2007年湖北省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 9页

‎2007年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 如果‎(3x‎2‎-‎‎2‎x‎3‎‎)‎n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）‎ A.‎3‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎10‎ ‎2. 将y=2cos(x‎3‎+π‎6‎)‎的图象按向量a=(-π‎4‎，-2)‎平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）‎ A.y=2cos(x‎3‎+π‎4‎)-2‎ B.‎y=2cos(x‎3‎-π‎4‎)+2‎ C.y=2cos(x‎3‎-π‎12‎)-2‎ D.‎y=2cos(x‎3‎+π‎12‎)+2‎ ‎3. 设P，Q是两个集合，定义集合P-Q＝‎{x|x∈P且x∉Q}‎为P，Q的“差集”，已知P＝‎{x|1-‎2‎x<0}‎，Q＝‎{x||x-2|<1}‎，那么P-Q等于(        )‎ A.‎{x|00,b>0)‎的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F‎1‎和F‎2‎；抛物线C‎2‎的准线为l，焦点为F‎2‎；C‎1‎与C‎2‎的一个交点为M，则‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎|MF‎1‎|‎‎-‎‎|MF‎1‎|‎‎|MF‎2‎|‎等于（ ）‎ A.‎-1‎ B.xOy C.‎-‎‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎8. 已知两个等差数列‎{an}‎和‎{bn}‎的前n项和分别为An和Bn，且AnBn‎=‎‎7n+45‎n+3‎，则使得anbn为整数的正整数n的个数是（ ）‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎9. 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a‎→‎‎=(m,n)‎与向量b‎→‎‎=(1,-1)‎的夹角为θ，则θ∈(0,π‎2‎]‎的概率是（ ）‎ A.‎5‎‎12‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎7‎‎12‎ D.‎‎5‎‎6‎ ‎10. 已知直线xa‎+yb=1‎（θ是非零常数）与圆x‎2‎‎+y‎2‎=100‎有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）‎ A.‎60‎条 B.‎66‎条 C.‎72‎条 D.‎78‎条 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11. 已知函数y=2x-a的反函数是y=bx+3‎，则a=‎________；b=‎________．‎ ‎12. 复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0‎，若z‎2‎‎-4bz是实数，则有序实数对‎(a, b)‎可以是________．（写出一个有序实数对即可）‎ ‎13. 设变量x，y满足约束条件x-y+3≥0‎x+y≥0‎‎-2≤x≤3‎，则目标函数‎2x+y的最小值为________．‎ ‎14. 某篮运动员在三分线投球的命中率是‎1‎‎2‎，他投球‎10‎次，恰好投进‎3‎个球的概率 ‎ 9 / 9‎ ‎________．（用数值作答）‎ ‎15. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=(‎‎1‎‎16‎‎)‎t-a（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为________；‎ ‎（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到‎0.25‎毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 已知‎△ABC的面积为‎3‎，且满足‎0≤AB‎→‎⋅AC‎→‎≤6‎，设AB‎→‎和AC‎→‎的夹角为θ．