2018-2019学年四川省树德中学高一4月阶段性测试数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年四川省树德中学高一4月阶段性测试数学试题 一、单选题 ‎1．已知是第三象限的角,若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 , ,解方程组得： ，选B.‎ ‎2．在中，，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由的度数求出的值，再由和的值，利用正弦定理求出的值，由大于，根据大边对大角，得到大于，得到的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.‎ 详解：，‎ 由正弦定理，‎ 得，‎ 又，得到，则，故选C.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎3．已知为等差数列，，则等于（ ）‎ A． B．1 C．3 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： 设等差数列的公差为：，则 由，两式相减，得：‎ ‎，‎ 则有：‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎4．在正项等比数列中，是其前项和，若，则（ ）‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由等比数列的性质可得a42＝a2•a6＝8，a4＝，因为该数列为正项数列，所以a4＝，又因为则q=，计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，等比数列{an}中，a2a6＝8，‎ 则a42＝a2•a6＝8，即a4＝，‎ 又由{an}为正项等比数列，则a4＝，‎ 又因为则q=，‎ 所以 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，等比数列前n项和公式，考查了一定得计算能力，属于基础题. ‎ ‎5．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，‎ 的面积为，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积 ‎，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．‎ ‎【考点】余弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎6．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续项之和仍为等比数列。即成等比数列，则由等比中项的性质有整理得D选项。‎ ‎7．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．‎ ‎8．已知一个等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则第项为（ ）‎ A．30 B．29 C．28 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别用a1，a2n+1表示出奇数项之和与所有项之和，两者相比等于进而求出n．‎ ‎【详解】‎ 解：∵奇数项和，‎ ‎∵数列前2n+1项和 ‎∴‎ ‎∴n＝9‎ ‎∴n+1＝10‎ 又因为，‎ 所以===2 ‎ ‎=29‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列中的求和公式．熟练记忆并灵活运用求和公式，是解题的关键．‎ ‎9．已知两个等差教列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差数列前n项和公式可得，于是将表示为n的关系式，分离常数后再进行讨论，最后可得所求．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的前n项和公式可得，‎ ‎，‎ 所以当时，为整数，即为整数，‎ 因此使得 为整数的正整数n共有5个．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的和与项的关系和推理论证能力，解题时要结合求和公式进行变形，然后再根据变形后的式子进行分析，本题具有一定的综合性和难度，能较好地考查学生的综合素质．‎ ‎10．有限数列，为前项和，定义为的“凯森和”；如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列的“凯森和”为（ ）‎ A．991 B．1001 C．999 D．990‎ ‎【答案】A ‎【解析】先设凯森和由Tn来表示，由题意知A的T99＝1000，设新的凯森和为Tx，用Tn表示Tx，根据题意可知100Tx＝1×100+99×T99，进而求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：设凯森和由Tn来表示，‎ 由题意知A的T99＝=1000，‎ 设新的凯森和为Tx，则 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的求和问题，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得 ‎ ‎，故选B.‎ ‎12．设定义在上的函数，，且对任意，满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先把转化成，与 进行加法运算，依次推倒，得到，再根据条件，得到，然后根据等式关系，用累加法计算得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴‎ ‎∵∴=，即∵，∴=，∴，∴‎ ‎∴=== ++++ +3•22+3•20=2008++++ +3•22+3•20==.‎ ‎【考点】不等式性质；叠加法；等比数列前n项和公式；函数的求值 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式同向相加的性质，考查累加法和等比数列前n项和公式，难度比较大，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知的终边过点，且，则__________．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】，解得，则，解得.‎ ‎14．在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式，如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位所在直线与旗杆所在直线共面，在该列的第一个座位和最后一个座位测得旗杆顶端的仰角分别为和，且座位的距离为米，则旗杆的高度为__________米．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】根据示意图，根据题意可求得∠NBA和∠BAN，则∠BNA可求，然后利用正弦定理求得AN，最后在Rt△AMN中利用MN＝AN•sin∠NAM求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，依题意可知∠NBA＝45°，‎ ‎∠BAN＝180°﹣60°﹣15°＝105°‎ ‎∴∠BNA＝180°﹣45°﹣105°＝30°‎ 由正弦定理可知 ‎ ‎∴AN＝ ＝20米 ‎∴在Rt△AMN中，‎ MN＝AN•sin∠NAM＝20 × ＝30米 所以：旗杆的高度为30米 故答案为：30．