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- 2021-06-24 发布
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2007年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合M={4, 5, 6, 8}，集合N={3, 5, 7, 8}，那么M∪N=( )
A.{3, 4, 5, 6, 7, 8} B.{5, 8} C.{3, 5, 7, 8} D.{4, 5, 6, 8}
2. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
3. 某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ）
A.150.2克 B.149.8克 C.149.4克 D.147.8克
4. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A.BD // 平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60∘
5. 如果双曲线x24-y22=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ）
A.463 B.263 C.26 D.23
6. 设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是π2，且二面角B-OA-C的大小是π3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ ）
A.7π6 B.5π4 C.4π3 D.3π2
7. 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8. 设A(a, 1)，B(2, b)，C(4, 5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14
9. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
A.288个 B.240个 C.144个 D.126个
10. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.32 D.42
8 / 8
11. 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元
12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（ ）
A.23 B.463 C.3174 D.2213
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. (x-1x)n的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是________．
14. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．
15. 已知⊙O的方程是x2+y2-2=0，⊙O'的方程是x2+y2-8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
16. 下面有5个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ2，k∈Z}x∈(0,π2)12{α|α=kπ2，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；
④把函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π6得到y=3sin2x的图象；
⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ>0
其中，真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．
8 / 8
18. 已知cosα=17，cos(α-β)=1314，且0<β<α<π2，
(Ⅰ)求tan2α的值；
(Ⅱ)求β．
19. 如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90∘，PM // BC，直线AM与直线PC所成的角为60∘，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90∘．
（1）求证：AC⊥BM；
（2）求二面角M-AB-C的大小；
（3）求多面体PMABC的体积．
20. 设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点（1, f(1)）处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'(x)的最小值为-12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1, 3]上的最大值和最小值．
8 / 8
21. 设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点．
(Ⅰ)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1→⋅PF2→=-54，求点P的坐标；
(Ⅱ)设过定点M(0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
22. 已知函数f(x)=x2-4，设曲线y=f(x)在点（xn, f(xn)）处的切线与x轴的交点为(xn+1, 0)(n∈N*)，其中x1为正实数．
（1）用xn表示xn+1；
（2）若x1=4，记an=lgxn+2xn-2，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
（3）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn<3．
8 / 8
参考答案与试题解析
2007年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.A
2.C
3.B
4.D
5.A
6.C
7.B
8.A
9.B
10.C
11.B
12.D
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.8
14.30∘
15.x=32
16.①④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A,
则P(A)=1-P(A¯)=1-(1-0.8)4=0.9984.
(2)ξ可能的取值为0，1，2
P(ξ=0)=C172C202=136190，
P(ξ=1)=C31C171C202=51190，
P(ξ=2)=C32C202=3190,
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
136190
51190
3190
E(ξ)=0×136190+1×51190+2×3190=310，
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，
则商家拒收这批产品的概率P=1-P(B)=1-136190=2795，
所以商家拒收这批产品的概率为2795．
18.（1）由cosα=17,0<α<π2，得sinα=1-cos2α=1-(17)2=437
∴ tanα=sinαcosα=437×71=43，于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347
（2）由0<β<α<π2，得0<α-β<π2，
又∵ cos(α-β)=1314，∴ sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-(1314)2=3314
由β＝α-(α-β)得：cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12
所以β=π3．
19.解：（1）∵ 平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，
∴ AC⊥平面PCBM．
又∵ BM⊂平面PCBM，
8 / 8
∴ AC⊥BM．
（2）取BC的中点N，则CN=1．连接AN、MN．
∵ 平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC．
∴ PC⊥平面ABC．
∵ PM // CN，∴ MN // PC，从而MN⊥平面ABC．
作NH⊥AB于H，连接MH，则由三垂线定理知AB⊥MH．
从而∠MHN为二面角M-AB-C的平面角．
∵ 直线AM与直线PC所成的角为60∘，
∴ ∠AMN=60∘．
在△ACN中，由勾股定理得AN=2．
在Rt△AMN中，MN=AN⋅cot∠AMN=2⋅33=63．
在Rt△BNH中，NH=BN⋅sin∠ABC=BN⋅ACAB=1×15=55．
在Rt△MNH中，tan∠MHN=MNNH=6355=303
故二面角M-AB-C的大小为arctan303．
（2）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
设P(0, 0, z0)(z0>0)，有B(0, 2, 0)，A(1, 0, 0)，M(0, 1, z0)．AM→=(-1,1,z0)，CP→=(0,0,z0)
由直线AM与直线PC所成的角为60∘，得AM→⋅CP→=|AM→|⋅|CP→|⋅cos60∘
即z02=12z02+2⋅z0，解得z0=63．
∴ AM→=(-1,1,63)，AB→=(-1,2,0)
设平面MAB的一个法向量为n1→=(x1,y1,z1)，则
由n→⋅AB→=0˙⇒-x+y+63z=0-x+2y=0，取z1=6，得n1→=(4,2,6)
取平面ABC的一个法向量为n2→=(0,0,1)
则cos=|n1→|⋅|n2→|˙=626⋅1=3913
由图知二面角M-AB-C为锐二面角，
故二面角M-AB-C的大小为arccos3913．
（3）多面体PMABC就是四棱锥A-BCPMVPMABC=VA-PMBC=13⋅SPMBC⋅AC=13⋅12⋅(PM+CB)⋅CP⋅AC=13⋅12⋅(2+1)⋅63⋅1=66．
20.解：（1）∵ f(x)为奇函数，
∴ f(-x)=-f(x)
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c
∴ c=0
∵ f'(x)=3ax2+b的最小值为-12
∴ b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为16
因此，f'(1)=3a+b=-6
∴ a=2，b=-12，c=0．
（2）f(x)=2x3-12x．f'(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)，列表如下：
8 / 8
x
(-∞, -2)
-2
(-2, 2)
2
(2, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大
极小
所以函数f(x)的单调增区间是(-∞,-2)和(2，+∞)
∵ f(-1)=10，f(2)=-82，f(3)=18
∴ f(x)在[-1, 3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(2)=-82．
21.（1）易知a＝2，b＝1，c=3．
∴ F1(-3,0)，F2(3,0)．设P(x, y)(x>0, y>0)．
则PF1→⋅PF2→=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3=-54，又x24+y2=1，
联立x2+y2=74x24+y2=1 ，解得x2=1y2=34 ⇒x=1y=32 ，P(1,32)．
（2）显然x＝0不满足题设条件．可设l的方程为y＝kx+2，设A(x1, y1)，B(x2, y2)．
联立x24+y2=1y=kx+2 ⇒x2+4(kx+2)2=4⇒(1+4k2)x2+16kx+12=0
∴ x1x2=121+4k2，x1+x2=-16k1+4k2
由△＝(16k)2-4⋅(1+4k2)⋅12>016k2-3(1+4k2)>0，4k2-3>0，得k2>34．①
又∠AOB为锐角⇔cos∠AOB>0⇔OA→⋅OB→>0，
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2>0
又y1y2＝(kx1+2)(kx2+2)＝k2x1x2+2k(x1+x2)+4
∴ x1x2+y1y2＝(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)⋅121+4k2+2k⋅(-16k1+4k2)+4
=12(1+k2)1+4k2-2k⋅16k1+4k2+4
=4(4-k2)1+4k2>0
∴ -140
∴ bn+1bn=32n-1-132n-1=132n-1+1<132n-1≤1321-1=13
8 / 8
当n=1时，显然T1=b1=2<3．
当n>1时，bn<13bn-1<(13)2bn-2<<(13)n-1b1
∴ Tn=b1+b2+...+bn
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