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- 2021-06-24 发布
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第六节 双 曲 线
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
双曲线的定义
(1)
平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离
_____________
等于常数
(
小于
|F
1
F
2
|
且不等于
零
)
的点的轨迹叫做双曲线
.
这两个定点叫做双曲线的
_____
,两焦点的距离叫做
双曲线的
_____.
(2)
集合
P={M|||MF
1
|-|MF
2
||=2a}
,
|F
1
F
2
|=2c
,其中
a
,
c
为常数且
a>0
,
c>0.
①
当
2a<2c
时,
M
点的轨迹为
_______
;
②
当
2a=2c
时,
M
点的轨迹为
_________
;
③
当
2a>2c
时,
M
点的轨迹
_______.
的差的绝对值
焦点
焦距
双曲线
两条射线
不存在
2.
双曲线的标准方程与几何性质
【常用结论】
1.
双曲线中的几个常用结论
(1)
焦点到渐近线的距离为
b.
(2)
实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线
.
(3)
双曲线为等轴双曲线
⇔
双曲线的离心率
e= ⇔
双曲线的两条渐近线互相垂直
(
位置关系
).
(4)
过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为
(5)
过双曲线焦点
F
1
的弦
AB
与双曲线交在同支上,则
AB
与另一个焦点
F
2
构成的
△ABF
2
的周长为
4a+2|AB|.
(6)
双曲线的离心率公式可表示为
e=
2.
巧设双曲线方程
(1)
与双曲线
=1(a>0
,
b>0)
有共同渐近线的方程可表示为
=t(t≠0).
(2)
过已知两个点的双曲线方程可设为
mx
2
+ny
2
=1(mn<0).
3.
直线与双曲线的位置关系
判断直线
l
与双曲线
C
的位置关系时,通常将直线
l
的方程
Ax+By+C=0(A
,
B
不同
时为
0)
代入双曲线
C
的方程,消去
y(
也可以消去
x)
得到一个关于变量
x(
或变
量
y)
的一元方程,即 消去
y
,得
ax
2
+bx+c=0.
(1)
当
a≠0
时,设一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的判别式为
Δ
,则
Δ>0⇔
直线与双曲线
C
相交;
Δ=0⇔
直线与双曲线
C
相切;
Δ<0⇔
直线与双曲线
C
相离
.
(2)
当
a=0
,
b≠0
时,即得到的是一次方程,则直线
l
与双曲线
C
相交,且只有一个交点,此时,直线
l
与双曲线的渐近线的位置关系是平行
.
【知识点辨析】
(
正确的打“
√”,
错误的打“
×”)
(1)
平面内到点
F
1
(0,4),F
2
(0,-4)
距离之差的绝对值等于
8
的点的轨迹是双曲线
.
(
)
(2)
双曲线
=λ(m>0,n>0,λ≠0)
的渐近线方程是
=0,
即
=0. (
)
(3)
与双曲线
=1(mn>0)
共渐近线的双曲线方程可设为
=λ(λ≠0).
(
)
(4)
等轴双曲线的离心率等于
,
且渐近线互相垂直
. (
)
(5)
若双曲线
=1(a>0,b>0)
与
=1(a>0,b>0)
的离心率分别是
e
1
,e
2
,
则
=1(
此结论中的两条双曲线称为共轭双曲线
). (
)
提示
:
(1)×.
由双曲线的定义知
,
当该常数小于
|F
1
F
2
|
时
,
其轨迹才是双曲线
,
而本
题中
|F
1
F
2
|=8,
故本题中点的轨迹为两条射线
.
(2)√.
渐近线方程的求法即为令等式右边常数等于
0,
然后开方即得
.
(3)√.
易知双曲线
=1
与
=λ(λ≠0)
渐近线相同
,
且
=λ(λ≠0)
可表示渐近线为
y=± x
的任意双曲线
.
(4)√.
因为是等轴双曲线
,
所以
a=b,c= a,
离心率等于
,
渐近线方程为
y=±x,
互相垂直
.
(5)√.
由已知
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
不能熟练应用平面几何知识进行条件转化
考点一、
T1
2
条件考虑不全
,
不能正确求解范围
(
例如本题容易漏掉
Δ>0
对
k
的限定
)
考点二、
T2
3
易出现条件转化不全
考点三、角度
3T1
【教材
·
基础自测】
1.(
选修
2-1P51
练习
AT2(2)
改编
)
双曲线
=1
上的点
P
到点
(5,0)
的距离
是
6,
则点
P
的坐标是
________.
【解析】
设
P(x,y),
由已知得
解得 所以
P(8,± ).
答案
:
(8,± )
2.(
选修
2-1P51
练习
BT2
改编
)
以椭圆
=1
的焦点为顶点
,
顶点为焦点的双曲
线方程为
________.
【解析】
由已知得
a=3,c=5,
则双曲线方程为
=1.
答案
:
=1
3.(
选修
2-1P58
习题
2-3BT1
改编
)
已知方程
=1
表示双曲线
,
则
m
的取值
范围是
________.
【解析】
因为该方程表示双曲线
,
所以
(m+2)(m+5)>0,
即
m>-2
或
m<-5,
即
m
的取值
范围为
(-∞,-5)∪(-2,+∞).
答案
:
(-∞,-5)∪(-2,+∞)
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