2014年重庆市高考数学试卷（理科） 24页

‎2014年重庆市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　）‎ A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4‎ ‎4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（　　）‎ A．﹣ B．0 C．3 D．‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（　　）‎ A．s＞ B．s＞ C．s＞ D．s＞‎ ‎6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（　　）‎ A．54 B．60 C．66 D．72‎ ‎8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）‎ A．72 B．120 C．144 D．168‎ ‎10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B=　 　．‎ ‎12．（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为　 　．‎ ‎13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=　 　．‎ ‎　‎ 三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 ‎14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=　 　．‎ ‎15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=　 　．‎ ‎16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．‎ ‎（Ⅰ）求ω和φ的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．‎ ‎18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．‎ ‎（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）‎ ‎19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．‎ ‎（Ⅰ）求PO的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．‎ ‎（Ⅰ）确定a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．‎ ‎21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．‎ ‎22．（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎2014年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i ‎∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0‎ ‎∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．‎ ‎【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，‎ B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，‎ C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，‎ D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　）‎ A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4‎ ‎【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．‎ ‎【解答】解：∵变量x与y正相关，‎ ‎∴可以排除C，D；‎ 样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（　　）‎ A．﹣ B．0 C．3 D．‎ ‎【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）‎ ‎∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），‎ ‎∵（2﹣3）⊥，‎ ‎∴（2﹣3）•=0'‎ ‎∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，‎ 解得，k=3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（　　）‎ A．s＞ B．s＞ C．s＞ D．s＞‎ ‎【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，‎ ‎∵输出的k=6，∴S=××=，‎ ‎∴判断框的条件是S＞，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q ‎【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞‎ ‎2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．‎ ‎【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；‎ 命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；‎ 所以p∧￢q为真命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（　　）‎ A．54 B．60 C．66 D．72‎ ‎【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：‎ 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，‎ 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，‎ ‎∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5‎ ‎∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x 由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，‎ ‎∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab ‎∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，‎ ‎∴（3b﹣4a）（3b+a）=0‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴c==b，‎ ‎∴e==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）‎ A．72 B．120 C．144 D．168‎ ‎【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：分2步进行分析：‎ ‎1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，‎ ‎2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，‎ 排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，‎ 此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；‎ ‎②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，‎ 排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，‎ 此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；‎ 则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，‎ ‎∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，‎ ‎∴sin2A+sin2B+sin2C=，‎ ‎∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，‎ ‎2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，‎ 化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，‎ ‎∴sinAsinBsinC=．‎ 设外接圆的半径为R，‎ 由正弦定理可得：=2R，‎ 由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，‎ 即R2=4S，‎ ‎∵面积S满足1≤S≤2，‎ ‎∴4≤R2≤8，即2≤R≤，‎ 由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，‎ A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，‎ B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B=　{7，9}　．‎ ‎【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA，再根据两个集合的交集的定义求得（∁UA）∩B．‎ ‎【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，‎ ‎∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}，‎ 故答案为：{7，9}．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为　　．‎ ‎【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=log2•log（2x）‎ ‎∴f（x）=log（）•log（2x）‎ ‎=logx•log（2x）‎ ‎=logx（logx+log2）‎ ‎=logx（logx+2）‎ ‎=，‎ ‎∴当logx+1=0‎ 即x=时，函数f（x）的最小值是．‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=　4±　．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d=，‎ 即d=，‎ 平方得a2﹣8a+1=0，‎ 解得a=4±，‎ 故答案为：4±‎ ‎【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 ‎14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=　4　．‎ ‎【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，‎ ‎∴△PAB∽△PCA，‎ ‎∴，‎ ‎∵PA=6，AC=8，BC=9，‎ ‎∴，‎ ‎∴PB=3，AB=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=　　．‎ ‎【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．‎ ‎【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，‎ 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，‎ 直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，‎ ‎∴x=1，y=2，‎ ‎∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣1，]　．‎ ‎【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可．‎ ‎【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，‎ ‎∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，‎ ‎∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，‎ ‎∴a2+a+2≤，‎ ‎∴a2+a﹣≤0，‎ ‎∴﹣1≤a≤，‎ ‎∴实数a的取值范围是[﹣1，]．‎ 故答案为：[﹣1，]．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ 四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．‎ ‎（Ⅰ）求ω和φ的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得 φ 的值．‎ ‎（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．‎ 再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z．‎ 结合﹣≤φ＜可得 φ=﹣．‎ ‎（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），‎ ‎∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．‎ 再根据 0＜α﹣＜，‎ ‎∴cos（α﹣）==，‎ ‎∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin ‎=+=．‎ ‎【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．‎ ‎（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）‎ ‎【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；‎ 第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为 ‎ P=，‎ ‎（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且 ‎ P（X=1）=，‎ P（X=2）=，‎ ‎ P（X=3）=，‎ ‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E（X）=．‎ ‎【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．‎ ‎（Ⅰ）求PO的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥‎ AP，得到•=0，进而求出PO的长；‎ ‎（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，‎ ‎∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，‎ 故AC∩BD=O，且AC⊥BD，‎ 以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，‎ ‎∵AB=2，∠BAD=，‎ ‎∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，‎ ‎∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），‎ ‎=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），‎ 又∵BM=，‎ ‎∴=（﹣，﹣，0），‎ 则=+=（﹣，，0），‎ 设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），‎ ‎∵MP⊥AP，‎ ‎∴•=﹣a2=0，‎ 解得a=，‎ 即PO的长为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），‎ 设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），‎ 由，得，‎ 令x=1，则=（1，，2），‎ 由，得，‎ 令a=1，则=（1，﹣，﹣2），‎ ‎∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：‎ cosθ===﹣‎ 故sinθ==‎ ‎【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．‎ ‎（Ⅰ）确定a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈‎ R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；‎ ‎（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）‎ ‎∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，‎ 由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，‎ 即a=b，‎ 又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，‎ 即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，‎ 故a=b=1；‎ ‎（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，‎ 故f（x）在定义域R为均增函数；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，‎ 而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，‎ 当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；‎ 当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，‎ 即f′（x）=0有两个根x1，x2，‎ 当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，‎ 综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，‎ 由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，‎ 由=2，得|DF1|==c，‎ 从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．‎ 从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，‎ 因此|DF2|=，‎ 所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，‎ 因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，‎ y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，‎ 由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，‎ 由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．‎ 当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；‎ 当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．‎ 由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，‎ 故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*‎ 成立，证明你的结论．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=+b，b=1，‎ ‎∴a2=2，a3=+1；‎ 又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，‎ ‎∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；‎ ‎∴（an﹣1）2=n﹣1，‎ ‎∴an=+1（n∈N*）；‎ ‎（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），‎ 令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．‎ 下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．‎ n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；‎ 设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1‎ ‎∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，‎ ‎∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，‎ ‎∴1＞c＞a2k+2＞a2，‎ ‎∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，‎ ‎∴c＜a2k+3＜1，‎ ‎∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，‎ 综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．‎ ‎　‎