• 436.50 KB
  • 2021-06-24 发布

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)

  • 26页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分 ‎1.(5分)已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=(  )‎ A.(﹣1,3) B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,3)‎ ‎2.(5分)若为a实数,且=3+i,则a=(  )‎ A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.4‎ ‎3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(  )‎ A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4.(5分)=(1,﹣1),=(﹣1,2)则(2+)=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎5.(5分)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(  )‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ ‎6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎9.(5分)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4﹣1),则a2=(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎10.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(  )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎11.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,)∪(1,+∞) B.(,1)‎ C.() D.(﹣∞,﹣,)‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.(3分)已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a=   .‎ ‎14.(3分)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为   .‎ ‎15.(3分)已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是   .‎ ‎16.(3分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=   .‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎17.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC ‎(Ⅰ) 求.‎ ‎(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.‎ ‎18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)‎ ‎(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.‎ ‎19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 ‎(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)‎ ‎(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎20.椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.‎ ‎21.设函数f(x)=lnx+a(1﹣x).‎ ‎(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ 四、选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎(1)证明:EF∥BC;‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.‎ ‎ ‎ 五、选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2‎ ‎:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ ‎ ‎ 六、选修4-5不等式选讲 ‎24.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+;‎ ‎(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎ ‎ ‎2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分 ‎1.(5分)已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=(  )‎ A.(﹣1,3) B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,3)‎ ‎【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},‎ ‎∴A∪B={x|﹣1<x<3},‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)若为a实数,且=3+i,则a=(  )‎ A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.4‎ ‎【分析】根据复数相等的条件进行求解即可.‎ ‎【解答】解:由,得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,‎ 则a=4,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查复数相等的应用,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(  )‎ A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A正确;‎ B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;‎ C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;‎ D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误.‎ ‎【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;‎ B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;‎ C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;‎ D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)=(1,﹣1),=(﹣1,2)则(2+)=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题.‎ ‎【解答】解:因为=(1,﹣1),=(﹣1,2)则(2+)=(1,0)•(1,﹣1)=1;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算;属于基础题目.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=(  )‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ ‎【分析】由等差数列{an}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由等差数列{an}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3=1.‎ 则S5==5a3=5.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,‎ ‎∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,‎ ‎∴剩余部分体积为1﹣=,‎ ‎∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论.‎ ‎【解答】解:因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上,即直线x=1上,‎ 可设圆心P(1,p),由PA=PB得 ‎|p|=,‎ 得p=‎ 圆心坐标为P(1,),‎ 所以圆心到原点的距离|OP|===,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质,了解性质并灵运用是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,b的值,当a=b=2时不满足条件a≠b,输出a的值为2.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得 a=14,b=18‎ 满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=4‎ 满足条件a≠b,满足条件a>b,a=10‎ 满足条件a≠b,满足条件a>b,a=6‎ 满足条件a≠b,满足条件a>b,a=2‎ 满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=2‎ 不满足条件a≠b,输出a的值为2.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构程序框图,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4﹣1),则a2=(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵,a3a5=4(a4﹣1),‎ ‎∴=4,‎ 化为q3=8,解得q=2‎ 则a2==.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(  )‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积.‎ ‎【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36,故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可.‎ ‎【解答】解:当0≤x≤时,BP=tanx,AP==,‎ 此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,‎ 当P在CD边上运动时,≤x≤且x≠时,‎ 如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣,‎ ‎∴OQ=﹣,‎ ‎∴PD=AO﹣OQ=1+,PC=BO+OQ=1﹣,‎ ‎∴PA+PB=,‎ 当x=时,PA+PB=2,‎ 当P在AD边上运动时,≤x≤π,PA+PB=﹣tanx,‎ 由对称性可知函数f(x)关于x=对称,‎ 且f()>f(),且轨迹为非线型,‎ 排除A,C,D,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,)∪(1,+∞) B.(,1)‎ C.() D.(﹣∞,﹣,)‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=ln(1+|x|)﹣为偶函数,‎ 且在x≥0时,f(x)=ln(1+x)﹣,‎ 导数为f′(x)=+>0,‎ 即有函数f(x)在[0,+∞)单调递增,‎ ‎∴f(x)>f(2x﹣1)等价为f(|x|)>f(|2x﹣1|),‎ 即|x|>|2x﹣1|,‎ 平方得3x2﹣4x+1<0,‎ 解得:<x<1,‎ 所求x的取值范围是(,1).‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应用,运用偶函数的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.(3分)已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a= ﹣2 .‎ ‎【分析】f(x)是图象过点(﹣1,4),从而该点坐标满足函数f(x)解析式,从而将点(﹣1,4)带入函数f(x)解析式即可求出a.‎ ‎【解答】解:根据条件得:4=﹣a+2;‎ ‎∴a=﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 8 .‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,‎ 此时z最大.‎ 由,解得,即A(3,2)‎ 将A(3,2)的坐标代入目标函数z=2x+y,‎ 得z=2×3+2=8.即z=2x+y的最大值为8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1 .