高考数学专题复习：专题1集合与常用逻辑用语、函数与导数 第2讲 10页

专题一 第二讲 一、选择题 1．(文)(2013·朝阳一模)已知函数 y＝f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)＝lgx，则 f(f( 1 100))的 值等于( ) A. 1 lg2 B．－ 1 lg2 C．lg2 D．－lg2 [答案] D [解析] 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝lg(－x)． 又函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－lg(－x)． ∴f( 1 100)＝lg 1 100 ＝－2，f(f( 1 100))＝f(－2)＝－lg2. (理)(2013·辽宁文，7)已知函数 f(x)＝ln( 1＋9x2－3x)＋1，则 f(lg2)＋f(lg1 2)＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案] D [解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式． ∵f(x)＝ln( 1＋9x2－3x)＋1＝－ln( 1＋9x2＋3x)＋1， f(－x)＝ln( 1＋9x2＋3x)＋1，∴f(x)＋f(－x)＝2， 又 lg1 2 ＝－lg2，∴f(lg2)＋f(lg1 2)＝2，故选 D. 2．已知 f(x)＝2x，则函数 y＝f(|x－1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f(|x－1|)＝2|x－1|. 当 x＝0 时，y＝2.可排除 A、C. 当 x＝－1 时，y＝4.可排除 B. 法二：y＝2x→y＝2|x|→y＝2|x－1|，经过图象的对称、平移可得到所求． 3．(2014·新课标Ⅰ文，5)设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函 数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性． 由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)． ∴f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数， f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选 C. 4．(2013·山东文，5)函数 f(x)＝ 1－2x＋ 1 x＋3 的定义域为( ) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] [答案] A [解析] 本题考查了定义域的求法． 由题意知 1－2x≥0， x＋3>0， 即 2x≤1， x>－3， 即 x≤0， x>－3， ∴30，∴ 00，所以 f(－x)＝－x(1－x)，又 f(x)为奇函数，所以当 x<0 时有 f(x)＝x(1－x)，当 a≥0 时，f(a)＝a(a＋1)＝－2，无解；当 a<0 时，f(a)＝a(1－a)＝－2，得 a2－a－2＝0，解得 a＝－1 或 a＝2(舍去)，综上知 a＝－1. 8．(2014·吉林市质检)已知函数 f(x)＝ log4x，x>0 3x，x≤0 ，则 f[f(1 4)]＝________. [答案] 1 3 [解析] f(1 4)＝log4 1 4 ＝－1，∴f[f(1 4)]＝f(－1)＝3－1＝1 3. 9．(2014·唐山市一模)函数 y＝log3(2cosx＋1)，x∈(－2π 3 ，2π 3 )的值域为________． [答案] (－∞，1] [解析] ∵x∈(－2π 3 ，2π 3 )，∴cosx∈(－1 2 ，1]， ∴2cosx＋1∈(0,3]，∴log3(2cosx＋1)≤log33＝1. 10．(2013·北京海淀区期中)已知函数 f(x)＝ 2x－a， x≤0， x2－3ax＋a， x>0 有三个不同的零点， 则实数 a 的取值范围是________． [答案] 4 90， a>0， 9a2－4a>0， ∴4 91， g(x)＝log2x，则 f(x) 与 g(x)两函数图象的交点个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 [答案] C [解析] 画出两函数的图象知，当 01 时， f(x)>g(x)恒成立，故选 C. 12．(文)(2014·湖南理，3)已知 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x) －g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性． 分别令 x＝1 和 x＝－1 可得 f(1)－g(1)＝3 且 f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则 f1－g1＝3， f1＋g1＝1. ⇒ f1＝2， g1＝－1. ⇒f(1)＋g(1)＝1，故选 C. (理)(2013·江西八校联考)已知 f(x)＝ log2－x，x<0 fx－5，x≥0 ，则 f(2013)等于( ) A．－1 B．2 C．0 D．1 [答案] D [解析] ∵2013＝403×5－2，∴f(2013)＝f(－2)＝log22＝1. 13．(文)(2013·福建质检)函数 f(x)＝log1 2cosx(－π 20，排除 D，故选 C. 解法 2：利用复合函数单调性的判断方法，由于 u＝cosx 在区间(－π 2 ，0)、(0，π 2)上分别 为增函数和减函数，而 y＝log1 2u 为减函数，故复合函数 f(x)＝log1 2cosx 在区间(－π 2 ，0)、(0， π 2)上分别为减函数和增函数，故选 C. (理)(2013·北京东城训练)已知定义在 R 上的函数 f(x)的对称轴为 x＝－3，且当 x≥－3 时，f(x)＝2x－3.