2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(二) 4页

‎(二)立体几何 ‎1．(2018·苏州调研)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是正三角形，D，E分别为AB，AC的中点，∠ABC＝90°.‎ 求证：(1)DE∥平面PBC；‎ ‎(2)AB⊥PE.‎ 证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，‎ 所以DE∥BC，‎ 又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ 所以DE∥平面PBC.‎ ‎(2)连结PD，因为DE∥BC，‎ 又∠ABC＝90°，所以DE⊥AB.‎ 又PA＝PB，D为AB的中点，‎ 所以PD⊥AB，‎ 又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面PDE，‎ 所以AB⊥平面PDE.‎ 因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE.‎ ‎2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．‎ ‎(1)若PD∥平面ACE，‎ 求证：E为PB的中点；‎ ‎(2)若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD.‎ 证明　(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，‎ 因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.‎ 因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．‎ ‎(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝PC，‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝AB，‎ 所以PC＝OC.‎ 因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.‎ 又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，‎ 所以PC⊥BD.‎ 而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 因为AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 因为CG⊂平面PAC，所以BD⊥CG.‎ 因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，‎ 所以CG⊥平面PBD.‎ ‎3.如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．‎ ‎(1)求证：PA∥平面BEF；‎ ‎(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA.‎ 证明　(1)在△PAC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，‎ 所以PA∥EF.‎ 又PA⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，‎ 所以PA∥平面BEF.‎ ‎(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.‎ 因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC，‎ 因为BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC，‎ 又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，‎ 又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.‎ ‎4．(2018·扬州调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．‎ ‎(1)证明：B1C1∥平面A1DE；‎ ‎(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.‎ 证明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，‎ 四边形B1BCC1是平行四边形，‎ 所以B1C1∥BC，‎ 在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，‎ 故BC∥DE，所以B1C1∥DE，‎ 又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，‎ 所以B1C1∥平面A1DE.‎ ‎(2)在平面ABB1A1内，‎ 过A作AF⊥A1D于点F，‎ 因为平面A1DE⊥平面A1ABB1，‎ 平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF⊂平面A1ABB1，‎ 所以AF⊥平面A1DE，‎ 又DE⊂平面A1DE，所以AF⊥DE，‎ 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，‎ A1A⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，‎ 所以A1A⊥DE，‎ 因为AF∩A1A＝A，AF⊂平面A1ABB1，‎ A1A⊂平面A1ABB1，‎ 所以DE⊥平面A1ABB1，‎ 因为AB⊂平面A1ABB1，所以DE⊥AB.‎