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- 2021-06-24 发布
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2015年湖南省高考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
2.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(5分)设x∈R,则“x>1“是“x3>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最小值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
5.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=( )
A. B. C. D.
6.(5分)若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.(5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
8.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
9.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10.(5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁UB)= .
12.(5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为 .
13.(5分)若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°,(O为坐标原点),则r= .
14.(5分)若函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
15.(5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω= .
三、解答题
16.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(Ⅱ)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.
17.(12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.
(Ⅰ)证明:sinB=cosA;
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.
18.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点,
(Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F﹣AEC的体积.
19.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,an+2=3Sn﹣Sn+1+3,n∈N*,
(Ⅰ)证明an+2=3an;
(Ⅱ)求Sn.
20.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
21.(13分)已知a>0,函数f(x)=aexcosx(x∈[0,+∞]),记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.
(Ⅰ)证明:数列{f(xn)}是等比数列;
(Ⅱ)若对一切n∈N*,xn≤|f(xn)|恒成立,求a的取值范围.
2015年湖南省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.
【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,
故选:D.
2.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】对各数据分层为三个区间,然后根据系统抽样方法从中抽取7人,得到抽取比例为,然后各层按照此比例抽取.
【解答】解:由已知,将个数据分为三个层次是[130,138],[139,151],[152,153],根据系统抽样方法从中抽取7人,得到抽取比例为,
所以成绩在区间[139,151]中共有20名运动员,抽取人数为20×=4;
故选B.
3.(5分)(2015•湖南)设x∈R,则“x>1“是“x3>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可.
【解答】解:因为x∈R,“x>1“⇔“x3>1”,
所以“x>1“是“x3>1”的充要条件.
故选:C.
4.(5分)(2015•湖南)若变量x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最小值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
由图可知,最优解为A,
联立,解得A(0,1).
∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1.
故选:A.
5.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=( )
A. B. C. D.
【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.
【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,
第1次循环,S=,i=2,
第2次循环,S=,i=3,
第3次循环,S=,i=4,
此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S==
=
故选:B
6.(5分)(2015•湖南)若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点,得到a、b关系式,然后求出双曲线的离心率即可.
【解答】解:双曲线﹣=1的一条渐近线经过点(3,﹣4),可得3b=4a,即9(c2﹣a2)=16a2,
解得=.
故选:D.
7.(5分)(2015•湖南)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
【分析】由+=,可判断a>0,b>0,然后利用基础不等式即可求解ab的最小值
【解答】解:∵+=,
∴a>0,b>0,
∵(当且仅当b=2a时取等号),
∴,
解可得,ab,即ab的最小值为2,
故选:C.
8.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.
【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),
函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.
排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;
x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.
故选:A.
9.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.
【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|
所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.
所以||的最大值为7.
故选:B.
10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( )
A. B. C. D.
【分析】由题意,原材料对应的几何体是圆锥,其内接正方体是加工的新工件,求出它们的体积,正方体的体积与圆锥的体积比为所求.
【解答】解:由题意,由工件的三视图得到原材料是圆锥,底面是直径为2的圆,母线长为3,所以圆锥的高为2,圆锥是体积为;
其内接正方体的棱长为x,则,解得x=,所以正方体的体积为,
所以原工件材料的利用率为:=;
故选:A.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)(2015•湖南)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁UB)= {1,2,3} .
【分析】首先求出集合B的补集,然后再与集合A取并集.
【解答】解:集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},
所以∁UB={2},
所以A∪(∁UB)={1,2,3}.
故答案为:{1,2,3}.
12.(5分)(2015•湖南)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为 x2+(y﹣1)2=1 .
【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化,求解即可.
【解答】解:曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ,即ρ2=2ρsnθ,它的直角坐标方程为:x2+y2=2y,即x2+(y﹣1)2=1.
故答案为:x2+(y﹣1)2=1.
13.(5分)(2015•湖南)若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°,(O为坐标原点),则r= 2 .
【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,∠AOB=120°,则△AOB为顶角为120°的等腰三角形,顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r,代入点到直线距离公式,可构造关于r的方程,解方程可得答案.
【解答】解:若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点,O为坐标原点,
且∠AOB=120°,
则圆心(0,0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r,
即=r,
解得r=2,
故答案为:2.
14.(5分)(2015•湖南)若函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是 0<b<2 .
【分析】由函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,可得|2x﹣2|=b有两个零点,从而可得函数y=|2x﹣2|
函数y=b的图象有两个交点,结合函数的图象可求b的范围
【解答】解:由函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,可得|2x﹣2|=b有两个零点,
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点,
结合函数的图象可得,0<b<2时符合条件,
故答案为:0<b<2
15.(5分)(2015•湖南)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω= .
【分析】根据正弦线,余弦线得出交点((k1,),((k2,),k1,k2都为整数,
两个交点在同一个周期内,距离最近,即可得出方程求解即可.
【解答】解:∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点,
∴根据三角函数线可得出交点((k1,),((k2,),k1,k2都为整数,
∵距离最短的两个交点的距离为2,
∴这两个交点在同一个周期内,
∴12=()2+()2,ω=
故答案为:
三、解答题
16.(12分)(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(Ⅱ)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.
【分析】(Ⅰ)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中求出摸出的2个球都是红球的结果数,然后利用古典概型概率计算公式求得概率,并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的.
【解答】解:(Ⅰ)所有可能的摸出的结果是:
{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},
{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2};
(Ⅱ)不正确.理由如下:
由(Ⅰ)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为:
{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,
∴中奖的概率为.
不中奖的概率为:1﹣.
故这种说法不正确.
17.(12分)(2015•湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.
(Ⅰ)证明:sinB=cosA;
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理及已知可得=,由sinA≠0,即可证明sinB=cosA.
