2018-2019学年湖北省重点高中协作体高一下学期期中联考数学试题（解析版） 19页

‎2018-2019学年湖北省重点高中协作体高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　）‎ A．若， B．若， ‎ C．若， D．若， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用特殊值可判断选项，利用不等式相除的性质判断选项.‎ ‎【详解】‎ 对于，当，时，，故错误，‎ 对于，当，时，，故错误，‎ 对于, 当，时，故错误，‎ 对于，若，则，则，故正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的基本性质，特值法的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎2．下列叙述中正确的是（　　）‎ A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面 C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线 D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内 ‎【答案】D ‎【解析】利用圆柱的定义判断；利用棱柱的定义判断；利用圆锥母线的定义判断；利用球体的性质判断.‎ ‎【详解】‎ 在中，将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故错； ‎ 在中，长方体中两个相互平行的平面不一定是棱柱的底面，故错误； ‎ 在中，两点确定一条直线，圆锥过圆锥侧面上的一点只有一条母线，故错误； ‎ 在中，球面上四个不同的点有可能在同一平面内，故正确，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查圆柱、棱柱、圆锥、球等基础知识，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，考查了空间想象能力，属于中档题．‎ ‎3．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入，分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质，分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分两种情况讨论：‎ ‎①当时，即，‎ 若时，原不等式为，解可得：，‎ 则不等式的解集为，不是空集，符合题意；‎ 若时，原不等式为，无解，不符合题意；‎ ‎②当时，即，‎ 若的解集是空集，‎ 则有，解可得，‎ 则当不等式的解集不为空集时，‎ 有或且，‎ 综合可得：实数的取值范围为；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎4．平面与平面平行的条件可以是（　　）‎ A．内有无数多条直线都与平行 B．直线，，且，‎ C．直线，，且直线不在内，也不在内 D．一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面 ‎【答案】D ‎【解析】利用可能相交，判断，利用面面平行的判定定理判断选项.‎ ‎【详解】‎ 对于,内有无数多条直线都与平行，则可能相交，错；‎ 对于,直线，，且，，则可能相交，错；‎ 对于,直线，，且直线不在内，也不在内, ，则可能相交，错；‎ 对于,一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理可知正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面与平面平行的判定定理，意在考查对基本定理的掌握情况，属基础题．‎ ‎5．的三个内角所对边的长分别为，，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理化简已知的等式，再利用同角三角函数间的基本关系变形，求出与的比值，再利用正弦定理即可求出所求式子的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以由正弦定理化得：，‎ 整理得：，‎ 则由正弦定理得：.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题题考查了正弦定理的应用，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎6．若实数满足，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据对数的运算性质求出，再根据基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 因为实数满足，则 所以 ，当且仅当时取等号，‎ 故则的最小值为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算性质和基本不等式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎7．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】连结，，可得异面直线与所成角为．利用余弦定理可求出，最后可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 连结，，‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线与所成角为．‎ 令，则，．‎ ‎，‎ ‎∴，．即．‎ ‎∴.故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎8．在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）‎ A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 ‎【答案】C ‎【解析】由，能证明平面；由已知推导出，，从而平面，进而平面；由已知得平面平面，从而平面与平面不垂直；由平面，推导出平面平面．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在正四面体中，分别是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，故正确；‎ ‎∵，是中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，故正确；‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∵平面平面 ，且与平面不垂直，‎ ‎∴平面与平面不垂直，故错误；‎ ‎∵平面，且平面，‎ ‎∴平面平面，故正确,故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行、线面垂直、面面垂直，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎．‎ ‎9．已知不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　）‎ A．或 B．‎ C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据一元一次不等式的解求出，利用消参法转化为含有参数的一元二次不等式，进行求解即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，变形可得，‎ 又由不等式的解集为，‎ 则有且，‎ 解得，则不等式 等价为．‎ 解可得：，‎ 故不等式的解集为,故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，属于中档题．若，则的解集是；的解集是.‎ ‎10．已知的三边分别是4，5，6，则这个三角形最长边上的中线长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，，．为的中点，则，利用余弦定理求出，再在小三角形中使用余弦定理求出中线长即可．‎ ‎【详解】‎ 在中，设，，．为的中点，则．‎ 在中，由余弦定理得．‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以,故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎11．已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，则x的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出函数的值域，把问题化为时不等式恒成立，转化为关于的一次函数在上恒小于0，从而求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 函数，，‎ 则的值域为；‎ 又对所有实数，不等式恒成立，‎ 等价于：在内恒成立，‎ 当时，不等式为恒成立；‎ 当时，令，其中；‎ 问题转化为在上恒小于0，‎ 则，化简为，‎ 解得：，‎ 所以的取值范围是,故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的值域以及不等式恒成立问题，也考查了等价转化思想与构造函数方法，是中档题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将二次不等式问题转化为一次不等式问题是解题的关键.‎ ‎12．三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：‎ ‎①‎ ‎②的面积为 ‎③的周长为 ‎④外接圆半径 这四个结论中一定成立的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，，可得，可得外接圆半径，④正确；‎ ‎，即为，‎ 即有，‎ 则，即或，即；‎ 若，，，可得，①可能成立；‎ 由可得，，则三角形的周长为；面积为；‎ 则②③成立；‎ 若，由，‎ 可得，，‎ 则三角形的周长为；面积为；‎ 则②③成立①不成立；‎ 综上可得②③④一定成立,故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ 二、填空题 ‎13．