2005年山东省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 8页

‎2005年山东省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. ‎1-i‎(1+i‎)‎‎2‎‎+‎1+i‎(1-i‎)‎‎2‎=(‎ ‎‎)‎ A.i B.‎-i C.‎1‎ D.‎‎-1‎ ‎2. 函数y=‎1-xx(x≠0)‎的反函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 已知函数y=sin(x-π‎12‎)cos(x-π‎12‎)‎，则下列判断正确的是（ ）‎ A.此函数的最小正周期为‎2π，其图象的一个对称中心是‎(π‎12‎,0)‎ B.此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是‎(π‎12‎,0)‎ C.此函数的最小正周期为‎2π，其图象的一个对称中心是‎(π‎6‎,0)‎ D.此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是‎(π‎6‎,0)‎ ‎4. 下列函数既是奇函数，又在区间‎[-1, 1]‎上单调递减的是（ ）‎ A.f(x)=sinx B.‎f(x)=-|x+1|‎ C.f(x)=‎1‎‎2‎(ax-a‎-x)‎ D.‎f(x)=ln‎2-x‎2+x ‎5. 如果‎(3x-‎‎1‎‎3‎x‎2‎‎)‎n的展开式中各项系数之和为‎128‎，那么展开式中‎1‎x‎3‎的系数为（ ）‎ A.‎12‎ B.‎21‎ C.‎27‎ D.‎‎42‎ ‎6. 函数f(x)=‎sin(πx‎2‎)，-12‎；‎ B.‎|log‎（1+a）‎(1-a)|<|log‎（1-a）‎(1+a)|‎；‎ C.‎|log‎（1+a）‎(1-a)+log‎（1-a）‎(1+a)|<|log‎（1+a）‎(1-a)|+|log‎（1-a）‎(1+a)|‎；‎ D.‎‎|log‎（1+a）‎(1-a)-log‎（1-a）‎(1+a)|>|log‎（1+a）‎(1-a)|-|log‎（1-a）‎(1+a)|‎ ‎12. 设直线l:2x+y+2=0‎关于原点对称的直线为l'‎，若l'‎与椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使‎△PAB的面积为‎1‎‎2‎的点P的个数为（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. limn→∞‎Cn‎2‎‎+2‎Cnn-2‎‎(n+1‎‎)‎‎2‎‎=‎________．‎ ‎14. 设双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果‎△PQF ‎ 8 / 8‎ 是直角三角形，则双曲线的离心率e=‎________．‎ ‎15. 设x，y满足约束条件x+y≤5‎‎3x+2y≤12‎‎0≤x≤3‎‎0≤y≤4‎‎ ‎则使得目标函数z＝‎6x+5y的值最大的点‎(x, y)‎是________．‎ ‎16. 已知m、n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n．‎ ‎②若m，n⊂α，m // β，n // β，则α // β．‎ ‎③若m⊥α，n⊥β，m // n，则α // β．‎ ‎④m、n是两条异面直线，若m // α，m // β，n // α，n // β，则α // β．‎ 上面命题中，真命题的序号是________．‎ 三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）‎ ‎17. 已知向量m‎→‎‎=(cosθ, sinθ)‎和n‎→‎‎=(‎2‎-sinθ, cosθ)‎，θ∈[π, 2π]‎．‎ ‎(1)‎求‎|m‎→‎+n‎→‎|‎的最大值；‎ ‎(2)‎当‎|m‎→‎+n‎→‎|=‎‎8‎‎2‎‎5‎时，求cos(θ‎2‎+π‎8‎)‎的值．‎ ‎18. 