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- 2021-06-24 发布
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2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分
1.(5分)已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,3)
2.(5分)若为a实数,且=3+i,则a=( )
A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.4
3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.(5分)=(1,﹣1),=(﹣1,2)则(2+)=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
5.(5分)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
7.(5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
8.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14
9.(5分)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4﹣1),则a2=( )
A.2 B.1 C. D.
10.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
11.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
A. B. C. D.
12.(5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,)∪(1,+∞) B.(,1)
C.() D.(﹣∞,﹣,)
二、填空题
13.(3分)已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a= .
14.(3分)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 .
15.(3分)已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是 .
16.(3分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
三.解答题
17.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC
(Ⅰ) 求.
(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.
18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
2
8
14
10
6
(1)做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)
(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
20.椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
21.设函数f(x)=lnx+a(1﹣x).
(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;
(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.
四、选修4-1:几何证明选讲
22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
五、选修4-4:坐标系与参数方程
23.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2
:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
六、选修4-5不等式选讲
24.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分
1.(5分)已知集合A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,3)
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可.
【解答】解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<3},
∴A∪B={x|﹣1<x<3},
故选:A.
【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2.(5分)若为a实数,且=3+i,则a=( )
A.﹣4 B.﹣3 C.3 D.4
【分析】根据复数相等的条件进行求解即可.
【解答】解:由,得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,
则a=4,
故选:D.
【点评】本题主要考查复数相等的应用,比较基础.
3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A正确;
B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;
C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误.
【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;
C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.
故选:D.
【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基础题.
4.(5分)=(1,﹣1),=(﹣1,2)则(2+)=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题.
【解答】解:因为=(1,﹣1),=(﹣1,2)则(2+)=(1,0)•(1,﹣1)=1;
故选:C.
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算;属于基础题目.
5.(5分)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【分析】由等差数列{an}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:由等差数列{an}的性质,a1+a3+a5=3=3a3,解得a3=1.
则S5==5a3=5.
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6.(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.
【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,
∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=,
∴剩余部分体积为1﹣=,
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为.
故选:D.
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积.
7.(5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
【分析】利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论.
【解答】解:因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上,即直线x=1上,
可设圆心P(1,p),由PA=PB得
|p|=,
得p=
圆心坐标为P(1,),
所以圆心到原点的距离|OP|===,
故选:B.
【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质,了解性质并灵运用是解决本题的关键.
8.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,b的值,当a=b=2时不满足条件a≠b,输出a的值为2.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
a=14,b=18
满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=4
满足条件a≠b,满足条件a>b,a=10
满足条件a≠b,满足条件a>b,a=6
满足条件a≠b,满足条件a>b,a=2
满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=2
不满足条件a≠b,输出a的值为2.
故选:B.
【点评】本题主要考查了循环结构程序框图,属于基础题.
9.(5分)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4﹣1),则a2=( )
A.2 B.1 C. D.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
∵,a3a5=4(a4﹣1),
∴=4,
化为q3=8,解得q=2
则a2==.
故选:C.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.
10.(5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积.
【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36,故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π,
故选:C.
【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键.
11.(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可.
【解答】解:当0≤x≤时,BP=tanx,AP==,
此时f(x)=+tanx,0≤x≤,此时单调递增,
当P在CD边上运动时,≤x≤且x≠时,
如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣,
∴OQ=﹣,
∴PD=AO﹣OQ=1+,PC=BO+OQ=1﹣,
∴PA+PB=,
当x=时,PA+PB=2,
当P在AD边上运动时,≤x≤π,PA+PB=﹣tanx,
由对称性可知函数f(x)关于x=对称,
且f()>f(),且轨迹为非线型,
排除A,C,D,
故选:B.
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键.
12.(5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,)∪(1,+∞) B.(,1)
C.() D.(﹣∞,﹣,)
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.
【解答】解:∵函数f(x)=ln(1+|x|)﹣为偶函数,
且在x≥0时,f(x)=ln(1+x)﹣,
导数为f′(x)=+>0,
即有函数f(x)在[0,+∞)单调递增,
∴f(x)>f(2x﹣1)等价为f(|x|)>f(|2x﹣1|),
即|x|>|2x﹣1|,
平方得3x2﹣4x+1<0,
解得:<x<1,
所求x的取值范围是(,1).
故选:B.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应用,运用偶函数的性质是解题的关键.
二、填空题
13.(3分)已知函数f(x)=ax3﹣2x的图象过点(﹣1,4)则a= ﹣2 .
【分析】f(x)是图象过点(﹣1,4),从而该点坐标满足函数f(x)解析式,从而将点(﹣1,4)带入函数f(x)解析式即可求出a.
【解答】解:根据条件得:4=﹣a+2;
∴a=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系,考查学生的计算能力,比较基础.
14.(3分)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 8 .
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).
由z=2x+y得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得,即A(3,2)
将A(3,2)的坐标代入目标函数z=2x+y,
得z=2×3+2=8.即z=2x+y的最大值为8.
故答案为:8.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
15.(3分)已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1 .
【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ,代入点,求出λ,即可求出双曲线的标准方程.
【解答】解:设双曲线方程为y2﹣x2=λ,
代入点,可得3﹣=λ,
∴λ=﹣1,
∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1.
故答案为:x2﹣y2=1.
【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,正确设出双曲线的方程是关键.
16.(3分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= 8 .
【分析】求出y=x+
lnx的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程,根据△=0得到a的值.
【解答】解:y=x+lnx的导数为y′=1+,
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2,即y=2x﹣1.
