人教A版数学必修三1-3算法案例（秦九韶算法） 5页

时 案例 2 秦九韶算法 （一）导入新课 思路 1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果 里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算 法. 思路 2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢？ 一个自然的做法就是把 5 代入多项式 f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时， 我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算，5 次加法运算. 另一种做法是先计算 x2 的值，然后依次计算 x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x 的值，这 样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了 4 次乘法运算，5 次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于 计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法， 计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约 1202~1261）在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成如下形式： f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+ a0 =（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=anx+an-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2， v3=v2x+an-3， … vn=vn-1x+a0， 这样，求 n 次多项式 f（x）的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志 仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这 样的算法就只能是一个理论的算法. （三）应用示例 例 1 已知一个 5 次多项式为 f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当 x=5 时的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8， 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5 时的值： v0=5； v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3 451.2; v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2; 所以，当 x=5 时，多项式的值等于 17 255.2. 算法分析：观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式，可见 vk 的计算要用到 vk-1 的值，若令 v0=an，我们可以得到下面的公式：       ).,,2,1( , 1 0 nkaxvv av knkk n  这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下： 第一步，输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n-1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判断 i 是否大于或等于 0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值 v. 程序框图如下图： 程序： INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i＞=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、 程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例. 变式训练 请以 5 次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图. 解：设 f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 首先，让我们以 5 次多项式一步步地进行改写： f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0 =（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0 =（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0 =（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0. 上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算， 直到最外层的括号，然后加上常数项即可. 程序框图如下图： 例 2 已知 n 次多项式 Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算 kx0 （k=2，3， 4，…，n）的值需要 k－1 次乘法，计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法）， 那么计算 P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法： P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 P3(x0)的值共需要 6 次运算，计算 P10(x0)的值共需要___________次运算. 答案：65 20 点评：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的求值问题.直接法乘 法运算的次数最多可到达 2 )1( nn  ，加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数 减少到最多 n 次，加法最多 n 次. 例 3 已知多项式函数 f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当 x=5 时的函数的值. 解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7. 计算的过程可以列表表示为： 最后的系数 2 677 即为所求的值. 算法过程： v0=2； v1=2×5－5=5； v2=5×5－4=21； v3=21×5+3=108； v4=108×5－6=534； v5=534×5+7=2 677. 点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 的项补齐后再计算. （四）知能训练 当 x=2 时，用秦九韶算法求多项式 f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6 的值． 解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6. 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=2 时的值. v0=3; v1=v0×2+8=3×2+8=14; v2=v1×2-3=14×2-3=25; v3=v2×2+5=25×2+5=55; v4=v3×2+12=55×2+12=122; v5=v4×2-6=122×2-6=238. ∴当 x=2 时，多项式的值为 238. 解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6， 则 f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238． （五）拓展提升 用秦九韶算法求多项式 f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7； v1=7×3+6=27； v2=27×3+5=86； v3=86×3+4=262； v4=262×3+3=789； v5=789×3+2=2 369； v6=2 369×3+1=7 108； v7=7 108×3+0=21 324. ∴f(3)=21 324. （六）课堂小结 1.秦九韶算法的方法和步骤. 2.秦九韶算法的计算机程序框图. （七）作业 已知函数 f(x)=x3－2x2－5x+8,求 f(9)的值. 解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8 ∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.