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求θ的取值范围；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎求函数f(θ)‎＝‎2sin‎2‎(π‎4‎+θ)-‎3‎cos2θ的最大值与最小值．‎ ‎17. ‎ 分  组 频  数 ‎[1.30, 1.34)‎ ‎4‎ ‎[1.34, 1.38)‎ ‎25‎ ‎[1.38, 1.42)‎ ‎30‎ ‎[1.42, 1.46)‎ ‎29‎ ‎[1.46, 1.50)‎ ‎10‎ ‎[1.50, 1.54)‎ ‎2‎ 合  计 ‎100‎ 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有‎100‎个数据，将数据分组如右表：‎ ‎（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；‎ ‎（2）估计纤度落在‎[1.38, 1.50)‎中的概率及纤度小于‎1.40‎的概率是多少；‎ ‎（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间‎[1.30, 1.34‎）的中点值是‎1.32)‎作为代表．据此，估计纤度的期望．‎ ‎ 9 / 9‎ ‎18. 如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥‎底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，‎∠VDC=θ(0<θ<π‎2‎)‎．‎ ‎(I)‎求证：平面VAB⊥‎平面VCD；‎ ‎(II)‎当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为π‎6‎．‎ ‎19. 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0, p)‎作直线与抛物线x‎2‎＝‎2py(p>0)‎相交于A、B两点．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求‎△ANB面积的最小值；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎ 9 / 9‎ ‎20. 已知定义在正实数集上的函数f(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+2ax，g(x)=3a‎2‎lnx+b，其中a>0‎．设两曲线y=f(x)‎，y=g(x)‎有公共点，且在该点处的切线相同．‎ ‎（1）用a表示b，并求b的最大值；‎ ‎（2）求证：f(x)≥g(x)‎  ‎(x>0)‎．‎ ‎21. 已知m，n为正整数．‎ ‎（1）用数学归纳法证明：当x>-1‎时，‎(1+x‎)‎m≥1+mx；‎ ‎（2）对于n≥6‎，已知‎(1-‎1‎n+3‎‎)‎n<‎‎1‎‎2‎，求证‎(1-mn+3‎‎)‎n<(‎‎1‎‎2‎‎)‎m，m=1‎，‎2‎…，n；‎ ‎（3）求出满足等式‎3‎n‎+‎4‎n+‎5‎n+...+(n+2‎)‎n=(n+3‎‎)‎n的所有正整数n．‎ ‎ 9 / 9‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.B ‎2.A ‎3.B ‎4.D ‎5.C ‎6.B ‎7.A ‎8.D ‎9.C ‎10.A 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11.‎6‎,‎‎1‎‎2‎ ‎12.‎‎(2, 1)‎ ‎13.‎‎-‎‎3‎‎2‎ ‎14.‎‎15‎‎128‎ ‎15.解：（1）由题意和图示，当‎0≤t≤0.1‎时，可设y=kt（k为待定系数），由于点‎(0.1, 1)‎在直线上，∴ k=10‎；‎ 同理，当t>0.1‎时，可得‎1=(‎1‎‎16‎‎)‎‎0.1-a⇒0.1-a=0⇒a=‎‎1‎‎10‎ ‎（2）由题意可得y≤0.25=‎‎1‎‎4‎，‎ 即得‎10t≤‎‎1‎‎4‎‎0≤t≤0.1‎或‎(‎1‎‎16‎‎)‎t-‎‎1‎‎10‎≤‎‎1‎‎4‎t>0.1‎‎⇒0≤t≤‎‎1‎‎40‎或t≥0.6‎，‎ 由题意至少需要经过‎0.6‎小时后，学生才能回到教室．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16.