若，且，则，，，从小到大的排列顺序是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得到且 ,作差比较，的大小即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴， ,‎ ‎，‎ ‎∴， ‎ ‎∴． ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式比较大小，属基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.‎ ‎14．如图所示，在直角梯形中，，，，若将该直角梯形绕边旋转一周，则所得的几何体的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将该直角梯形绕边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1高为1的圆锥，由此能求出所得的几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在直角梯形中，，，，‎ ‎∴将该直角梯形绕边旋转一周，‎ 所得的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1高为1的圆锥，‎ 则所得的几何体的体积为：．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．求几何体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体 ‎15．已知，，若不等式恒成立，则取最大值时，______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用分离常数法和基本不等式求出的最大值，以及取最大值时与的关系，再计算的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，时，不等式可化为，‎ 即；‎ 又，当且仅当时取“”，‎ 所以，且取最大值时，此时．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎16．应城一中高一某班学生在学完了必修5第一章解三角形的知识之后，数学组的老师组织学生进行了一次课外实践活动（实地测量），如图，为测量应城一中的科技楼高，学生选择地面的点和另一座教学楼顶为测量观测点，从点测得点的仰角60°，点的仰角以及，从点测得，已知教学楼，则科技楼高______．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】作出示意图，在三角形中由正弦定理得：，结合可得的值，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ ‎，，，，，‎ 在直角三角形中可得，‎ 在三角形中由正弦定理得：，‎ ‎∴，‎ 在直角三角形中，．‎ 故答案为30．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理解三角形，属中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数．‎ ‎（1）若时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若时，对任意的，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）时，不等式等价于，由此能求出关于的不等式的解集；（2）时，对任意的恒成立，等价于对恒成立，从而，由此能求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，函数，‎ ‎∴，即，‎ 解得，‎ ‎∴关于的不等式的解集为．‎ ‎（2）时， 对任意的恒成立，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的解法，二次函数的性质以及不等式恒成立问题，是中档题．一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.‎ ‎18．如图，三棱柱中，，，，分别是的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）若，求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】（1）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，得出，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明，可得平面，从而 ； （3）根据菱形的性质以及（2）的结论可得 ，，由此得平面，故而平面平面．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点，连接，，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∵是的中点，四边形是平行四边形，‎ ‎∴，，‎ ‎∴,，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）连接，‎ ‎∵，是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴ ．‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴四边形是菱形，‎ ‎∴，‎ 由（2）知 ，又，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎19．已知中，边所对的角分别为，且满足，的面积为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，利用正弦定理、降幂公式及两角和的正弦公式进行化简可得，再由正弦定理即可证明；（2）由可求，然后结合余弦定理及即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵．‎ ‎∴由正弦定理得： ．‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ 由（1）得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎20．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）100千件.‎ ‎【解析】（1）分两种情况进行研究，当时，当时，分别根据年利润等于销售收入与成本的差，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵每件商品售价为0.05万元，‎ ‎∴千件商品销售额为万元，‎ ‎①当时，根据年利润=销售收入-成本，‎ ‎∴；‎ ‎②当时，根据年利润=销售收入-成本，‎ ‎∴‎ 综合①②可得，；‎ ‎（2）①当时，，‎ ‎∴当时，取得最大值万元；‎ ‎②当时，，‎ 当且仅当，即时，取得最大值万元．‎ 综合①②，由于，‎ ‎∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).‎ ‎21．如图，是平行四边形，，为的中点，且有，现以为折痕，将折起，使得点到达点的位置，且 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若四棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先推导出，利用线面垂直的判定定理能证明平面；（2）由四棱锥的体积为求出，由，可得平面，推导出，分别求出4个侧面的面积即可求出四棱锥的侧面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，，，，‎ ‎∴∠PEC=90°，即PE⊥EC，‎ 又PE⊥AE，∴PE⊥面ABCE．‎ ‎（2）由（1）得PE⊥面ABCE，‎ VP-ABCE=，‎ ‎∴AE=1，∴PE⊥AB，又AB⊥AE，‎ ‎∴AB⊥面PAE，∴AB⊥PA，∴PA=，‎ 由题意得BC=PC=，PB=，‎ ‎△PBC中，由余弦定理得，‎ ‎∴∠PCB=120°，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎∴四棱锥P-ABCE的侧面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的证明，以及棱锥的体积与侧面积，是中档题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎22．在中，内角所对的边分别为，且有成立．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，判断当的周长最大时的形状，并求此时的最大周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）△ABC的最大周长为6，此时三角形为等边三角形.‎ ‎【解析】（1）由，利用余弦定理可得，由正弦定理结合，可求，结合范围，可求的值；（2）由余弦定理，基本不等式可求，当且仅当时取等号，即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴由余弦定理可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴由正弦定理可得： ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴tanA=，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由余弦定理可得：‎ ‎∴（b+c）2≤16，即b+c≤4，当且仅当b=c=2时取等号，‎ ‎∴△ABC的周长L=a+b+c≤6，即△ABC的最大周长为6，此时三角形为等边三角形．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