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- 2021-06-24 发布
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填空题满分练(7)
1.已知a是实数，是纯虚数，则 a＝________.
答案 1
解析 ＝＝，
故所以a＝1.
2.若集合A＝{x|0a>0)的离心率分别为e1和e2，则下列说法正确的是________.(填序号)
①e＝e；
②＋＝1；
③C1与C2的渐近线相同；
④C1与C2有8个公共点.
答案 ①
解析 C1的离心率为e1＝＝；C2的离心率为e2＝＝，
∴e1＝e2，e＝e，∴①对，②错；
∵C1的渐近线方程为y＝±x，C2的渐近线方程为y＝±x，∴③错；
C1与C2有4个公共点，④错，∴说法①正确.
5.已知点P(x，y)满足条件则点P到原点O的最大距离为________.
答案
解析 画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，
由得
由图得，当点P的坐标为(－5,3)时，点P到原点的距离最大，且最大值为＝.
6.函数f(x)＝·的最小正周期为____________，最大值为____________.
答案 π
解析 f(x)＝·
＝
＝cos，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.
7.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________.
答案 125
解析 执行模拟程序可得S＝1，i＝1，满足条件i<4，执行循环体，S＝1×5＝5，i＝1＋1＝2，满足条件i<4，执行循环体，S＝5×5＝25，i＝2＋1＝3，满足条件i<4，执行循环体，S＝25×5＝125，i＝3＋1＝4，不满足条件i<4，退出循环，输出S的值为125.
8.将f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的说法正确的是________.(填序号)
①函数y＝g(x)的最小正周期是π；
②函数y＝g(x)的一条对称轴是x＝；
③函数y＝g(x)的一个零点是；
④函数y＝g(x)在区间上单调递减.
答案 ①②③
解析 由题意可知f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，则平移后，
得g(x)＝2sin＋1－1
＝2sin.易知①②③正确，④错误.
9.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要______秒.
答案 8
解析 根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，
设需要n秒细菌将病毒全部杀死，
则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，
∴≥200，
∴2n≥201，又n∈N，∴n≥8，
即至少需8秒钟细菌将病毒全部杀死.
10.已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1) ，且f(x)是偶函数，当x∈[－1,0] 时，f(x)＝x2，若在区间内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有4个零点，则实数a的取值范围是________.
答案 [5，＋∞)
解析 由题意可知函数f(x)是周期T＝2的偶函数，结合当x∈[－1,0] 时，f(x)＝x2，绘制函数图象如图所示，
函数g(x)有4个零点，则函数y＝f(x)与函数y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有4个交点，结合函数图象可得，当x＝3时，loga(3＋2)≤1，求解对数不等式可得a≥5.
11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB＝________.
答案 a
解析 延长F2B交PF1于点C，由PF1－PF2＝2a及圆的切线长定理知，
AF1－AF2＝2a，设内切圆的圆心I的横坐标为x，
则(x＋c)－(c－x)＝2a，
∴x＝a，在△PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC＝PF2，B为CF2的中点，
∴在△F1CF2中，有OB＝CF1＝(PF1－PC)
＝(PF1－PF2)＝×2a＝a.
12.“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野五项运动.规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a>b>c，且a，b，c∈N*)，每位选手各项得分之和为最终得分.在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加“现代五项”，甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则a＝________，游泳比赛的第三名是________.
答案 5 乙
解析 ∵5(a＋b＋c)＝22＋9＋9，故a＋b＋c＝8，
每个项目三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分，
对于情况②4分、3分、1分，五场比赛甲不可能得22分，不合题意；
只能是情况①5分、2分、1分符合题意，所以a＝5.
因为乙的马术比赛获得第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名；
余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分，不可能，
故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下一个马术第三名，四个第二名，刚好符合丙得分，由此可得游泳比赛的第三名是乙.
13.设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝min(x>0).若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为________.
答案 －2
解析 由题意得g(x)＝则
g(x)max＝g(1)＝2.
在同一坐标系内作出函数f(x)(－5≤x≤a)和g(x)(x>0)的图象，如图所示.
由f(x)＝2，得x＝－6或－2，
∵∀x1∈[－5，a]，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，∴－4≤a≤－2，∴a的最大值为－2.
14.如图，在△ABC中，sin＝，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则△ABC的面积的最大值为________.
答案 3
解析 由sin＝，可得cos＝，
则sin∠ABC＝2sincos＝.
由sin＝<可知，0°<<45°，
则0°<∠ABC<90°，
由同角三角函数基本关系可知，cos∠ABC＝.
设AB＝x，BC＝y，AC＝3z(x>0，y>0，z>0)，
在△ABD中，由余弦定理可得，
cos∠BDA＝，
在△CBD中，由余弦定理可得，
cos∠BDC＝，
由∠BDA＋∠BDC＝180°，
故cos∠BDA＝－cos∠BDC，
即＝－，
整理可得16＋6z2－x2－2y2＝0. ①
在△ABC中，由余弦定理可知，
x2＋y2－2xy×＝2，
则6z2＝x2＋y2－xy，
代入①式整理计算可得，x2＋y2＋xy＝16，
由基本不等式可得，16≥2＋xy＝xy，
故xy≤9，当且仅当x＝3，y＝时等号成立，
据此可知，△ABC面积的最大值为Smax＝×(AB×BC)max×sin∠ABC＝×9×＝3.
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