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2013年山东省高考数学试卷(理科)
一、选择题
1.(5分)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A.2+i B.2﹣i C.5+i D.5﹣i
2.(5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
3.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(﹣1)=( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
4.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5.(5分)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )
A. B. C.0 D.
6.(5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )
A.2 B.1 C. D.
7.(5分)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(5分)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )
A. B. C. D.
9.(5分)过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0
10.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
11.(5分)抛物线C1:的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
12.(5分)设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
二、填空题
13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为 .
14.(4分)在区间[﹣3,3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为 .
15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ= .
16.(4分)定义“正对数”:ln+x=,现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)
三、解答题
17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
18.(12分)如图所示,在三棱锥P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:AB∥GH;
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.
20.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn且(λ为常数).令cn=b2n(n∈
N*)求数列{cn}的前n项和Rn.
21.(13分)设函数.
(1)求f(x)的单调区间及最大值;
(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.
2013年山东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题
1.(5分)(2013•山东)复数z满足(z﹣3)(2﹣i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )
A.2+i B.2﹣i C.5+i D.5﹣i
【分析】利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.
【解答】解:∵(z﹣3)(2﹣i)=5,
∴z﹣3==2+i
∴z=5+i,
∴=5﹣i.
故选D.
2.(5分)(2013•山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
【分析】依题意,可求得集合B={﹣2,﹣1,0,1,2},从而可得答案.
【解答】解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A},
∴当x=0,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为0,﹣1,﹣2;
当x=1,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为1,0,﹣1;
当x=2,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为2,1,0;
∴B={﹣2,﹣1,0,1,2},
∴集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.
故选C.
3.(5分)(2013•山东)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(﹣1)=( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
【分析】利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1),即可求得答案.
【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,
∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,
故选A.
4.(5分)(2013•山东)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )
A. B. C. D.
【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1=即可得出.
【解答】解:如图所示,
∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,
∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.
∵==.
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得.
又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴==1,
在Rt△AA1P中,,
∴.
故选B.
5.(5分)(2013•山东)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )
A. B. C.0 D.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.
【解答】解:令y=f(x)=sin(2x+φ),
则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),
∵f(x+)为偶函数,
∴+φ=kπ+,
∴φ=kπ+,k∈Z,
∴当k=0时,φ=.
故φ的一个可能的值为.
故选B.
6.(5分)(2013•山东)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )
A.2 B.1 C. D.
【分析】本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.
【解答】解:不等式组表示的区域如图,
当M取得点A(3,﹣1)时,
z直线OM斜率取得最小,最小值为
k==﹣.
故选C.
7.(5分)(2013•山东)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件,则p是¬q的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】
根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.
【解答】解:∵¬p是q的必要而不充分条件,
∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,
其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,
则p是¬q的充分不必要条件.
故选A.
8.(5分)(2013•山东)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.
【解答】解:因为函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以排除选项B,
由当x=时,,
当x=π时,y=π×cosπ+sinπ=﹣π<0.
由此可排除选项A和选项C.
故正确的选项为D.
故选D.
9.(5分)(2013•山东)过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0
【分析】由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.
【解答】解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.
故选A.
10.(5分)(2013•山东)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
【分析】求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可.
【解答】解:用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:9×9×8=648,
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900﹣648=252.
故选B.
11.(5分)(2013•山东)抛物线C1:的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.
【解答】解:由,得x2=2py(p>0),
所以抛物线的焦点坐标为F().
由,得,.
所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,
即①.
设该直线交抛物线于M(),则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知,得,代入M点得M()
把M点代入①得:.
解得p=.
故选:D.
12.(5分)(2013•山东)设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.则当取得最大值时,的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
【分析】依题意,当取得最大值时x=2y,代入所求关系式f(y)=+﹣,利用配方法即可求得其最大值.
【解答】解:∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,
∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,
∴==≤=1(当且仅当x=2y时取“=”),
∴=1,此时,x=2y.
∴z=x2﹣3xy+4y2=(2y)2﹣3×2y×y+4y2=2y2,
∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1,当且仅当y=1时取得“=”,满足题意.
∴的最大值为1.
故选B.
二、填空题
13.(4分)(2013•山东)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为 3 .
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出n的值.
