2019-2020学年湖南省娄底市双峰县第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年湖南省娄底市双峰县第一中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,所以，故选A.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．设集合若则的范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由可知满足的数x都在内，所以 ‎【考点】集合的子集关系 ‎3．已知函数是偶函数，且定义域为，则( )‎ A.， B.， C.， D.，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由定义域关于原点对称得出的值，根据题意结合二次函数的对称性即可得出.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，所以，解得；‎ 且该函数是二次函数，对称轴为,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎4．已知函数，，则该函数的值域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二次函数的单调性求出的最值即可得到该函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的对称轴为 所以函数在上为减函数，在为增函数 即时，该函数取得最大值 当时，该函数取得最小值 故该函数的值域为 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数在给定区间的值域，利用单调性求出最值是关键.‎ ‎5．已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的定义域和函数的值域得出集合A,B，再进行交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合间的基本运算，属于基础题.‎ ‎6．下列各组函数表示同一函数的是( )‎ A.与 B.与 C.与 D.与，‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简函数解析式以及求出定义域，一一判断函数表达式是否一致和定义域是否相同即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于选项，的定义域为，但的定义域为，定义域不同不是同一函数;‎ 对于选项，与不是同一函数 对于选项，，不为的数的次方为，与定义域和函数表达式均相同，是同一函数 对于选项，的定义域为与,的定义域，定义域不同不是同一函数 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本概念，两个函数是同一函数必须定义域和对应关系要一致.‎ ‎7．下列函数是奇函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对照选项,运用奇函数的定义,即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解:对于A,,不满足恒成立,不为奇函数;‎ 对于B,, 满足恒成立,为偶函数,不为奇函数;‎ 对于C, ,化为,定义域不关于原点对称,不为奇函数;‎ 对于D, ,满足恒成立,为奇函数.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的判断，不管是奇函数还是偶函数,定义域都要关于原点对称，属于基础题.‎ ‎8．已知函数在上递增，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分和两种情况分别求解，可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，，在上没有单调性，不合题意；‎ ‎②当时，函数图象的对称轴为,‎ ‎∵函数在上递增，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题时注意两点：（1）对的取值要进行分类讨论，以确定函数的类型；（2）二次函数在给定区间上的单调性取决于抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，解题时要结合函数的图象求解，以增强解题的直观性．‎ ‎9．是定义在上的减函数，则的范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：要使得在上是单调减函数 需满足，解得 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.‎ ‎10．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”。已知下列函数：‎ ‎（1）；（2）；（3）；（4）.‎ 其中“有界函数”是( )‎ A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（3）（4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求四个函数的值域，对照“有界函数”的概念即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,由于，所以，不满足题意；‎ ‎（2）令，则 因为，当时，函数的最大值为 所以，即，，为有界函数；‎ ‎（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以 故函数为有界函数；‎ ‎（4）令，则，即，‎ 当时，，无最小值，即，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数。‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11．设，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】求出的值即可得到.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值，属于基础题.‎ ‎12．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的奇偶性，得出在上的单调性以及，结合函数的单调性，将不等式，转化为 或，化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数 所以在上是减函数，因为，所以 所以不等式等价为 或 解得 或 ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性以及抽象不等式的解法，属于中等题.‎ ‎13．已知集合A={1，5}，B={x|ax﹣5=0}，A∪B=A，则a的取值组成的集合是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得，再讨论当①时， ②当时，满足的实数的值.‎ ‎【详解】‎ 解：因为,所以，‎ ‎①当时，，满足，‎ ‎②当时，B=,由，则有或，解得或，‎ 综上可得的取值组成的集合是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的运算及集合的关系，属基础题.‎ ‎14．