袋中装有‎4‎个黑球和‎3‎个白球共‎7‎个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取‎1‎球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．‎ ‎（1）求恰好取球‎3‎次的概率；‎ ‎（2）求随机变量ξ的概率分布；‎ ‎（3）求恰好甲取到白球的概率．‎ ‎19. 已知x＝‎1‎是函数f(x)‎＝mx‎3‎-3(m+1)x‎2‎+nx+1‎的一个极值点，其中m，n∈R，m<0‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求m与n的关系表达式；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎求f(x)‎的单调区间；‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎当x∈[-1, 1]‎时，函数y＝f(x)‎的图象上任意一点的切线斜率恒大于‎3m，求m的取值范围．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎20. 如图，已知长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎，AB=2‎，AA‎1‎=1‎，直线BD与平面AA‎1‎B‎1‎B所成的角为‎30‎‎∘‎，AE垂直BD于E，F为A‎1‎B‎1‎的中点．‎ ‎（1）求异面直线AE与BF所成的角；‎ ‎（2）求平面BDF与平面AA‎1‎B所成二面角（锐角）的大小 ‎（3）求点A到平面BDF的距离．‎ ‎21. 已知数列‎{an}‎的首项a‎1‎‎=5‎，前n项和为Sn，且Sn+1‎‎=2Sn+n+5(n∈N‎*‎)‎ ‎（1）证明数列‎{an+1}‎是等比数列；‎ ‎（2）令f(x)=a‎1‎x+a‎2‎x‎2‎+...+‎anxn，求函数f(x)‎在点x=1‎处的导数f‎'‎‎(1)‎并比较‎2f‎'‎(1)‎与‎23n‎2‎-13n的大小．‎ ‎22. 已知动圆过定点‎(p‎2‎, 0)‎，且与直线x=-‎p‎2‎相切，其中p>0‎．‎ ‎（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；‎ ‎（II）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ(0<θ<π且θ≠π‎2‎)‎时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎ 8 / 8‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年山东省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.B ‎4.D ‎5.B ‎6.C ‎7.A ‎8.D ‎9.D ‎10.A ‎11.A ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎3‎‎2‎ ‎14.‎‎2‎ ‎15.‎‎(2, 3)‎ ‎16.③④‎ 三、解答题（共6小题，17~21题每题12分，22题14分，满分74分）‎ ‎17.解：‎(1)m‎→‎+n‎→‎=(cosθ-sinθ+‎2‎, cosθ+sinθ)‎，‎ ‎|m‎→‎+n‎→‎|=‎‎(cosθ-sinθ+‎2‎‎)‎‎2‎+(cosθ+sinθ‎)‎‎2‎ ‎=‎‎4+2‎2‎(cosθ-sinθ)‎ ‎=‎‎4+4cos(θ+π‎4‎)‎ ‎=2‎‎1+cos(θ+π‎4‎)‎ ‎∵ θ∈[π, 2π]‎，‎ ‎∴ ‎5π‎4‎‎≤θ+π‎4‎≤‎‎9π‎4‎，‎ ‎∴ cos(θ+π‎4‎)≤1‎，‎|m‎→‎+n‎→‎‎|‎max=2‎‎2‎．‎ ‎(2)‎由已知及‎(1)‎得‎|m‎→‎+n‎→‎|=‎8‎‎2‎‎5‎=2‎‎1+cos(θ+π‎4‎)‎，‎ 两边平方化简得cos(θ+π‎4‎)=‎‎7‎‎25‎．