【解答】解:循环前,F0=1,F1=2,n=1,
第一次循环,F0=1,F1=3,n=2,
第二次循环,F0=2,F1=4,n=3,
此时,满足条件,退出循环,输出n=3,
故答案为:3.
14.(4分)(2013•山东)在区间[﹣3,3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为 .
【分析】本题利用几何概型求概率.先解绝对值不等式,再利用解得的区间长度与区间[﹣3,3]的长度求比值即得.
【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度.
由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ①,或②,
③.
解①可得x∈∅,解②可得1≤x<2,解③可得 x≥2.
故原不等式的解集为{x|x≥1},
∴|在区间[﹣3,3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P==.
故答案为:
15.(4分)(2013•山东)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ= .
【分析】利用,,表示向量,通过数量积为0,求出λ的值即可.
【解答】解:由题意可知:,
因为,
所以,
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ=.
故答案为:.
16.(4分)(2013•山东)定义“正对数”:ln+x=,现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
其中的真命题有 ①③④ (写出所有真命题的序号)
【分析】由题意,根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对a,b分类讨论,判断出每个命题的真假.
【解答】解:(1)对于①,由定义,当a≥1时,ab≥1,故ln+(ab)=ln(ab)=blna,又bln+a=blna,故有ln+(ab)=bln+a;当a<1时,ab<1,故ln+(ab)=0,又a<1时bln+a=0,所以此时亦有ln+(ab)=bln+a,故①正确;
(2)对于②,此命题不成立,可令a=2,b=,则ab=,由定义ln+(ab)=0,ln+a+ln+b=ln2,所以ln+(ab)≠ln+a+ln+b,故②错误;
(3)对于③,
i.≥1时,此时≥0,
当a≥b≥1时,ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=,此时则,命题成立;
当a>1>b>0时,ln+a﹣ln+b=lna,此时,>lna,则,命题成立;
当1>a≥b>0时,ln+a﹣ln+b=0,成立;
ii.<1时,同理可验证是正确的,故③正确;
(4)对于④,
当a≥1,b≥1时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab),
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a(1﹣b)+b(1﹣a)≤0,
∴a+b≤2ab,
∴ln(a+b)<ln(2ab),
∴ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
当a>1,0<b<1时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln(2a),
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0,
∴a+b≤2a,
∴ln(a+b)<ln(2a),
∴ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
当b>1,0<a<1时,同理可证ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
当0<a<1,0<b<1时,可分a+b≥1和a+b<1两种情况,均有ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
故④正确.
故答案为①③④.
三、解答题
17.(12分)(2013•山东)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
【分析】(1)利用余弦定理列出关系式,将b与cosB的值代入,利用完全平方公式变形,求出acb的值,与a+c的值联立即可求出a与c的值即可;
(2)先由cosB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,进而求出cosA的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
【解答】解:(1)∵a+c=6①,b=2,cosB=,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4,
整理得:ac=9②,
联立①②解得:a=c=3;
(2)∵cosB=,B为三角形的内角,
∴sinB==,
∵b=2,a=3,sinB=,
∴由正弦定理得:sinA===,
∵a=c,即A=C,∴A为锐角,
∴cosA==,
则sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=.
18.(12分)(2013•山东)如图所示,在三棱锥P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:AB∥GH;
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
【分析】(1)由给出的D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF,再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH,从而得到AB∥GH;
(2)由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,设出BA、BQ、BP的长度,标出点的坐标,求出一些向量的坐标,利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值.
【解答】(1)证明:如图,
∵C,D为AQ,BQ的中点,∴CD∥AB,
又E,F分别AP,BP的中点,∴EF∥AB,
则EF∥CD.又EF⊂平面EFQ,∴CD∥平面EFQ.
又CD⊂平面PCD,且平面PCD∩平面EFQ=GH,∴CD∥GH.
又AB∥CD,∴AB∥GH;
(2)由AQ=2BD,D为AQ的中点可得,三角形ABQ为直角三角形,
以B为坐标原点,分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设AB=BP=BQ=2,
则D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1),
因为H为三角形PBQ的重心,所以H(0,,).
则,
,.
设平面GCD的一个法向量为
由,得,取z1=1,得y1=2.
所以.
设平面EFG的一个法向量为
由,得,取z2=2,得y2=1.
所以.
所以=.