已知满足，求______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将题设的替换为，得到另外一个式子，两式联立即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎   ①‎ 将①中替换为：‎ ‎    ②‎ ‎① ②：‎ ‎，‎ 所以 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求函数的解析式，属于基础题.‎ ‎15．用表示，两个数中的最小值，设，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分类讨论与的大小，结合函数的单调性即可求出最大值.‎ ‎【详解】‎ 当即 由于函数在上单调递增，故 当，即 由于函数在上单调递减，故 综上所述，的最大值是5.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的最值，利用单调性求最值是关键，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16．设集合，，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出集合A，由，得出，对集合B分两种情况讨论即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，因为，所以.‎ ‎（1）时，方程无实数根．所以，所以.‎ ‎（2）时，当时，，满足条件．‎ 当时，1，2是方程的根，此时无解．所以.‎ 综上可得，的取值范围是．‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合间的基本运算以及集合关系的应用，注意对集合B进行分类讨论.‎ ‎17．已知集合，函数的定义域为集合.‎ ‎（Ⅰ）求集合.‎ ‎（Ⅱ）当时，若全集，求及；‎ ‎（Ⅲ）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）或，；‎ ‎（Ⅲ）或 ‎【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域即可得出集合B；‎ ‎（Ⅱ）根据题意求出集合A，由全集得出集合A和集合B的补集，利用交集运算得出；‎ ‎（Ⅲ）由得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，构造满足条件的关于的不等式组，解不等式组，即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）要使函数有意义，只需满足，解得，即集合；‎ ‎（Ⅱ）当时，，解得集合 全集，则或，或 ‎.‎ ‎（Ⅲ）①若，则，不满足.‎ ‎②若，则，若，如图，‎ ‎，‎ 则，，则；‎ ‎③若，则，若，如图，‎ ‎，‎ 则，则，即，综上知，此时的取值范围是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用以及集合间的基本运算，其中将集合包含关系转化区间端点间的大小关系比较，构造出关于的不等式，是解答本题的关键．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）若，求的定义域；‎ ‎（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1) 由且结合负数不能开偶次方根有即可求解；‎ ‎(2)分别对分母大于零和小于零进行分类讨论，根据题意，求出函数在上的单调性结合函数的定义域，化简即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当且时，由得，即函数的定义域是.‎ ‎(2)当即时，令 ‎ 要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；‎ 当即时 ，令 ‎ 要使在上是减函数，则函数在为增函数，即 并且，解得 综上可知，所求实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用,在解题时,要注意复合函数性质的应用及考虑定义域.‎ ‎19．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资万元，此外每生产件该产品还需要增加投资万元，年产量为件．当时，年销售总收入为万元；当时，年销售总收入为万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元。‎ ‎（1）求（万元）关于（件）的函数关系式；‎ ‎（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？并求出最大值．（年利润＝年销售总收入−年总投资）‎ ‎【答案】（1）（2）件，万元 ‎【解析】（1）当时，；‎ 当时，．‎ 故．‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，．当时，，故年产量为件时，取得最大年利润万元.‎ ‎【考点】分段函数模型.‎ ‎20．函数的定义域为，且对任意，有，且当时，，‎ ‎(Ⅰ)证明是奇函数；‎ ‎(Ⅱ)证明在上是减函数；‎ ‎(III)若,，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)‎ ‎【解析】(Ⅰ)令y=-x,代入已知等式通过f(0)=0可判断奇偶性；(Ⅱ)利用函数的单调性定义作差即可得到证明；(III)利用函数的单调性列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)证明：由，‎ 令y=-x,得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)，‎ ‎∴f(x)+f(−x)=f(0).‎ 又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.‎ 从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x).‎ ‎∴f(x)是奇函数.‎ ‎(Ⅱ)任取，且，‎ 则 由，∴∴<0.‎ ‎∴>0，即，‎ 从而f(x)在R上是减函数.‎ ‎(III)若，函数为奇函数得f(-3)=1,‎ 又5=5f(-3)=f(-15),‎ 所以=f(-15),‎ 由得f(4x-13)-15,解得x>-,‎ 故的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的证明，考查利用单调性解不等式的应用，属于基础题.‎ ‎21．已知二次函数满足，且的最小值是．‎ 求的解析式；‎ 若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；‎ 函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）(2) （3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.‎ 解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.‎ ‎（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.‎ ‎（3）由题意知.‎ 假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.‎ 当时，在上为增函数，，所以；‎ 当时，，.即，解得，所以.‎ 当时，‎ 即解得.所以.‎ 当时，，即，所以，综上所述，，‎ 所以当时，使得对任意都有成立.‎ 点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；‎ ‎（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.‎