‎ ‎【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ,代入点,求出λ,即可求出双曲线的标准方程.‎ ‎【解答】解:设双曲线方程为y2﹣x2=λ,‎ 代入点,可得3﹣=λ,‎ ‎∴λ=﹣1,‎ ‎∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1.‎ 故答案为:x2﹣y2=1.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,正确设出双曲线的方程是关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= 8 .‎ ‎【分析】求出y=x+‎ lnx的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程,根据△=0得到a的值.‎ ‎【解答】解:y=x+lnx的导数为y′=1+,‎ 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,‎ 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2,即y=2x﹣1.‎ 由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,‎ 故y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x﹣1,‎ 得ax2+ax+2=0,‎ 又a≠0,两线相切有一切点,‎ 所以有△=a2﹣8a=0,‎ 解得a=8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数,设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎17.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC ‎(Ⅰ) 求.‎ ‎(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意画出图形,再由正弦定理结合内角平分线定理得答案;‎ ‎(Ⅱ)由∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),两边取正弦后展开两角和的正弦,再结合(Ⅰ)中的结论得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)如图,‎ 由正弦定理得:‎ ‎,‎ ‎∵AD平分∠BAC,BD=2DC,‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)∵∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,‎ ‎∴,‎ 由(Ⅰ)知2sin∠B=sin∠C,‎ ‎∴tan∠B=,即∠B=30°.‎ ‎【点评】本题考查了内角平分线的性质,考查了正弦定理的应用,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)‎ ‎(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.‎ ‎【分析】(I)根据分布表的数据,画出频率直方图,求解即可.‎ ‎(II)计算得出CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”,CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”,‎ P(CA),P(CB),即可判断不满意的情况.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)‎ 通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,‎ B 地区的用户满意度评分的比较集中,而A地区的用户满意度评分的比较分散.‎ ‎(Ⅱ)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”,CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”,‎ 由直方图得P(CA)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6‎ 得P(CB)=(0.005+0.02)×10=0.25‎ ‎∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎【点评】本题考查了频率直方图,频率表达运用,考查了阅读能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1‎ ‎=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 ‎(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)‎ ‎(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形;‎ ‎(Ⅱ)求出MH==6,AH=10,HB=6,即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)交线围成的正方形EFGH如图所示;‎ ‎(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.‎ 因为EFGH为正方形,所以EH=EF=BC=10,‎ 于是MH==6,AH=10,HB=6.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,‎ 所以其体积的比值为.‎ ‎【点评】本题考查平面与平面平行的性质,考查学生的计算能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎20.椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.‎ ‎【分析】(1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解椭圆的几何量,然后得到椭圆的方程.‎ ‎(2)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解KOM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.‎ ‎【解答】解:(1)椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上,可得,,解得a2=8,b2=4,所求椭圆C方程为:.‎ ‎(2)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),‎ 把直线y=kx+b代入可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣8=0,‎ 故xM==,yM=kxM+b=,‎ 于是在OM的斜率为:KOM==,即KOM•k=.‎ ‎∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的综合应用,椭圆的方程的求法,考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎21.设函数f(x)=lnx+a(1﹣x).‎ ‎(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求导,再分类讨论,根据导数即可判断函数的单调性;‎ ‎(2)先求出函数的最大值,再构造函数(a)=lna+‎ a﹣1,根据函数的单调性即可求出a的范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∴f′(x)=﹣a=,‎ 若a≤0,则f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 若a>0,则当x∈(0,)时,f′(x)>0,当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,‎ ‎(Ⅱ),由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f()=﹣lna+a﹣1,‎ ‎∵f()>2a﹣2,‎ ‎∴lna+a﹣1<0,‎ 令g(a)=lna+a﹣1,‎ ‎∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0,‎ ‎∴当0<a<1时,g(a)<0,‎ 当a>1时,g(a)>0,‎ ‎∴a的取值范围为(0,1).‎ ‎【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属于中档题.‎ ‎ ‎ 四、选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎(1)证明:EF∥BC;‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.‎ ‎【分析】(1)通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F,利用相似的性质即得结论;‎ ‎(2)通过(1)知AD是EF的垂直平分线,连结OE、OM,则OE⊥AE,利用S△ABC﹣S△AEF计算即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△ABC为等腰三角形,AD⊥BC,‎ ‎∴AD是∠CAB的角平分线,‎ 又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F,‎ ‎∴AE=AF,∴AD⊥EF,‎ ‎∴EF∥BC;‎ ‎(2)解:由(1)知AE=AF,AD⊥EF,∴AD是EF的垂直平分线,‎ 又∵EF为圆O的弦,∴O在AD上,‎ 连结OE、OM,则OE⊥AE,‎ 由AG等于圆O的半径可得AO=2OE,‎ ‎∴∠OAE=30°,∴△ABC与△AEF都是等边三角形,‎ ‎∵AE=2,∴AO=4,OE=2,‎ ‎∵OM=OE=2,DM=MN=,∴OD=1,‎ ‎∴AD=5,AB=,‎ ‎∴四边形EBCF的面积为×﹣××=.‎ ‎【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系,考查四边形面积的计算,注意解题方法的积累,属于中档题.‎ ‎ ‎ 五、选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ ‎【分析】(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,把代入可得直角坐标方程.同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.‎ ‎(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用|AB|=即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,‎ ‎∴x2+y2=2y.‎ 同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程:,‎ 联立,‎ 解得,,‎ ‎∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.‎ ‎(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),‎ ‎∵A,B都在C1上,‎ ‎∴A(2sinα,α),B.‎ ‎∴|AB|==4,‎ 当时,|AB|取得最大值4.‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 六、选修4-5不等式选讲 ‎24.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+;‎ ‎(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎【分析】(1)运用不等式的性质,结合条件a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,即可得证;‎ ‎(2)从两方面证,①若+>+,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|,证得+>+,注意运用不等式的性质,即可得证.‎ ‎【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,‎ ‎(+)2=c+d+2,‎ 由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,‎ 则>,‎ 即有(+)2>(+)2,‎ 则+>+;‎ ‎(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,‎ 即为a+b+2>c+d+2,‎ 由a+b=c+d,则ab>cd,‎ 于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,‎ ‎(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,‎ 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;‎ ‎②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,‎ 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,‎ 由a+b=c+d,则ab>cd,‎ 则有(+)2>(+)2.‎ 综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎【点评】本题考查不等式的证明,主要考查不等式的性质的运用,同时考查充要条件的判断,属于基础题.‎ ‎ ‎