（1）设‎△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 则由‎1‎‎2‎bcsinθ=3‎，‎0≤bccosθ≤6‎，可得‎0≤cotθ≤1‎，∴ θ∈[π‎4‎,π‎2‎]‎．‎ ‎（2）‎f(θ)=2sin‎2‎(π‎4‎+θ)-‎3‎cos2θ ‎=[1-cos(π‎2‎+2θ)]-‎3‎cos2θ ‎=(1+sin2θ)-‎3‎cos2θ ‎=sin2θ-‎3‎cos2θ+1‎ ‎=2sin(2θ-π‎3‎)+1‎‎．‎ ‎∵ θ∈[π‎4‎,π‎2‎]‎，‎2θ-π‎3‎∈[π‎6‎,‎2π‎3‎]‎，∴ ‎2≤2sin(2θ-π‎3‎)+1≤3‎．‎ 即当θ=‎‎5π‎12‎时，f(θ‎)‎max＝‎3‎；当θ=‎π‎4‎时，f(θ‎)‎min＝‎2‎．‎ ‎17.解：（1）‎ ‎ 9 / 9‎ ‎（2）由频率分布表知纤度落在‎[1.38, 1.50)‎中的概率约为‎0.30+0.29+0.10=0.69‎，‎ 纤度小于‎1.40‎的概率约为‎0.04+0.25+‎1‎‎2‎×0.30=0.44‎．‎ ‎（3）总体数据的期望约为‎1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088‎．‎ ‎18.解法‎1‎：‎(1)‎∵ AC=BC=a，∴ ‎△ABC是等腰三角形，‎ 又D是AB的中点，∴ CD⊥AB，‎ 又VC⊥‎底面ABC，∴ VC⊥AB．于是AB⊥‎平面VCD，‎ 又AB⊂‎平面VAB，∴ 平面VAB⊥‎平面VCD．‎ ‎(2)‎过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由‎(1)‎知CH⊥‎平面VAB．连接BH，‎ 于是‎∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意‎∠CBH=‎π‎6‎，所以 在Rt△CHD中，CH=‎2‎‎2‎asinθ；‎ 在Rt△BHC中，CH=asinπ‎6‎=‎a‎2‎，‎ ‎∴ sinθ=‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∵ ‎0<θ<‎π‎2‎，∴ θ=‎π‎4‎，‎ 故当θ=‎π‎4‎时，‎ 直线BC与平面VAB所成得角为π‎6‎．‎ 解法‎2‎：‎(1)‎以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则C(0, 0, 0)‎，A(a, 0, 0)‎，B(0, a, 0)‎，D(a‎2‎，a‎2‎，0)‎，V(0,0,‎2‎‎2‎atanθ)‎，‎ 于是，VD‎→‎‎=(a‎2‎,a‎2‎,-‎2‎‎2‎atanθ)‎，CD‎→‎‎=(a‎2‎,a‎2‎,0)‎，AB‎→‎‎=(-a,a,0)‎．‎ 从而AB‎→‎‎⋅CD‎→‎=(-a,a,0)⋅(a‎2‎,a‎2‎,0)=-‎1‎‎2‎a‎2‎+‎1‎‎2‎a‎2‎+0=0‎，即AB⊥CD．‎ 同理AB‎→‎‎⋅VD‎→‎=(-a,a,0)⋅(a‎2‎,a‎2‎,-‎2‎‎2‎atanθ)=-‎1‎‎2‎a‎2‎+‎1‎‎2‎a‎2‎+0=0‎，‎ 即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴ AB⊥‎平面VCD．‎ 又AB⊂‎平面VAB，∴ 平面VAB⊥‎平面VCD．‎ ‎(2)‎设平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z)‎ ‎ 9 / 9‎ 则由n⋅AB‎→‎=0‎n⋅VD‎→‎=0‎，得‎-ax+ay=0‎a‎2‎x+a‎2‎y-‎2‎‎2‎aztanθ=0.‎ 可取n=(1,1,‎2‎cotθ)‎，‎ 又BC‎→‎‎=(0,-a,0)‎，‎ 于是sinπ‎6‎=|n⋅‎BC‎→‎‎|n|⋅|BC‎→‎|‎|=aa⋅‎‎2+2cot‎2‎θ=‎2‎‎2‎sinθ，‎ 即sinθ=‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∵ ‎0<θ<‎π‎2‎，∴ θ=‎π‎4‎，‎ 故当θ=‎π‎4‎时，直线BC与平面VAB所成得角为π‎6‎．‎ 解法‎3‎：‎(1)‎以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D(0, 0, 0)‎，A(0,-‎2‎‎2‎a，0)‎，B(0,‎2‎‎2‎a，0)‎，C(-‎2‎‎2‎a，0，0)‎，V(-‎2‎‎2‎a，0，‎2‎‎2‎atanθ)‎，‎ 于是DV‎→‎‎=(-‎2‎‎2‎a,0,‎2‎‎2‎atanθ)‎，DC‎→‎‎=(-‎2‎‎2‎a,0,0)‎，AB‎→‎‎=(0,‎2‎a,0)‎．