ，不满足条件，继续运行； ③ 3k  ， 8 2 19+ =3 4 6S  ，不满足条件，继续运行； ④ 4k  ， 19 2 107 6 5 30S    ，不满足条件，继续运行； ⑤ =5k ， 107 2 117= + = =3930 6 30S ．，满足条件，停止运行，输出 =3 9S ．．选 C． 8． 【答案】B 【解析】由题意得 1q   ．由 6 39S S 得    6 3 1 11 1 91 1 a q a q q q      ， ∴ 31 9q  ，∴ 2q  ．又  5 1 5 1 1 2 31 621 2 a S a     ，∴ 1 2a  ．选 B． 9． 【答案】D 【解析】由题意得 2π π2  ，故 1  ，∴    cos 2f x x   ， ∴   π πcos 2 cos 2 cos26 3g x x x x                    ， ∴ π 3   ，∴   πcos 2 3f x x     ． - 8 - ∵ 2π 2π π 5π 1cos 2 cos 13 3 3 3 2f                 ， π π π 2π 1cos 2 cos 16 6 3 3 2f                  ， ∴选项 A，B 不正确． 又  2π 2π πcos 2 cos π 1 03 3 3f                    ， 5π 5π π πcos 2 cos 012 12 3 2f                        ，∴选项 C 不正确，选项 D 正确．选 D． 10． 【答案】C 【解析】由 5AB  ， 12BC  ， 13AC  ，得 2 22 +AB BC AC ，∴ AB BC ． 设球半径为 R ， 1AA x ，则由 1AA  平面 ABC 知 1AC 为外接球的直径， 在 1Rt A AC△ 中，有  22 213 2x R  ，又 24π 194πR  ，∴ 24 194R  ，∴ 5x  ． ∴ 1 1 30 2AB CS △ ， 1 25 2ABBS △ ． 设点 B 到平面 1 1AB C 的距离为 d ， 则由 1 1 1 1B AB C C ABBV V  ，得 1 1 2530 2 123 3 2d     ， ∴ 5 2 2d  ，又 1 13BC  ，∴直线 1BC 与平面 1 1AB C 所成角正弦值为 1 5 2 26 d BC  ．选 C． 11． 【答案】D 【解析】由已知得 2 2b  ，故 1b  ；∵ 1F AB△ 的面积为 2 3 2  ， ∴  1 2 3 2 2a c b   ，∴ 2 3a c   ，又   2 2 2 1a c a c a c b      ， ∴ 2a  ， 3c  ，∴   1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF        ， - 9 - 又 12 3 2 3PF    ，∴ 2 1 11 4 4PF PF    ，∴ 1 2 1 11 4PF PF    ． 即 1 2 1 1 PF PF  的取值范围为 1 4， ．选 D． 12． 【答案】A 【解析】由 2e x a x 得 2lnx xa  在 21 eex     ， 上恒成立，即 1 2ln x a x  在 21 eex     ， 上恒 成立． 令   2ln xf x x  ， 21 eex     ， ，则     2 2 1 ln xf x x   ， ∴当 1 eex      ， 时，   0f x  ，  f x 单调递增， 当 2e ex    ， 时，   0f x  ，  f x 单调递减． ∴    max 2e ef x f  ，∴  1 2e efa   ， ∴ e0 2a  ．故实数 a 的取值范围是 e0 2      ， ．选 A． 13【答案】 2 【解析】作出不等式组表示的可行域，为如图所示的四边形 OABC ，且  0 0O ， ，  01A ， ，  2 2B ， ，  4 0C ， ． 由 z ax y  得 y ax z   ， ①当 0a  时，平移直线 y ax z   ，结合图形得当直线经过点  4 0C ， 时，直线在 y 轴上的截 距最小，此时 z 取得最小值，且 min 4z a ，由 4 8a   ，得 2a   ，符合题意． - 10 - ②当 0a  时，平移直线 y ax z   ，结合图形得当直线经过点  0 0O ， 时，直线在 y 轴上的截 距最小，此时 z 取得最小值，且 min 0z  ，不合题意． 综上 2a   ． 14【答案】  5 4 ， 【解析】∵函数  f x 是偶函数，且 0x  时，    lg 1f x x  ， ∴ 0x  时，  f x 单调递增，∴ 0x  时，  f x 单调递减． 又    9 lg 9 1 1f    ，∴不等式  2 1 1f x   可化为    2 1 9f x f  ， ∴ 2 1 9x   ，∴ 9 2 1 9x    ，解得 5 4x   ， ∴实数 x 取值范围是  5 4 ， ． 15．【答案】13 【解析】由 1AE BD   ，得 2 21 1 1( ) ( ) 12 2 2AD AB AD AB AD AB AD AB               ， 设 AB m ，∴ 21 14 12 2m m   ，解得 3m  ． ∴ 2 21 3 1( )( ) +2 2 2BD BE AD AB AD AB AD AD AB AB                3 1 94 2 3 132 2 2        ． 16．【答案】 2n 【解析】由  1 1 2 1n n na a a    得  1 1 2 2n n n na a a a n      ． 又  3 1 22 1 10a a a    ， 4 1 2 3 4 414 30S a a a a a       ， ∴ 4 16a  ．