2019年高考数学练习题汇总解答题满分练3 6页

解答题满分练3‎ ‎1.已知函数f＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f＝－1，a＝且向量m＝(3，sin B)与向量n＝(2，sin C)共线，求△ABC的面积.‎ 解　(1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＋1＝2cos＋1，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数y＝f(x)的单调减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(A)＝－1，∴2cos＋1＝－1，‎ 即cos＝－1，∴2A＋＝π＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴A＝＋kπ(k∈Z)，‎ 又∵0b>0)的离心率为，并且椭圆经过点P，直线l的方程为x＝4.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知椭圆内一点E(1,0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)因为椭圆的离心率为，‎ 所以＝1－2＝，‎ 又椭圆过点P，所以＋＝1，‎ 所以a2＝4，b2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，令x＝4，则y＝3k，所以点M(4,3k)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝2k－ ‎ ‎＝2k－.‎ 由可得x2－8k2x＋4k2－4＝0.‎ 所以x1,2＝，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以k1＋k2＝2k－· ＝2k－.‎ 又因为k3＝＝k－，所以k1＋k2＝2k3，‎ 所以存在λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.‎ ‎5.已知函数f(x)＝ x－，g(x)＝ 2aln x.‎ ‎(1)若b＝0，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求a的值；‎ ‎(2)若a>0, b＝－1，函数F(x)＝xf(x)＋g(x)满足对任意x1，x2∈(x1≠x2)，都有<3恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(3)若b＝1，函数G(x)＝f(x)＋ g(x)，且G(x)有两个极值点x1，x2，其中x1∈，求G－G的最小值.‎ 解　(1)若b＝0，函数f(x)＝x的图象与g(x)＝2aln x的图象相切，设切点为(x0,2aln x0)，‎ 则切线方程为y＝x－2a＋2aln x0，‎ 所以得所以a＝.‎ ‎(2)当a>0，b＝－1时，F(x)＝x2＋1＋2aln x，F′(x)＝2x＋>0，所以F(x)在(0,1]上单调递增.‎ 不妨设00，所以00)，由题意知x1，x2是x2＋2ax＋1＝0的两根，‎ 所以x1,2＝，x2＝，2a＝－x1－，‎ G(x1)－G(x2)＝G(x1)－G ‎＝2.‎ 令H(x)＝2，x∈，‎ H′(x)＝2ln x＝，‎ 当x∈时，H′(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H＝.‎ 即G(x1)－G(x2) 的最小值为.‎ ‎6.(2018·常州市武进区期中)已知数列中， a1＝3，前n项和Sn满足an＋1＝2Sn＋3(n∈N*).‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，求数列的前n项和Tn；‎ ‎(3)是否存在整数对(其中m∈Z,n∈N*)满足a－an＋7m＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对，若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)当n≥2时，an＋1＝2Sn＋3与an＝2Sn－1＋3相减，‎ 得an＋1－an＝2＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，‎ 在an＋1＝2Sn＋3中，令n＝1可得，a2＝9，即a2＝3a1.‎ 故an＋1＝3an(n∈N*)，‎ 故数列是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝3n(n∈N*).‎ ‎(2)由(1) 知，bn＝＝ ‎＝，‎ 则Tn＝ ‎＝(n∈N*).‎ ‎(3)a－an＋7m＋5＝0，即32n－3n＋7m＋5＝0，‎ 则m＝＝＝＋，‎ 若存在整数对，则必须是整数，‎ 其中3n－7只能是40的因数，‎ 可得n＝1时， m＝－2; n＝2时， m＝34; n＝3时， m＝34.‎ 综上所有的满足题意的整数对为， ， .‎