2019年高考数学总复习检测第25讲　三角函数的图象与性质(一) 4页

第25讲　三角函数的图象与性质(一)‎ ‎1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(B)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎ |MN|＝|sin a－cos a|＝|sin(a－)|≤.‎ ‎2．函数f(x)＝sin x＋cos(＋x)的最大值为(C)‎ A．2 B. C．1 D. ‎ 因为f(x)＝sin x＋cos x－sin x ‎＝sin x＋cos x ‎＝sin xcos＋cos xsin ‎＝sin(x＋)．‎ 所以f(x)的最大值为1.‎ ‎3．(2016·新课标卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos(－x)的最大值为(B)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎ 因为f(x)＝cos 2x＋6cos(－x)‎ ‎＝cos 2x＋6sin x ‎＝1－2sin2x＋6sin x ‎＝－2(sin x－)2＋，‎ 又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.‎ ‎4．(2017·新课标卷Ⅲ)函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值为(A)‎ A. B．1‎ C. D. ‎ (方法一)因为f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)‎ ‎＝(sin x＋cos x)＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ‎＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，‎ 所以当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.‎ ‎(方法二)因为(x＋)＋(－x)＝，‎ 所以f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)‎ ‎＝sin(x＋)＋cos(－x)‎ ‎＝sin(x＋)＋sin(x＋)‎ ‎＝sin(x＋)≤.‎ 所以f(x)max＝.‎ ‎5．函数f(x)＝cos2x＋sin x在区间[－，]上的最小值为　　.‎ ‎ f(x)＝1－sin2x＋sin x＝－(sin x－)2＋，‎ 因为x∈[－，]，所以－≤sin x≤，‎ 所以当x＝－，即sin x＝－时，‎ f(x)min＝1－－＝.‎ ‎6．如图，半径为R的圆的内接矩形周长的最大值为　4R　.‎ ‎ 设∠BAC＝θ，周长为p，‎ 则p＝2AB＋2BC＝2(2Rcos θ＋2Rsin θ)‎ ‎＝4Rsin(θ＋)≤4R，‎ 当且仅当θ＝时取等号．‎ 所以周长的最大值为4R.‎ ‎7．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．‎ ‎ (1)由已知，有 f(x)＝－ ‎＝(cos 2x＋sin 2x)－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，‎ 且f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，‎ 所以f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－.‎ ‎8．(2016·湖北省八校第二次联考)若f(x)＝2cos(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时，∃x0∈(0，)，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是(D)‎ A．(－1,2] B．[－2，－1) ‎ C．(－1,1) D．[－2,1)‎ ‎ 因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，‎ 因为φ>0，所以φmin＝，此时f(x)＝2cos(2x＋)．‎ 因为x0∈(0，)，所以2x0＋∈(，)，‎ 所以－1≤cos(2x0＋)<，‎ 所以－2≤2cos(2x0＋)<1，‎ 即－2≤f(x0)<1，因为f(x0)＝a，所以－2≤a<1，故选D.‎ ‎9．若f(x)＝2sin ωx(其中0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝　　.‎ ‎ 依题意有0≤ωx≤ω<，‎ 所以f(x)在[0，]上单调递增，‎ 所以f(x)max＝f()＝2sinω＝，所以ω＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．‎ ‎ (1)f(x)＝＋sin 2ωx ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＋ ‎＝sin(2ωx－)＋.‎ 因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，‎ 所以＝π，解得ω＝1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－)＋.‎ 因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，‎ 所以－≤sin(2x－)≤1，因此0≤sin(2x－)＋≤.‎ 即f(x)在区间[0，]上的取值范围为[0，]．‎