‎ 又cos(θ+π‎4‎)=2cos‎2‎(θ‎2‎+π‎8‎)-1‎，‎ ‎∴ cos‎2‎‎(θ‎2‎+π‎8‎)=‎‎16‎‎25‎，‎ ‎∵ θ∈[π, 2π]‎，‎ ‎∴ ‎5π‎8‎‎≤θ‎2‎+π‎8‎≤‎‎9π‎8‎，‎ ‎∴ cos(θ‎2‎+π‎8‎)=-‎‎4‎‎5‎．‎ ‎18.解：（1）由题意知每个球在每一次被取出的机会是等可能的，‎ 直到两人中有一人取到白球时即终止 ‎∴ 恰好取球‎3‎次的概率P‎1‎‎=‎4×3×3‎‎7×6×5‎=‎‎6‎‎35‎；‎ ‎（2）由题意知，ξ的可能取值为‎1‎、‎2‎、‎3‎、‎4‎、‎5‎，‎ P(ξ=1)=‎‎3‎‎7‎‎，P(ξ=2)=‎4×3‎‎7×6‎=‎‎2‎‎7‎，‎ P(ξ=3)=‎4×3×3‎‎7×6×5‎=‎‎6‎‎35‎‎，‎ P(ξ=4)=‎4×3×2×3‎‎7×6×5×4‎=‎‎3‎‎35‎‎，‎ P(ξ=5)=‎4×3×2×1×3‎‎7×6×5×4×3‎=‎‎1‎‎35‎‎．‎ ‎∴ 取球次数ξ的分布列为：‎ ‎ ‎ξ ‎ ‎‎1‎ ‎2‎‎ ‎ ‎3‎‎ ‎ ‎4‎‎ ‎ ‎5‎‎ ‎ ‎ 8 / 8‎ ‎ ‎P ‎ ‎‎3‎‎7‎ ‎ ‎‎2‎‎7‎ ‎ ‎‎6‎‎35‎ ‎ ‎‎3‎‎35‎ ‎ ‎‎1‎‎35‎ ‎（3）∵ 甲先取，‎ ‎∴ 甲只有可能在第‎1‎次，第‎3‎次和第‎5‎次取球．‎ 记“甲取到白球”的事件为A．‎ 则P(A)=P（“ξ=1‎”或“ξ=3‎”或“ξ=5‎”）．‎ ‎∵ “ξ=1‎”、“ξ=3‎”、“ξ=5‎”对应的事件两两互斥，‎ ‎∴ P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=‎3‎‎7‎+‎6‎‎35‎+‎1‎‎35‎=‎‎22‎‎35‎．‎ ‎∴ 恰好甲取到白球的概率为‎22‎‎35‎．‎ ‎19.（1）f'(x)‎＝‎3mx‎2‎-6(m+1)x+n．‎ 因为x＝‎1‎是f(x)‎的一个极值点，所以f‎'‎‎(1)‎＝‎0‎，即‎3m-6(m+1)+n＝‎0‎．‎ 所以n＝‎3m+6‎．‎ ‎（2）由‎(‎Ⅰ‎)‎知f'(x)‎＝‎3mx‎2‎-6(m+1)x+3m+6‎＝‎‎3m(x-1)[x-(1+‎2‎m)]‎ 当m<0‎时，有‎1>1+‎‎2‎m，当x变化时f(x)‎与f‎'‎‎(x)‎的变化如下表：‎ x ‎(-∞, 1+‎2‎m)‎ ‎1+‎‎2‎m ‎(1+‎2‎m, 1)‎ ‎1‎ ‎(1, +∞)‎ f'(x)‎ ‎<0‎ ‎0‎ ‎>0‎ ‎0‎ ‎<0‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知，当m<0‎时，f(x)‎在‎(-∞, 1+‎2‎m)‎单调递减，在‎(1+‎2‎m, 1)‎单调递增，在‎(1, +∞)‎单调递减．‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎由已知，得f'(x)>3m，即‎3m(x-1)[x-(1+‎2‎m)]>3m，‎ ‎∵ m<0‎．∴ ‎(x-1)[x-1(1+‎2‎m)]<1‎．‎‎(*)‎ ‎①x＝‎1‎时．‎(*)‎式化为‎0<1‎怛成立．‎ ‎∴ m<0‎．‎ ‎②x≠1‎时∵ x∈[-1, 1]‎，∴ ‎-2≤x-1<0‎．‎ ‎(*)‎式化为‎2‎m‎<(x-1)-‎‎1‎x-1‎．‎ 令t＝x-1‎，则t∈[-2, 0)‎，记g(t)‎＝t-‎‎1‎t，‎ 则g(t)‎在区间‎[-2, 0)‎是单调增函数．∴ g(t‎)‎min＝g(-2)‎＝‎-2-‎1‎‎-2‎=-‎‎3‎‎2‎．‎ 由‎(*)‎式恒成立，必有‎2‎m‎<-‎3‎‎2‎⇒-‎4‎‎3‎=AE‎→‎‎.‎BF‎→‎‎|AE‎→‎||BF‎→‎|‎=‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎=-‎‎2‎‎4‎．‎ 即异面直线AE、B所成的角为arccos‎2‎‎4‎．]‎ ‎（2）易知平面AA‎1‎B的一个法向量m‎→‎‎=(0,1,0)‎．