又  4 2 32 1a a a   ，∴ 3 9a  ，∴ 1 1a  ，∴ 2 1 3a a  ， ∴数列 1n na a  是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列， ∴    1 3 2 2 2 1 2n na a n n n       ， ∴ 当 2n  时 ，      1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a         ．．．     22 1 2 3 1n n n      ．．． ， 又 1 1a  满足上式，∴  2 * na n n N ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 - 11 - 17．【答案】（1） π 3B  ；（2） 3 3 4 ． 【解析】（1）由 sin 1 2sin sin 2cos B A C C  及  sin sinA B C  ， 得  2sin cos 2sin sin 2sin cos 2cos sin sinB C B C C B C B C C      ， 2cos sin sinB C C  ，又在 ABC△ 中， sin 0C  ， 1cos 2B  ， 0 πB  ， π 3B  ． （2）在 ABC△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，即 27 1 c c   ， 2 6 0c c    ，解得 3c  ， ∴ ABC△ 的面积 1 3 3sin2 4S ac B  ． 18． 【答案】（1）见解析；（2） 11 13 ． 【解析】（1）连 DC ，交 BE 于点 G ，连 FG ． ∵在等腰梯形 DBCE 中， BD DE CE  ， 2BC DE ， BC DE ∥ ， 2CG BC DG DE    ， 3AC AF ， 2CF AF   ， CF CG AF DG   ， AD FG ∥ ，又 AD  平面 BEF ， FG  平面 BEF ， ∴ AD∥平面 BEF ． （2）取 DE 中点O，BC 中点 H ，连 AO ，OH ，显然 AO DE ．又平面 ADE  平面 BCED ， 平面 ADE  平面 BCED DE ，所以 AO  平面 BCED ．由于 O 、 H 分别为 DE 、 BC 中点， 且在等腰梯形 DBCE 中， 2BC DE ，则 OH DE ． 以O 为原点建立下图所示空间直角坐标系 O xyz ． - 12 - 设 2 ( 0)BC a a  ，则 3 02B a a       ， ， ， 3 02C a a      ， ， ， 0 02 aE    ，， ， 30 0 2A a       ，， ， ∴ 3 3 2 2AB a a a        ， ， ， 302 2 aAE a         ，， ， 3 3 02 2 aBE a         ， ， ， ∴ 2 2 3 3 4 3 3( 2 0 0)3 3 2 2 3 3 3BF BC CF BC CA a a a a a a a                             ，， ， ， ， ， ， 设平面 ABE 的一个法向量为  1 1 1x y zu ， ， ， 可得 1 1 1 1 1 3 3 02 2 3 02 2 AB ax ay az aAE x az             u u   ， 令 1 1z  ，可得 1 3x   ， 1 3y  ，则  3 31 u ，， ． 设平面 FBE 的一个法向量为  2 2 2x y zv ， ， ， 可得 2 2 2 2 2 3 3 02 2 4 3 3 03 3 3 aBE x ay BF ax ay az                v v   ， 令 2 3y  ，可得 2 1x   ， 2 3 3z   ，则 31 3 3        v ， ， ． ∴ 3 113 3 3 3 113 3cos 131 1313 1 3 133 3 ,           u vu v u v ， 由图形知，二面角 A BE F  为锐角， ∴二面角 A BE F  的余弦值为 11 13 ． 19．【答案】（1）能在犯错误的概率不超过 01．的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”； - 13 - （2）①3，4．② 1 2 ． 【解析】（1）由列联表可得  2 2 100 20 20 40 20 400 400 100 2 778 2 70660 40 60 40 5760000k            ． ． ， 所以能在犯错误的概率不超过 01．的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”． （2）①由分层抽样知 80 后组中，愿意接受外派人数为 3，在 90 后组中，愿意接受外派人数 为 4． ②“ x y ”包含“ 0x  ， 1y  ”，“ 0x  ， 2y  ”，“ 0x  ， 3y  ”，“ 1x  ， 2y  ”，“ 1x  ， 3y  ”，“ 2x  ， 3y  ”六种情况． 且   0 3 1 2 3 3 4 2 3 3 6 6 C C C C 10 1 C C 100P x y    ， ，   0 3 2 1 3 3 4 2 3 3 6 6 C C C C 30 2 C C 100P x y    ， ，   0 3 3 0 3 3 4 2 3 3 6 6 C C C C 10 3 C C 100P x y    ， ，   1 2 2 1 3 3 4 2 3 3 6 6 C C C C 271 2 C C 100P x y    ， ，   1 2 3 0 3 3 4 2 3 3 6 6 C C C C 91 3 C C 100P x y    ， ，   2 1 3 0 3 3 4 2 3 3 6 6 C C C C 92 3 C C 100P x y    ， ． ∴ 1 3 1 27 9 9 1( ) 100 2P x y        ．