若函数 f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则 k 的值为( ) A．2 或－7 B．2 或－8 C．1 或－7 D．1 或－8 [答案] A [解析] ∵f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，∴f(x)在(1,2)上有零点，又 f(x)的图象关于直线 x＝ －3 对称， ∴f(x)在(－8，－7)上有零点，∴k＝2 或－7. 14．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知 f(x＋1)为偶函数，且 f(x)在区间(1，＋∞)上单 调递减，a＝f(2)、b＝f(log32)、c＝f(1 2)，则有 ( ) A．a1 2>0>log32，∴f(2)0 ，则函数 y＝f(x)－g(x) 在区间[－5,5]上零点的个数是( ) A．7 B．8 C．9 D．10 [答案] D [解析] 如图，当 x≤0 时，y＝f(x)与 y＝ex 的图象有 6 个交点；当 x>0 时，y＝f(x)与 y ＝lnx 的图象有 4 个交点．故选 D. (理)(2014·河北衡水中学模拟)设 f(x)是定义在 R 上的函数，若 f(0)＝2008，且对任意 x ∈R，满足 f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，则 f(2008)＝( ) A．22006＋2007 B．22008＋2006 C．22008＋2007 D．22006＋2008 [答案] C [解析] 由题意 f(2008)≤f(2006)＋3×22006≤f(2004)＋3×22006 ＋3×22004≤…≤f(0)＋ 3×(22006＋22004＋…＋22＋20)＝2008＋3×221004－1 22－1 ＝2007＋22008① f(2008)≥f(2002)＋63×22002≥f(1996)＋63×21996≥…≥f(4)＋63×(22002＋21996＋…＋24) ＝f(4)＋63×24[26344－1] 26－1 ＝f(4)＋22008－24② 又由条件 f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x， 可得 f(x＋6)－f(x＋2)≥60·2x＝15·2x＋2 即 f(x＋4)－f(x)≥15·2x 再由 f(x＋2)－f(x)≤3·2x 得 f(x＋4)－f(x＋2)≤3·2x＋2 两式相加得 f(x＋4)－f(x)≤15·2x， ∴f(x＋4)－f(x)＝15·2x ∴f(4)－f(0)＝15，∴f(4)＝f(0)＋15＝2023，代入②解得 f(2008)≥2007＋22008③ 由①③得 f(2008)＝2007＋22008. 二、填空题 17．(文)设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f(1)>1，f(2)＝2a－3 a＋1 ，则实数 a 的取值范围是________． [答案] (－1，2 3) [解析] f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得 f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又 f(1)>1，所以 f(2)<－1，即2a－3 a＋1 <－1，解得－10)上的奇函数，令 g(x) ＝af(x)＋b，并有关于函数 g(x)的四个论断： ①若 a>0，对于[－1,1]内的任意实数 m、n(m0 恒成立； ②函数 g(x)是奇函数的充要条件是 b＝0； ③∀a∈R，g(x)的导函数 g′(x)有两个零点； ④若 a≥1，b<0，则方程 g(x)＝0 必有 3 个实数根； 其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①②③ [解析] ①∵g(x)＝af(x)＋b，∴gn－gm n－m ＝a[fn－fm] n－m ，由图知对于 f(x)在[－1,1]上任 意两点 A(m，f(m))，B(n，f(n))，有 kAB＝fn－fm n－m >0，又 a>0，∴gn－gm n－m >0 恒成立，故 ①正确； ②g(x)为奇函数⇔g(－x)＝－g(x)⇔af(－x)＋b＝－af(x)－b⇔2b＝－a[f(－x)＋f(x)]，∵f(x) 为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，故 g(x)为奇函数⇔b＝0，故②正确； ③g′(x)＝af ′(x)，由图知 f(x)在[－c，c]上减、增、减，∴f ′(x)在[－c，c]上取值为负、 正、负，从而当 a≠0 时，g′(x)＝0 在[－c，c]上与 x 轴必有两个交点，又 a＝0 时，g′(x) ＝0 在[－c，c]上恒成立，∴∀a∈R，g′(x)在[－c，c]上有两个零点，故③正确； ④取 a＝1，b＝－5，则 g(x)＝f(x)－5 与 x 轴无交点，∴方程 g(x)＝0 无实根，∴④错误． 三、解答题 19．已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意的实数 x、y 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1 2 ，且 f(1 2) ＝0，当 x>1 2 时，f(x)>0. (1)求 f(1)； (2)判断 f(x)的增减性并证明． [解析] (1)令 x＝y＝1 2 ，得 f(1)＝f(1 2)＋f(1 2)＋1 2 ＝1 2. (2)f(x)为增函数，证明：任取 x1、x2∈R，且 x2>x1，Δx＝x2－x1>0，则： Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(Δx)＋f(x1)＋1 2 －f(x1)＝f(Δx)＋1 2 ＝f(Δx)＋f(1 2)＋1 2 ＝ f(Δx＋1 2)， 又∵Δx>0，∴Δx＋1 2>1 2 ，∴f(Δx＋1 2)>0， ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在 R 上是增函数．