‎ 设n‎→‎‎=(x,y,z)‎是平面BDF的一个法向量，BD‎→‎‎=(-2,‎2‎‎3‎‎3‎,0)‎．‎ ‎ 8 / 8‎ 由n‎→‎‎⊥‎BF‎→‎n‎→‎‎⊥‎BD‎→‎‎⇒n‎→‎‎.BF‎→‎=0‎n‎→‎‎.BD‎→‎=0‎⇒‎-x+z=0‎‎2x-‎2‎‎3‎‎3‎y=0‎⇒‎x=z‎3‎x=y，‎ 取n‎→‎‎=(1,‎3‎,1)‎，∴ cos=m‎→‎‎.‎n‎→‎‎|m‎→‎||n‎→‎|‎=‎3‎‎1×‎‎5‎=‎‎15‎‎5‎．‎ 即平面BDF与平面AA‎1‎B所成二面角（锐角）大小为arccos‎15‎‎5‎．‎ ‎（3）点A到平面BDF的距离，即AB‎→‎在平面BDF的法向量n‎→‎上的投影的绝对值，‎ 所以距离d=||AB‎→‎|．cos|‎ ‎||AB‎→‎|.‎AB‎→‎‎.‎n‎→‎‎|AB‎→‎||n‎→‎|‎‎=‎|AB‎→‎.n‎→‎|‎‎|n‎→‎|‎=‎2‎‎5‎=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 所以点A到平面BDF的距离为‎2‎‎5‎‎5‎．‎ 解法二：（1）连接B‎1‎D‎1‎，过F作B‎1‎D‎1‎的垂线，‎ 垂足为K，∵ BB‎1‎与两底面ABCD，A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎都垂直，‎ ‎∴ ‎  ‎FK⊥BB‎1‎FK⊥‎B‎1‎D‎1‎B‎1‎D‎1‎‎∩BB‎1‎=‎B‎1‎‎⇒FK⊥‎平面BDD‎1‎B‎1‎，‎ 又‎  ‎AE⊥BB‎1‎AE⊥BDBB‎1‎∩BD=B‎⇒AE⊥‎平面BDD‎1‎B‎1‎，‎ 因此FK // AE．∴ ‎∠BFK为异面直线BF与AE所成的角．‎ 连接BK，由FK⊥‎面BDD‎1‎B‎1‎得FK⊥BK，‎ 从而‎△BKF为Rt△‎．‎ 在Rt△B‎1‎KF和Rt△‎B‎1‎D‎1‎A‎1‎中，‎ 由FKB‎1‎F‎=‎A‎1‎D‎1‎B‎1‎D‎1‎ 得FK=A‎1‎D‎1‎‎．B‎1‎FB‎1‎D‎1‎=AD.‎1‎‎2‎ABBD=‎2‎‎3‎‎3‎‎×1‎‎2‎‎2‎‎+(‎‎2‎‎3‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 又BF=‎‎2‎，∴ cos∠BFK=FKBF=‎‎2‎‎4‎．‎ ‎∴ 异面直线BF与AE所成的角为arccos‎2‎‎4‎．‎ ‎（2）由于DA⊥‎面AA‎2‎B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，‎ 连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．‎ ‎∴ ‎∠AGD即为平面BDF与平面AA‎1‎B所成二面角的平面角，‎ 且‎∠DAG=‎‎90‎‎∘‎，在平面AA‎1‎B中，延长BF与AA‎1‎交于 点S，∵ F为A‎2‎B‎1‎的中点，A‎1‎F // =‎1‎‎2‎AB，‎ 即SA=2A‎1‎A=2=AB，∴ Rt△BAS为等腰直角三角形，‎ 垂足G点为斜边SB的中点F，即F、G重合．‎ 易得AG=AF=‎1‎‎2‎SB=‎‎2‎．在Rt△BAS中，AD=‎‎2‎‎3‎‎3‎．‎‎∴ tan∠AGD=ADAG=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎=‎6‎‎3‎.‎‎∴ ∠AGD=arctan‎6‎‎3‎.‎ 即平面BDF与平面AA‎1‎B所成二面角（锐角）的大小为arctan‎6‎‎3‎．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎（3）由（2）知平面AFD是平面BDF与平面AA‎1‎B所 成二面确的平面角所在的平面∴ 面AFD⊥‎面BDF．‎ 在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点 A到平面BDF的距离．‎ 由AH．DF=AD．AF，‎ 得AH=AD．AFDF=‎2‎‎3‎‎3‎‎×‎‎2‎‎(‎2‎‎3‎‎3‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎．‎ 所以点A到平面BDF的距离为‎2‎‎5‎‎5‎．‎ ‎21.解：（1）由已知Sn+1‎‎=2Sn+n+5(n∈N‎*‎)‎，‎ 可得n≥2‎，Sn‎=2Sn-1‎+n+4‎两式相减得Sn+1‎‎-Sn=2(Sn-Sn-1‎)+1‎即an+1‎‎=2an+1‎ 从而an+1‎‎+1=2(an+1)‎ 当n=1‎时S‎2‎‎=2S‎1‎+1+5‎所以a‎2‎‎+a‎1‎=2a‎1‎+6‎又a‎1‎‎=5‎所以a‎2‎‎=11‎ 从而a‎2‎‎+1=2(a‎1‎+1)‎ 故总有an+1‎‎+1=2(an+1)‎，n∈‎N‎*‎又a‎1‎‎=5‎，‎a‎1‎‎+1≠0‎ 从而an+1‎‎+1‎an‎+1‎‎=2‎即数列‎{an+1}‎是等比数列；‎ ‎（2）由（1）知an‎=3×‎2‎n-1‎ 因为f(x)=a‎1‎x+a‎2‎x‎2‎+...+‎anxn所以f'(x)=a‎1‎+2a‎2‎x+...+nanxn-1‎ 从而f'(1)=a‎1‎+2a‎2‎++nan=(3×2-1)+2(3×‎2‎‎2‎-1)+...+n(3×‎2‎n-1)‎ ‎=3(2+2×‎2‎‎2‎++n×‎2‎n)-(1+2++n)=3(n-1)⋅‎2‎n+1‎-n(n+1)‎‎2‎+6‎‎．‎ 由上‎2f'(1)-(23n‎2‎-13n)=12(n-1)⋅‎2‎n-12(2n‎2‎-n-1)‎ ‎=12(n-1)⋅‎2‎n-12(n-1)(2n+1)‎ ‎=12(n-1)[‎2‎n-(2n+1)]‎‎①‎ 当n=1‎时，①式‎=0‎所以‎2f‎'‎(1)=23n‎2‎-13n；‎ 当n=2‎时，①式‎=-12<0‎所以‎2f‎'‎(1)<23n‎2‎-13n 当n≥3‎时，n-1>0‎又‎2‎n‎=(1+1‎)‎n=Cn‎0‎+Cn‎1‎++Cnn-1‎+Cnn≥2n+2>2n+1‎ 所以‎(n-1)[‎2‎n-(2n+1)]>0‎即①‎>0‎从而‎2f'(1)>23n‎2‎-13n．‎ ‎22.解：‎(I)‎如图，设M为动圆圆心，‎(p‎2‎, 0)‎为记为F，‎ 过点M作直线x=-‎p‎2‎的垂线，垂足为N，‎ 由题意知：‎|MF|=|MN|‎，即动点M到定点F与定直线x=-‎p‎2‎的距离相等，‎ 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，‎ 其中F(p‎2‎, 0)‎为焦点，x=-‎p‎2‎为准线，‎ 所以轨迹方程为y‎2‎‎=2px(P>0)‎；‎ ‎（II）如图，设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 由题意得x‎1‎‎≠‎x‎2‎（否则α+β=π）且x‎1‎，x‎2‎‎≠0‎．‎ 所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x‎1‎‎=‎y‎1‎‎2‎‎2p，x‎2‎‎=‎y‎2‎‎2‎‎2p．‎ ‎ 8 / 8‎ 将y=kx+b与y‎2‎‎=2px(p>0)‎联立消去x，得ky‎2‎-2py+2pb=0‎ 由韦达定理知y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎2pk，y‎1‎‎⋅y‎2‎=‎‎2pbk①‎ ‎∵ ‎0<θ<π且θ≠‎π‎2‎，‎ ‎∴ 由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=tanα+tanβ‎1-tanαtanβ=‎‎2p(y‎1‎+y‎2‎)‎y‎1‎y‎2‎‎-4‎p‎2‎ 将①式代入上式整理化简可得：tanθ=‎‎2pb-2pk，所以b=‎2ptanθ+2pk．‎ 此时，直线AB的方程可表示为y=kx+‎2ptanθ+2pk．即k(x+2p)-(y-‎2ptanθ)=0‎．‎ 所以直线AB恒过定点‎(-2p, ‎2ptanθ)‎．‎ 所以由（1）（2）知，当θ=‎π‎2‎时，直线AB恒过定点‎(-2p, 0)‎，当θ≠‎π‎2‎时直线AB恒过定点‎(-2p, ‎2ptanθ)‎．‎ ‎ 8 / 8‎