即 x y 的概率为 1 2 ． 20． 【答案】（1） 2 4x y ；（2）直线 m 的方程为 1 62y x  或 1 62y x   ． 【解析】（1）设抛物线方程为 2 2 ( 0)x py p  ， ∵以 A为圆心， 2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F ， ∴ =2p ，∴该抛物线的标准方程为 2 4x y ． （2）由题知直线 m 的斜率存在，设其方程为 6y kx  ， 由 2 6 4 y kx x y       消去 y 整理得 2 4 24 0x kx   ， 显然 216 96 0k    ．设  1 1P x y， ，  2 2Q x y， ，则 1 2 1 2 4 • 24 x x k x x        ． 抛物线在点 2 1 1 4 xP x      ， 处的切线方程为   2 1 1 14 2 x xy x x   ， 令 1y   ，得 2 1 1 4 2 xx x  ，可得点 2 1 1 4 12 xR x       ， ， - 14 - 由Q ， F ， R 三点共线得 QF FRk k ， ∴ 2 2 2 12 1 1 1 14 4 2 x xx x     ，即   2 2 1 2 1 24 4 16 0x x x x    ， 整理得  22 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 2 16 16 0x x x x x x x x        ， ∴       2 224 4 4 2 24 16 16 24 0k            ， 解得 2 1 4k  ，即 1 2k   ， ∴所求直线 m 的方程为 1 62y x  或 1 62y x   ． 21． 【答案】（1）单调减区间为  01， ，单调增区间为  1  ， ；（2） e 1  ， ． 【解析】（1）∵   1ln xf x k x x   ，定义域为  0  ， ， ∴   2 2 1 1k kxf x x x x     ．由题意知  1 1 0f k    ，解得 1k  ， ∴   2 1xf x x   ，由   0f x  ，解得 1x  ；由   0f x  ，解得 0 1x  ，  f x 的单调减区间为  01， ，单调增区间为  1  ， ． （2）由（1）知   1ln 1f x x x    ，     1 ln 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 f x x x x x x x x x x x            ． 设   ln 1 xm x x   ，则    2 1 ln 1 x x xm x x x     ， 令   1 lnn x x x x   ，则   1 ln 1 lnn x x x      ， 1x  时，   0n x  ，故  n x 在 1 +， 上单调递减，    1 0n x n   ，  1 ex  ， 时，   0m x  ，  m x 单调递减，  1 ex  ， 时，     1e e 1m x m   ， 由题意知 1 1 e 1a   ，又 0a  ， e 1a   ． 下面证明当 e 1a   ， 0 1x  时， ln 1 1 x x a  成立， - 15 - 即证 ln 1a x x  成立， 令   ln 1x a x x    ，则   1a a xx x x      ， 由 e 1a   ， 0 1x  ，得   0x  ，故  x 在  01，是增函数，  01x  ， 时，    1 0x   ， ln 1a x x   成立，即 ln 1 1 x x a  成立， 故正数 a 的取值范围是 e 1  ， ． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22． 【答案】（1） 4x y  ；（2） 2 2 ． 【解析】（1）设  ,Q   ，则   1 10,, 0P      ， 又 4OP OQ  ， 1 4  ， 1 4   ， 4 sin cos    ， cos sin 4      ． 将 cosx   ， siny   代入上式可得点Q 的直角坐标方程为 4x y  ． （2）设   , 0P     ，则 cos sin    ， 3π4 4M      ， ， MOP△ 的面积 1 3π 2 24 sin 2 cos sin2 4 2 2S                22 cos sin 2 1 sin 2 2 2       ， 当且仅当 sin 2 1  ，即 π 4   时等号成立． MOP△ 面积的最大值为 2 2 ． (用直角坐标方程求解，参照给分） 23．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1） 0a  ， 0b  ， 2 2 2a b ab  ，      3 3 3 3 2 2 2 22a b a b a b ab a a b b b a                 22 2 0a b a b a b a b       ， 3 3 2a b   ． - 16 - （2）     25 5 6 6 5 5 3 3 3 3 5 52a b a b a b a b ab a b a b a b ab                  2 2 23 3 4 2 2 4 3 3 2 22a b ab a a b b a b ab a b         ， 0a  ， 0b  ， 3 3 2a b  ，   5 5 22 4a b a b     ．