(Ⅱ)由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,可得sin2B=,结合范围可求B,由sinB=cosA及A的范围可求A,由三角形内角和定理可求C.
【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a=btanA.
∴=tanA,
∵由正弦定理:,又tanA=,
∴=,
∵sinA≠0,
∴sinB=cosA.得证.
(Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,
∴sin2B=,
∵0<B<π,
∴sinB=,
∵B为钝角,
∴B=,
又∵cosA=sinB=,
∴A=,
∴C=π﹣A﹣B=,
综上,A=C=,B=.
18.(12分)(2015•湖南)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点,
(Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F﹣AEC的体积.
【分析】(Ⅰ)证明AE⊥BB1,AE⊥BC,BC∩BB1=B,推出AE⊥平面B1BCC1,利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)取AB的中点G,说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,就是∠CA1G,求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:∵几何体是直棱柱,∴BB1⊥底面ABC,AE⊂底面ABC,∴AE⊥BB1,
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E分别是BC的中点,
∴AE⊥BC,BC∩BB1=B,∴AE⊥平面B1BCC1,
∵AE⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)解:取AB的中点G,连结A1G,CG,由(Ⅰ)可知CG⊥平面A1ABB1,
直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,就是∠CA1G,则A1G=CG=,
∴AA1==,CF=.
三棱锥F﹣AEC的体积:×==.
19.(13分)(2015•湖南)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,an+2=3Sn﹣Sn+1+3,n∈N*,
(Ⅰ)证明an+2=3an;
(Ⅱ)求Sn.
【分析】(Ⅰ)当n≥2时,通过an+2=3Sn﹣Sn+1+3与an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3作差,然后验证当n=1时命题也成立即可;
(Ⅱ)通过(I)写出奇数项、偶数项的通项公式,分奇数项的和、偶数项的和计算即可.
【解答】(Ⅰ)证明:当n≥2时,由an+2=3Sn﹣Sn+1+3,
可得an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3,
两式相减,得an+2﹣an+1=3an﹣an+1,
∴an+2=3an,
当n=1时,有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣(1+2)+3=3,
∴a3=3a1,命题也成立,
综上所述:an+2=3an;
(Ⅱ)解:由(I)可得,其中k是任意正整数,
∴S2k﹣1=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k﹣3+a2k﹣2)+a2k﹣1
=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1
=+3k﹣1
=×3k﹣1﹣,
S2k=S2k﹣1+a2k=×3k﹣1﹣+2×3k﹣1=﹣,
综上所述,Sn=.
20.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
【分析】(Ⅰ)通过C1方程可知a2﹣b2=1,通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得,计算即得结论;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),通过=可得(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l方程为y=kx+1,分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程,利用韦达定理计算即可.
【解答】解:(Ⅰ)由C1方程可知F(0,1),
∵F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,
又∵C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2的图象都关于y轴对称,
∴易得C1与C2的公共点的坐标为(±,),
∴,
又∵a2﹣b2=1,
∴a2=9,b2=8,
∴C2的方程为+=1;
(Ⅱ)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
∵与同向,且|AC|=|BD|,
∴=,∴x1﹣x2=x3﹣x4,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,
设直线l的斜率为k,则l方程:y=kx+1,
由,可得x2﹣4kx﹣4=0,
由韦达定理可得x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,
由韦达定理可得x3+x4=﹣,x3x4=﹣,
又∵(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,
∴16(k2+1)=+,
化简得16(k2+1)=,
∴(9+8k2)2=16×9,解得k=±,
即直线l的斜率为±.
21.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=aexcosx(x∈[0,+∞]),记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.
(Ⅰ)证明:数列{f(xn)}是等比数列;
(Ⅱ)若对一切n∈N*,xn≤|f(xn)|恒成立,求a的取值范围.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,令导数为0,求得极值点,再由等比数列的定义,即可得证;
(Ⅱ)由n=1可得a的范围,运用数学归纳法证8n>4n+3,当a≥π时,验证得|f(xn+1)|>xn+1,即可得到a的范围.
【解答】(Ⅰ)证明:函数f(x)=aexcosx的导数为f′(x)=aex(cosx﹣sinx),
a>0,x≥0,则ex≥1,
由f′(x)=0,可得cosx=sinx,即tanx=1,解得x=kπ+,k=0,1,2,…,
当k为奇数时,f′(x)在kπ+附近左负右正,
当k为偶数时,f′(x)在kπ+附近左正右负.
故x=kπ+,k=0,1,2,…,均为极值点,
xn=(n﹣1)π+=nπ﹣,
f(xn)=acos(nπ﹣),f(xn+1)=acos(nπ+),
当n为偶数时,f(xn+1)=﹣eπf(xn),
当n为奇数时,f(xn+1)=﹣eπf(xn),
即有数列{f(xn)}是等比数列;
(Ⅱ)解:由于x1≤|f(x1)|,则≤a,
解得a≥π,
下面证明8n>4n+3.
当n=1时,8>7显然成立,假设n=k时,8k>4k+3,
当n=k+1时,8k+1=8•8k>8(4k+3)=32k+24
=4(k+1)+28k+20>4(k+1)+3,
即有n=k+1时,不等式成立.
综上可得8n>4n+3(n∈N+),
由eπ>8,
当a≥π时,
由(Ⅰ)可得|f(xn+1)|=|(﹣eπ)|n|f(x1)|
>8n|f(x1)|=8nf(x1)>(4n+3)x1>xn+1,n∈N+,
综上可得a≥π成立.
参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;changq;qiss;吕静;刘长柏;双曲线;sdpyqzh;sxs123;w3239003;cst(排名不分先后)
2017年2月3日
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