‎ 从而AB‎→‎‎⋅DC‎→‎=(0,‎2‎a,0)⋅(-‎2‎‎2‎a,0,0)=0‎，即AB⊥DC，‎ 同理AB‎→‎‎⋅DV‎→‎=(0,‎2‎a,0)⋅(-‎2‎‎2‎a,0,‎2‎‎2‎atanθ)=0‎，即AB⊥DV．‎ 又DC∩DV=D，∴ AB⊥‎平面VCD．‎ 又AB⊂‎平面VAB，∴ 平面VAB⊥‎平面VCD．‎ ‎(2)‎设平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z)‎，‎ 则由n⋅AB‎→‎=0‎n⋅DV‎→‎=0‎得‎2‎ay=0‎‎-‎2‎‎2‎ax+‎2‎‎2‎aztanθ=0.‎ 取n=(tanθ, 0, 1)‎，‎ 又BC‎→‎‎=(-‎2‎‎2‎a,-‎2‎‎2‎a,0)‎，于是sinπ‎6‎=|n⋅‎BC‎→‎‎|n|⋅|BC‎→‎|‎|=‎2‎‎2‎atanθa⋅‎‎1+tan‎2‎θ=‎2‎‎2‎sinθ，‎ 即sinθ=‎‎2‎‎2‎．‎ 又∵ ‎0<θ<‎π‎2‎，∴ θ=‎π‎4‎．‎ 故当θ=‎π‎4‎时，直线BC与平面VAB所成的角为π‎6‎．‎ ‎19.法‎1‎：‎(‎Ⅰ‎)‎依题意，点N的坐标为N(0, -p)‎，‎ 可设A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 直线AB的方程为y＝kx+p，与x‎2‎＝‎2py联立得x‎2‎‎=2pyy=kx+p‎ ‎，‎ 消去y得x‎2‎‎-2pkx-2‎p‎2‎＝‎0‎．‎ 由韦达定理得x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎2pk，x‎1‎x‎2‎＝‎-2‎p‎2‎．‎ 于是S‎△ABN‎=S‎△BCN+S‎△ACN=‎1‎‎2‎⋅2p|x‎1‎-x‎2‎|‎ ‎=p|x‎1‎-x‎2‎|=p‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=p‎4p‎2‎k‎2‎+8‎p‎2‎=2‎p‎2‎k‎2‎‎+2‎‎，‎ ‎∴ 当k＝‎0‎时，‎(S‎△ABN‎)‎min=2‎‎2‎p‎2‎．‎ ‎（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，‎ AC的中点为O‎'‎，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，‎ 则O‎'‎H⊥PQ，O‎'‎点的坐标为‎(‎1‎‎2‎x‎1‎,y‎1+‎p‎2‎)‎．‎ ‎∵ ‎|O‎'‎P|=‎1‎‎2‎|AC|=‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎‎+‎‎(y‎1‎-p)‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎y‎1‎‎2‎‎+‎p‎2‎，‎|O‎'‎H|=|a-y‎1‎‎+p‎2‎|=‎1‎‎2‎|2a-y‎1‎-p|‎，‎ ‎∴ ‎|PH‎|‎‎2‎＝‎|O‎'‎P‎|‎‎2‎-|O‎'‎H‎|‎‎2‎=‎1‎‎4‎(y‎1‎‎2‎+p‎2‎)-‎1‎‎4‎(2a-y‎1‎-p‎)‎‎2‎=(a-p‎2‎)y‎1‎+a(p-a)‎，‎ ‎ 9 / 9‎ ‎∴ ‎|PQ‎|‎‎2‎＝‎(2|PH|‎)‎‎2‎=4[(a-p‎2‎)y‎1‎+a(p-a)]‎．‎ 令a-p‎2‎=0‎，得a=‎p‎2‎，此时‎|PQ|‎＝p为定值，‎ 故满足条件的直线l存在，其方程为y=‎p‎2‎，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 解法‎2‎：‎(‎Ⅰ‎)‎前同解法‎1‎，再由弦长公式得‎|AB|=‎1+‎k‎2‎|x‎1‎-x‎2‎|=‎1+‎k‎2‎⋅‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎4p‎2‎k‎2‎+8‎p‎2‎=2p‎1+‎k‎2‎⋅‎k‎2‎‎+2‎，‎ 又由点到直线的距离公式得d=‎‎2p‎1+‎k‎2‎．‎ 从而S‎△ABN‎=‎1‎‎2‎⋅d⋅|AB|=‎1‎‎2‎⋅2p‎1+‎k‎2‎⋅k‎2‎‎+2‎⋅‎2p‎1+‎k‎2‎=2‎p‎2‎k‎2‎‎+2‎，∴ 当k＝‎0‎时，‎(S‎△ABN‎)‎min=2‎‎2‎p‎2‎．