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理解三角形.此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．‎ ‎15．若，则的最大值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，由于，那么可知c=2,b= ,可知= ,由于余弦定理可知， ‎ ‎,那么= ，故答案为 ‎【考点】解三角形 点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题。‎ ‎16．若对于正整数，表示的最大奇数因数，例如.设，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由g（k）表示k的最大奇数因数，所以偶数项的最大奇数因数和除2之后的奇数因数相同，所以将Sn分组，分成奇数项和偶数项的和，由等差数列的求和公式，整理即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ 解：当n≥2时，Sn＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n﹣1）+g（2n）‎ ‎＝[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n﹣1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]‎ ‎＝[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2n﹣1）]‎ ‎＝+[g（1）+g（2）+…+g（2n﹣1）]＝4n﹣1+Sn﹣1，‎ 于是Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣1，n≥2，n∈N．又，所以= ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义的理解和运用，考查分组求和和分类讨论思想方法，注意运用转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.‎ 试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin. ‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. ‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．‎ 又，‎ ‎ 故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎18．在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设函数，当取最大值时，判断的形状.‎ ‎【答案】（1）；（2）等边三角形.‎ ‎【解析】（1）由题意根据正弦定理求得∴（2sinC﹣sinB）cosA＝sinAcosB，由A＝π﹣（B+C），根据诱导公式及两角和正弦公式，即可求得A的值；‎ ‎（2）利用三角函数辅助角公式，将f（x）化简为，求出取最大值时B的值为，从而判断三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 由正弦定理，得.‎ 整理得.‎ 所以.‎ 在中，.所以.‎ ‎（2），‎ 当，即时，‎ 有最大值是.‎ 又为等边三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形正弦定理的应用以及三角函数辅助角公式，属于基础题.‎ ‎19．已知各项均不相等的等差数列的前四项和为14，且恰为等比数列的前三项.‎ ‎（1）分别求数列，的前项和，；‎ ‎（2）记数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知条件推导出，，由此求出，的通项公式以及，的前项和， .（2）由（1）可知，利用错位相减法求即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设的前四项为，则，‎ 解得或（舍去），，‎ 所以.‎ 又，所以，即.‎ 所以数列的首项为，公比，‎ 所以.‎ ‎（2）因为， ①‎ 故 ②‎ ‎①-②得 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列、等比数列求通项公式，错位相减求和，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20．中，，C所对的边分别为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1），（2），‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）因为，即 ‎，‎ 所以 ‎.‎ 即 ‎，‎ 得 ‎.‎ 所以，或（不成立）.‎ 即，得，所以.‎ 又因为，则，或（舍去）.‎ 得，，.‎ ‎（2）.，又，即 ‎，得，.‎ ‎21．已知函数的图象关于直线对称.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若对任意的，使得有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若时，关于的方程有四个不等的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据函数的图象关于直线对称，由三角函数的性质可得，解方程即可；（2）原式可化为，求出的范围，解不等式即可；（3）令，于的方程在上有两个不等的实根，利用方程根的分布特点列不等式组求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意：，即，‎ 两边平方，可得，所以.‎ ‎（2）可化为，‎ 当时，不适合；‎ 当时原式可化为，‎ 因为，所以，‎ 所以，即，解得.‎ ‎（3）令，则关于的方程有四个不等的实数根等价于关于的方程在上有两个不等的实根，‎ 令，由根的分布的有关知识，可得：‎ ‎ ，解得.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、函数的零点以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.‎ ‎22．已知数列满足递推关系，，又.‎ ‎（1）当时，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）化简得到，构造所以数列是等比数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据条件，和推出，所以数列为正数，解不等式，化简得到，结合二次函数的性质，当n=1时，m有最小值-3，即可求出m的范围. （3）首先，由（2）可知，时，.然后令，，因为m<1,对进行放缩，得到成立，最后对不等式左右两侧相加证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由,‎ 得，又，‎ 数列是以2为首项以2等比数列，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由，而.‎ ‎，.‎ 恒成立，‎ ‎，即；‎ ‎（3）由（2）得当时知，，‎ 设，，‎ ‎.‎ ‎，‎ 故 ‎,‎ ‎.‎ 当n=1时，，‎ 当n时，‎ ‎,‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推公式，等比数列的构造，考查变量分离以及函数的恒成立问题，考查利用放缩法证明不等式，同时考查了整体思想的运用，本题综合性较强，属于难题.‎