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- 2021-06-23 发布
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专题一 第三讲
一、选择题
1.(2014·江西文,4)已知函数f(x)=(a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=( )
A. B.
C.1 D.2
[答案] A
[解析] ∵f(-1)=2-(-1)=2,
∴f(f(-1))=f(2)=4a=1,∴a=.
2.(文)(2013·江西八校联考)已知实数a、b,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由y=2x为增函数知,2a>2b⇔a>b;由y=log2x在(0,+∞)上为增函数知,log2a>log2b⇔a>b>0,∴a>b⇒/ a>b>0,但a>b>0⇒a>b,故选B.
(理)(2014·陕西文,7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=3x
C.f(x)=x D.f(x)=()x
[答案] B
[解析] 本题考查了基本初等函数概念及幂的运算性质.
只有B选项中3x+y=3x·3y成立且f(x)=3x是增函数.
3.(2014·哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2,-),则满足f(x)=27的x的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设f(x)=xα,则-=(-2)α,∴α=-3,
∴f(x)=x-3,由f(x)=27得,x-3=27,∴x=.
4.(文)(2013·霍邱二中模拟)设a=log954,b=log953,c=log545,则( )
A.alog953,∴a>b,又c=log545=1+log59>2,a=log954=1+log96<2,∴c>a>b,故选D.
(理)(2013·新课标Ⅱ文,12)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
[答案] D
[解析] 由题意得,a>x-()x (x>0),
令f(x)=x-()x,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x)>f(0)=-1,∴a>-1,故选D.
5.(2013·重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是( )
[答案] D
[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确,又C是B中函数图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,故C正确.
∵y=log2|x|=是偶函数,其图象关于y轴对称,故D错误.
6.(2013·南开中学月考)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(logx)>0的解集是( )
A.(0,) B.(2,+∞)
C.(0,)∪(2,+∞) D.(,1)∪(2,+∞)
[答案] C
[解析] 解法1:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0)上为减函数,
又f()=0,∴f(-)=0,
由f(x)>0得,x>或x<-,
∴02,故选C.
解法2:∵f(x)为偶函数,∴f(x)>0化为f(|lx|)>0,
∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,f()=0,∴|x|>,∴|log8x|>,∴log8x>或log8x<-,
∴x>2或01时,由2-2x=1,得x=0,不适合题意.故x=-2.
(理)(2013·大兴区模拟)已知函数f(x)=在区间[-1,m]上的最大值是1,则m的取值范围是________.
[答案] (-1,1]
[解析] ∵f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上为减函数,∴在[-1,0]上f(x)的最大值为f(-1)=1,又f(x)=在[0,m]上为增函数,∴在[0,m]上f(x)的最大值为,∵f(x)在区间[-1,m]上的最大值为1,
∴或-11,则m的取值范围是________.
[答案] (-∞,0)∪(2,+∞)
[解析] 当m>0时,由f(m)>1得,log3(m+1)>1,
∴m+1>3,∴m>2;
当m≤0时,由f(m)>1得,3-m>1.
∴-m>0,∴m<0.
综上知m<0或m>2.
一、选择题
11.(2013·天津和平区质检)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x3+x-2的零点分别为x1、x2、x3,则( )
A.x31,则g(x)=x+lnx>1,∴00且a≠1)的图象恒过点(0,-2);命题q:函数f(x)=lg|x|(x≠0)有两个零点.
则下列说法正确的是( )
A.“p或q”是真命题 B.“p且q”是真命题
C.¬p为假命题 D.¬q为真命题
[答案] A
[解析] ∵f(0)=a0-2=-1,∴p为假命题;令lg|x|=0得,|x|=1,∴x=±1,故q为真命题,∴p∨q为真,p∧q为假,¬p为真,¬q为假,故选A.
(理)(2013·德阳市二诊)已知函数f(x)=(其中a∈R),函数g(x)=f[f(x)]+1.下列关于函数g(x)的零点个数的判断,正确的是( )
A.当a>0时,有4个零点;当a<0时,有2个零点,当a=0时,有无数个零点
B.当a>0时,有4个零点;当a<0时,有3个零点,当a=0时,有2个零点
C.当a>0时,有2个零点;当a≤0时,有1个零点
D.当a≠0时,有2个零点;当a=0时,有1个零点
[答案] A
[解析] 取a=1,令x+=-1得x=-,令log2x=-1得,x=.令x+=-得x=-2,令log2x=-得x=2-,令log2x=得x=,令x+=得x=0,由此可排除C、D;令a=0,得f(x)=由log2x=-1得x=,由f(x)=知,对任意x≤0,有f(x)=,故a=0时,g(x)有无数个零点.
13.(文)(2013·天津市六校联考)设a=30.5,b=log32,c=cos2,则( )
A.c1,b=log32∈(0,1),c=cos2<0,
∴cc>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
[答案] B
[解析] ∵y=x在(0,+∞)上为增函数,>,
∴()>().又y=()x在R上为减函数,>,∴0<()<(),∴a>b>0,
又y=logx在(0,+∞)上为减函数,
∴<1=0,∴a>b>c.
14.(2014·衡水中学模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1、x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)f(x2),x1>x2时,f(x1)0,∴x<1,故选C.
15.(2014·中原名校第二次联考)函数y=f(x+)为定义在R上的偶函数,且当x≥时,f(x)=()x+sinx,则下列选项正确的是( )
A.f(3)f(π-1)>f(3),
∴f(2)>f(1)>f(3),故选A.
16.(2013·新课标Ⅱ文,11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c ,下列结论中错误的是( )
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f ′(x0)=0
[答案] C
[解析] 本题考查函数的图象与性质及导数的应用.
由题意得,f′(x)=3x2+2ax+b,该函数图象开口向上,若x0为极小值点,如图,f′(x)的图象应为:
故f(x)在区间(-∞,x0)不单调递减,C错,故选C.
二、填空题
17.(2013·吉林省吉大附中模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
[答案] (0,1)
[解析] 函数f(x)的图象如图所示:
当00,判断函数f(x)的单调性;
(2)若a·b<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.
[解析] (1)设x10,
当a>0,b>0时,f(x1)-f(x2)<0,f(x)为增函数;
当a<0,b<0时,f(x1)-f(x2)>0,f(x)为减函数.
(2)由f(x+1)>f(x)得,a·2x+1+b·3x+1>a·2x+b·3x,即a·2x>-2b·3x,
因为a·b<0,所以a、b异号.
当a>0,b<0时,->()x,得x< (-);
当a<0,b>0时,-<()x,得x> (-).
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