‎ ‎（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，则以AC为直径的圆的方程为‎(x-0)(x-x‎1‎)+(y-p)(y-y‎1‎)‎＝‎0‎，‎ 将直线方程y＝a代入得x‎2‎‎-x‎1‎x+(a-p)(a-y‎1‎)‎＝‎0‎，‎ 则‎|x‎1‎-x‎2‎‎|‎‎2‎=x‎1‎‎2‎-4(a-p)(a-y‎1‎)=4[(a-p‎2‎)y‎1‎+a(p-a)]‎．‎ 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x‎3‎, y‎3‎)‎，Q(x‎4‎, y‎4‎)‎，‎ 则有‎|PQ|=|x‎3‎-x‎4‎|=‎4[(a-p‎2‎)y‎1‎+a(p-a)]‎=2‎‎(a-p‎2‎)y‎1‎+a(p-a)‎．‎ 令a-p‎2‎=0‎，得a=‎p‎2‎，此时‎|PQ|‎＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=‎p‎2‎，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ ‎20.解：（1）设y=f(x)‎与y=g(x)(x>0)‎在公共点‎(x‎0‎, y‎0‎)‎处的切线相同．‎ ‎∵ f‎'‎‎(x)=x+2a，g'(x)=‎‎3‎a‎2‎x，由题意f(x‎0‎)=g(x‎0‎)‎，f‎'‎‎(x‎0‎)=g‎'‎(x‎0‎)‎．‎ 即‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎+2ax‎0‎=3a‎2‎lnx‎0‎+bx‎0‎‎+2a=‎‎3‎a‎2‎x‎0‎由x‎0‎‎+2a=‎‎3‎a‎2‎x‎0‎得：x‎0‎‎=a，或x‎0‎‎=-3a（舍去）．‎ 即有b=‎1‎‎2‎a‎2‎+2a‎2‎-3a‎2‎lna=‎5‎‎2‎a‎2‎-3a‎2‎lna．‎ 令h(t)=‎5‎‎2‎t‎2‎-3t‎2‎lnt(t>0)‎，则h‎'‎‎(t)=2t(1-3lnt)‎．‎ 于是当t(1-3lnt)>0‎，即‎00‎；当t(1-3lnt)<0‎，即t>‎e‎1‎‎3‎时，h‎'‎‎(t)<0‎．‎ 故h(t)‎在‎(0,e‎1‎‎3‎)‎为增函数，在‎(e‎1‎‎3‎，+∞)‎为减函数，‎ 于是h(t)‎在‎(0, +∞)‎的最大值为h(e‎1‎‎3‎)=‎‎3‎‎2‎e‎2‎‎3‎．‎ ‎（2）设F(x)=f(x)-g(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+2ax-3a‎2‎lnx-b(x>0)‎，‎ 则F‎'‎‎(x)=x+2a-‎3‎a‎2‎x=‎(x-a)(x+3a)‎x(x>0)‎．‎ 故F(x)‎在‎(0, a)‎为减函数，在‎(a, +∞)‎为增函数，‎ 于是函数F(x)‎在‎(0, +∞)‎上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=‎1‎‎2‎a‎2‎+2a‎2‎-3a‎2‎lna+‎2‎‎5‎a‎2‎-3a‎2‎lna=0‎，‎ 故当x>0‎时，有f(x)-g(x)≥0‎，即当x>0‎时，f(x)≥g(x)‎．‎ ‎21.解法‎1‎：（1）证：用数学归纳法证明：‎ ‎ 9 / 9‎ 当x=0‎时，‎(1+x‎)‎m≥1+mx；即‎1≥1‎成立，‎ x≠0‎时，证：用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当m=1‎时，原不等式成立；‎ 当m=2‎时，左边‎=1+2x+‎x‎2‎，右边‎=1+2x，‎ 因为x‎2‎‎≥0‎，所以左边‎≥‎右边，原不等式成立；‎ ‎（2）假设当m=k时，不等式成立，即‎(1+x‎)‎k≥1+kx，‎ 则当m=k+1‎时，∵ x>-1‎，‎ ‎∴ ‎1+x>0‎，于是在不等式‎(1+x‎)‎k≥1+kx两边同乘以‎1+x得 ‎(1+x‎)‎k⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx‎2‎≥1+(k+1)x‎，‎ 所以‎(1+x‎)‎k+1‎≥1+(k+1)x．即当m=k+1‎时，不等式也成立．‎ 综合‎(1)(II)‎知，对一切正整数m，不等式都成立．‎ ‎（2）证：当n≥6‎，m≤n时，由（1）得‎(1-‎1‎n+3‎‎)‎m≥1-mn+3‎>0‎，‎ 于是‎(1-mn+3‎‎)‎n≤(1-‎1‎n+3‎‎)‎nm=[(1-‎1‎n+3‎‎)‎n‎]‎m<(‎‎1‎‎2‎‎)‎m，m=1‎，‎2‎，n．