2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质课时作业 7页

第1讲 函数的图象与性质 限时40分钟　满分80分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln－1，若f(a)＝1，则f(－a)＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．3 D．－3‎ 解析：D　[解法一　由题意，f(a)＋f(－a)＝(ea＋e－a)ln－1＋(ea＋e－a)ln－1＝(ea＋e－a)－2＝－2，所以f(－a)＝－2－f(a)＝－3，故选D.‎ 解法二　令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln，则g(－x)＝(e－x＋ex)ln＝－(ex＋e－x)ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故选D.]‎ ‎2．(2020·唐山摸底)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)‎ A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 解析：A　[通解　由已知可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x＞0时，ex＞e－x，所以x(ex－e－x)＞0，又ex＋e－x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.‎ 优解　根据题意知f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1)＜f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]‎ ‎3．(2019·合肥调研)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．2 D．－2‎ 解析：D　[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝ 设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝log2(－x＋1)，‎ 因为f(－x)＝－f(x)，‎ - 7 -‎ 所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x＋1)，‎ 所以g(x)＝－log2(－x＋1)(x＜0)，‎ 所以f(－7)＝g(－7)＝－log2(7＋1)＝－3，‎ 所以g(－3)＝－log2(3＋1)＝－2.]‎ ‎4．(2020·大连模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：‎ ‎(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；‎ ‎(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0.‎ ‎①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．‎ 以上四个函数中，“优美函数”的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：B　[由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．‎ 对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]‎ ‎5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝(－x＋a＋1)log2(x＋2)＋x＋m，其中a，m是常数，且a＞0.若f(0)＋f(a)＝1，则f(m－3)＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．6 D．－6‎ 解析：C　[由题意知f(0)＝a＋1＋m＝0，所以a＋m＝－1，又f(a)＝log2(a＋2)＋a＋m，f(0)＋f(a)＝1，所以log2(a＋2)＝2，解得a＝2，所以m＝－3.于是，当x≥0时，f(x)＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.]‎ ‎6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：‎ 给出下列四个命题：‎ ‎①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；‎ ‎②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；‎ - 7 -‎ ‎③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；‎ ‎④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：B　[由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.‎ 对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．‎ 再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，‎ g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．‎ 对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．‎ 对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．‎ 再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．‎ 对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．‎ 综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]‎ ‎7．(2019·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 022)的值为(　　)‎ A．2 018 B．－2 018‎ C．0 D．4‎ 解析：C　[依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.]‎ ‎8．(2019·苏州调研)函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ - 7 -‎ 解析：C　[令f(x)＝，‎ ‎∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，‎ ‎∴排除选项A，D.‎ 由1－cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z)，‎ 故函数f(x)的定义域关于原点对称．‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.]‎ ‎9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)．当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝|x＋b|的图象为(　　)‎ 解析：B　[因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＝2时取等号，且f(x)的最小值为1，所以a＝2，b＝1，所以g(x)＝|x＋1|，其图象关于直线x＝－1对称，又g(x)＝|x＋1|≤0＝1，所以B.]‎ ‎10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f(x)＝＋sin x，其中f′(x)为函数f(x)的导数，则f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)－f′(－2 019)等于(　　)‎ A．2 B．2 019‎ - 7 -‎ C．2 018 D．0‎ 解析：A　[由题意得f(x)＋f(－x)＝2，‎ ‎∴f(2 018)＋f(－2 018)＝2，‎ 由f(x)＋f(－x)＝2可得f(x)－1＋f(－x)－1＝0，‎ ‎∴y＝f(x)－1为奇函数，‎ ‎∴y＝f(x)－1的导函数为偶函数，‎ 即y＝f′(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，‎ ‎∴f′(2 019)－f′(－2 019)＝0，‎ ‎∴f(2 018)＋f(－2 018)＋f′(2 019)－f′(－2 019)＝2.故选A.]‎ ‎11．(2019·定州二模)已知a＞0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　)‎ A．2 017 B．2 019‎ C．4 040 D．4 036‎ 解析：D　[由题意得f(x)＝＝2 019－.‎ 因为y＝2 019x＋1在[－a，a]上是单调递增的，‎ 所以f(x)＝2 019－在[－a，a]上是单调递增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，‎ 所以M＋N＝f(a)＋f(－a)‎ ‎＝4 038－－＝4 036.]‎ ‎12．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数 C．函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：A　[因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A、B，使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ - 7 -‎ ‎13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f(x)＝log(x2＋2)＋，若f(2x＋1)≥f(x)，则实数x的取值范围是____________．‎ 解析：易知f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x＋1|≤|x|，解得－1≤x≤－，∴x∈.‎ 答案： ‎14．(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝____________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是____________．‎ 解析：若函数f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)恒成立，即(a＋1)(ex＋e－x)＝0恒成立，欲(a＋1)(ex＋e－x)＝0对任意的x恒成立．需a＋1＝0，即a＝－1时，所以a＝－1.‎ 若函数f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函数，则f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0.‎ 即实数a的取值范围是(－∞，0]．‎ 答案：－1　(－∞，0]‎ ‎15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f(x)＝若f(e2)＝f(1)，f(e)＝f(0)，则函数f(x)的值域为________________．‎ 解析：由题意可得解得∴当x＞0时，f(x)＝(ln x)2－2ln x＋3＝(ln x－1)2＋2≥2；当x≤0时，＜ex＋≤e0＋＝，则函数f(x)的值域为∪[2，＋∞)．‎ 答案：∪[2，＋∞)‎ ‎16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1≠x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：‎ ‎①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x)‎ ‎③y＝1－ex；④f(x)＝；⑤y＝.‎ 其中是“H函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)‎ 解析：因为x1f(x1)＋x2f(x2)≥x1f(x2)＋x2f(x1)，所以f(x1)(x1－x2)－f(x2)(x1－x2)≥0，即[f(x1)－f(x2)](x1－x2)≥0，分析可得，若函数f(x)为“H函数”，则函数f(x)为增函数或常函数．对于①，y＝－x3＋x＋1，则y′＝－3x2＋1，所以y＝－x3＋x＋1既不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”；对于②，y＝3x－2(sin x－cos x)，则y′＝3－2(cos x＋sin x)＝3－2sin＞0，所以y＝3x－2(sin x－cos x)是R - 7 -‎ 上的增函数，故其是“H函数”；对于③，y＝1－ex是R上的减函数，故其不是“H函数”；对于④，f(x)＝当x＜1时，是常函数，当x≥1时，是增函数，且当x＝1时，ln x＝0，故其是“H函数”；对于⑤，y＝，当x≠0时，y＝，不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.‎ 答案：②④‎ - 7 -‎