则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于.
19.(12分)(2013•山东)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.
【分析】(1)甲队获胜有三种情形,①3:0,②3:1,③
3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率;
(2)X的取值可能为0,1,2,3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率,列出分布列,最后根据数学期望公式解之即可.
【解答】解:(1)甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3:0,概率为P1=()3=;
②3:1,概率为P2=C()2×(1﹣)×=;
③3:2,概率为P3=C()2×(1﹣)2×=
∴甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率:.
(2)乙队得分X,则X的取值可能为0,1,2,3.
由(1)知P(X=0)=P1+P2=;
P(X=1)=P3=;
P(X=2)=C(1﹣)2×()2×=;
P(X=3)=(1﹣)3+C(1﹣)2×()×=;
则X的分布列为
X
3
2
1
0
P
E(X)=3×+2×+1×+0×=.
20.(12分)(2013•山东)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn且(λ为常数).令cn=b2n(n∈N*)求数列{cn}的前n项和Rn.
【分析】(1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式;
(2)把{an}的通项公式代入,求出当n≥2时的通项公式,然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式,最后利用错位相减法求其前n项和.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a2n=2an+1,取n=1,得a2=2a1+1,即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2,得,即d=2a1②
联立①、②得a1=1,d=2.
所以an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)把an=2n﹣1代入,得,则.
所以b1=T1=λ﹣1,
当n≥2时,=.
所以,.
Rn=c1+c2+…+cn=③
④
③﹣④得:=
所以;
所以数列{cn}的前n项和.
21.(13分)(2013•山东)设函数.
(1)求f(x)的单调区间及最大值;
(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
【分析】(1)利用导数的运算法则求出f′(x),分别解出f′(x)>0与f′(x)<0即可得出单调区间及极值与最值;
(2)分类讨论:①当0<x≤1时,令u(x)=﹣lnx﹣﹣c,②当x≥1时,令v(x)=lnx﹣.利用导数分别求出c的取值范围,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵=,解f′(x)>0,得;解f′(x)<0,得.
∴函数f(x)的单调递增区间为;单调递减区间为.
故f(x)在x=取得最大值,且.
(2)函数y=|lnx|,当x>0时的值域为[0,+∞).如图所示:
①当0<x≤1时,令u(x)=﹣lnx﹣﹣c,
c==g(x),
则=.
令h(x)=e2x+x﹣2x2,则h′(x)=2e2x+1﹣4x>0,∴h(x)在x∈(0,1]单调递增,
∴1=h(0)<h(x)≤h(1)=e2﹣1.
∴g′(x)<0,∴g(x)在x∈(0,1]单调递减.
∴c.
②当x≥1时,令v(x)=lnx﹣,得到c=lnx﹣=m(x),
则=>0,
故m(x)在[1,+∞)上单调递增,∴c≥m(1)=.
综上①②可知:当时,方程|lnx|=f(x)无实数根;
当时,方程|lnx|=f(x)有一个实数根;
当时,方程|lnx|=f(x)有两个实数根.
22.(13分)(2013•山东)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.
【分析】(1)把﹣c代入椭圆方程得,解得,由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,可得.再利用,及a2=b2+c2即可得出;
(2)设|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分线的性质可得,利用椭圆的定义可得t+n=2a=4,消去t得到,化为,再根据a﹣c<n<a+c,即可得到m的取值范围;
(3)设P(x0,y0),不妨设y0>0,由椭圆方程,取,利用导数即可得到切线的斜率,再利用斜率计算公式即可得到k1,k2,代入即可证明结论.
【解答】解:(1)把﹣c代入椭圆方程得,解得,
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,∴.
又,联立得解得,
∴椭圆C的方程为.
(2)如图所示,设|PF1|=t,|PF2|=n,
由角平分线的性质可得,
又t+n=2a=4,消去t得到,化为,
∵a﹣c<n<a+c,即,也即,解得.
∴m的取值范围;.
(3)证明:设P(x0,y0),
不妨设y0>0,由椭圆方程,
取,则=,
∴k==.
∵,,
∴=,
∴==﹣8为定值.
参与本试卷答题和审题的老师有:wfy814;沂蒙松;minqi5;sxs123;qiss;xintrl;sllwyn(排名不分先后)
2017年2月3日
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