由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
故y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x﹣1,
得ax2+ax+2=0,
又a≠0,两线相切有一切点,
所以有△=a2﹣8a=0,
解得a=8.
故答案为:8.
【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数,设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键.
三.解答题
17.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC
(Ⅰ) 求.
(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.
【分析】(Ⅰ)由题意画出图形,再由正弦定理结合内角平分线定理得答案;
(Ⅱ)由∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),两边取正弦后展开两角和的正弦,再结合(Ⅰ)中的结论得答案.
【解答】解:(Ⅰ)如图,
由正弦定理得:
,
∵AD平分∠BAC,BD=2DC,
∴;
(Ⅱ)∵∠C=180°﹣(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,
∴,
由(Ⅰ)知2sin∠B=sin∠C,
∴tan∠B=,即∠B=30°.
【点评】本题考查了内角平分线的性质,考查了正弦定理的应用,是中档题.
18.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
2
8
14
10
6
(1)做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.
【分析】(I)根据分布表的数据,画出频率直方图,求解即可.
(II)计算得出CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”,CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”,
P(CA),P(CB),即可判断不满意的情况.
【解答】解:(Ⅰ)
通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,
B 地区的用户满意度评分的比较集中,而A地区的用户满意度评分的比较分散.
(Ⅱ)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”,CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”,
由直方图得P(CA)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6
得P(CB)=(0.005+0.02)×10=0.25
∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
【点评】本题考查了频率直方图,频率表达运用,考查了阅读能力,属于中档题.
19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1
=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)
(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
【分析】(Ⅰ)利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形;
(Ⅱ)求出MH==6,AH=10,HB=6,即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.
【解答】解:(Ⅰ)交线围成的正方形EFGH如图所示;
(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EFGH为正方形,所以EH=EF=BC=10,
于是MH==6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为.
【点评】本题考查平面与平面平行的性质,考查学生的计算能力,比较基础.
20.椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
【分析】(1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解椭圆的几何量,然后得到椭圆的方程.
(2)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解KOM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
【解答】解:(1)椭圆C:=1,(a>b>0)的离心率,点(2,)在C上,可得,,解得a2=8,b2=4,所求椭圆C方程为:.
(2)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
把直线y=kx+b代入可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣8=0,
故xM==,yM=kxM+b=,
于是在OM的斜率为:KOM==,即KOM•k=.
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用,椭圆的方程的求法,考查分析问题解决问题的能力.
21.设函数f(x)=lnx+a(1﹣x).
(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;
(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.
【分析】(Ⅰ)先求导,再分类讨论,根据导数即可判断函数的单调性;
(2)先求出函数的最大值,再构造函数(a)=lna+
a﹣1,根据函数的单调性即可求出a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1﹣x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=﹣a=,
若a≤0,则f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,则当x∈(0,)时,f′(x)>0,当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,
(Ⅱ),由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f()=﹣lna+a﹣1,
∵f()>2a﹣2,
∴lna+a﹣1<0,
令g(a)=lna+a﹣1,
∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0,
∴当0<a<1时,g(a)<0,
当a>1时,g(a)>0,
∴a的取值范围为(0,1).
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属于中档题.
四、选修4-1:几何证明选讲
22.(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
【分析】(1)通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F,利用相似的性质即得结论;
(2)通过(1)知AD是EF的垂直平分线,连结OE、OM,则OE⊥AE,利用S△ABC﹣S△AEF计算即可.
【解答】(1)证明:∵△ABC为等腰三角形,AD⊥BC,
∴AD是∠CAB的角平分线,
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F,
∴AE=AF,∴AD⊥EF,
∴EF∥BC;
(2)解:由(1)知AE=AF,AD⊥EF,∴AD是EF的垂直平分线,
又∵EF为圆O的弦,∴O在AD上,
连结OE、OM,则OE⊥AE,
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE,
∴∠OAE=30°,∴△ABC与△AEF都是等边三角形,
∵AE=2,∴AO=4,OE=2,
∵OM=OE=2,DM=MN=,∴OD=1,
∴AD=5,AB=,
∴四边形EBCF的面积为×﹣××=.
【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系,考查四边形面积的计算,注意解题方法的积累,属于中档题.
五、选修4-4:坐标系与参数方程
23.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α≤π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
【分析】(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,把代入可得直角坐标方程.同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.
(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),利用|AB|=即可得出.
【解答】解:(I)由曲线C2:ρ=2sinθ,化为ρ2=2ρsinθ,
∴x2+y2=2y.
同理由C3:ρ=2cosθ.可得直角坐标方程:,
联立,
解得,,
∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0),.
(2)曲线C1:(t为参数,t≠0),化为普通方程:y=xtanα,其中0≤α≤π,α≠;α=时,为x=0(y≠0).其极坐标方程为:θ=α(ρ∈R,ρ≠0),
∵A,B都在C1上,
∴A(2sinα,α),B.
∴|AB|==4,
当时,|AB|取得最大值4.
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
六、选修4-5不等式选讲
24.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
【分析】(1)运用不等式的性质,结合条件a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,即可得证;
(2)从两方面证,①若+>+,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|,证得+>+,注意运用不等式的性质,即可得证.
【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,
(+)2=c+d+2,
由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,
则>,
即有(+)2>(+)2,
则+>+;
(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,
即为a+b+2>c+d+2,
由a+b=c+d,则ab>cd,
于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,
即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;
②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,
即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
则有(+)2>(+)2.
综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
【点评】本题考查不等式的证明,主要考查不等式的性质的运用,同时考查充要条件的判断,属于基础题.
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