‎ ‎（3）解：由（2）知，当n≥6‎时，‎(1-‎1‎n+3‎‎)‎n+(1-‎2‎n+3‎‎)‎n+…+(1-nn+3‎‎)‎n<‎1‎‎2‎+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+…+(‎1‎‎2‎‎)‎n=1-‎1‎‎2‎n<1‎，‎ ‎∴ ‎(n+2‎n+3‎‎)‎n+(n+1‎n+3‎‎)‎n+…+(‎3‎n+3‎‎)‎n<1‎．‎ 即‎3‎n‎+‎4‎n+...+(n+2‎)‎n<(n+3‎‎)‎n．即当n≥6‎时，不存在满足该等式的正整数n．‎ 故只需要讨论n=1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎的情形：‎ 当n=1‎时，‎3≠4‎，等式不成立；‎ 当n=2‎时，‎3‎‎2‎‎+‎4‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎，等式成立；‎ 当n=3‎时，‎3‎‎3‎‎+‎4‎‎3‎+‎5‎‎3‎=‎‎6‎‎3‎，等式成立；‎ 当n=4‎时，‎3‎‎4‎‎+‎4‎‎4‎+‎5‎‎4‎+‎‎6‎‎4‎为偶数，而‎7‎‎4‎为奇数，故‎3‎‎4‎‎+‎4‎‎4‎+‎5‎‎4‎+‎6‎‎4‎≠‎‎7‎‎4‎，等式不成立；‎ 当n=5‎时，同n=4‎的情形可分析出，等式不成立．‎ 综上，所求的n只有n=2‎，‎3‎．‎ 解法‎2‎：（1）证：当x=0‎或m=1‎时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：‎ 当x>-1‎，且x≠0‎时，m≥2‎，‎(1+x‎)‎m>1+mx． ①‎ ‎（1）当m=2‎时，左边‎=1+2x+‎x‎2‎，右边‎=1+2x，因为x≠0‎，所以x‎2‎‎>0‎，即左边‎>‎右边，不等式①成立；‎ ‎（2）假设当m=k(k≥2)‎时，不等式①成立，即‎(1+x‎)‎k>1+kx，则当m=k+1‎时，‎ 因为x>-1‎，所以‎1+x>0‎．又因为x≠0‎，k≥2‎，所以kx‎2‎>0‎．‎ 于是在不等式‎(1+x‎)‎k>1+kx两边同乘以‎1+x得‎(1+x‎)‎k⋅(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx‎2‎>1+(k+1)x，‎ 所以‎(1+x‎)‎k+1‎>1+(k+1)x．即当m=k+1‎时，不等式①也成立．‎ 综上所述，所证不等式成立．‎ ‎（2）证：当n≥6‎，m≤n时，∵ ‎(1-‎1‎n+3‎‎)‎n<‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ ‎[(1-‎1‎n+3‎‎)‎m‎]‎n<(‎‎1‎‎2‎‎)‎m，‎ 而由（1），‎(1-‎1‎n+3‎‎)‎m≥1-mn+3‎>0‎，‎ ‎∴ ‎(1-mn+3‎‎)‎n≤[(1-‎1‎n+3‎‎)‎m‎]‎n<(‎‎1‎‎2‎‎)‎m．‎ ‎（3）解：假设存在正整数n‎0‎‎≥6‎使等式‎3‎n‎0‎‎+‎4‎n‎0‎+…+(n‎0‎+2‎)‎n‎0‎=(n‎0‎+3‎‎)‎n‎0‎成立，‎ 即有‎(‎3‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎+(‎4‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎+…+(n‎0‎‎+2‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎=1‎． ②‎ 又由（2）可得‎(‎3‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎+(‎4‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎+…+(‎n‎0‎‎+2‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎ ‎=(1-n‎0‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎+(1-n‎0‎‎-1‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎+…+(1-‎1‎n‎0‎‎+3‎‎)‎n‎0‎<(‎1‎‎2‎‎)‎n‎0‎+(‎1‎‎2‎‎)‎n‎0‎‎-1‎+…+‎1‎‎2‎=1-‎1‎‎2‎n‎0‎<1‎‎，与②式矛盾．‎ 故当n≥6‎时，不存在满足该等式的正整数n．‎ 下同解法‎1‎．‎ ‎ 9 / 9‎