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- 2021-06-24 发布
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数学(理科)
本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数定义域和值域分别为M、N,则M∩N=
A.[-1,3] B.[-1,4] C.[0,3] D.[0,2]
2.复数z=a+bi(a,b∈R)满足(1-2i)z=1+2i,则a-b=
A.- B. C.- D.
3.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图,每图下面横向标注日期,纵向标注累计数量。现存确诊为存量数据,计算方法为:累计确诊数-累计死亡数-累计治愈数。
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则下列对新冠肺炎叙述错误的是
A.自1月20日以来一个月内,全国累计确诊病例属于快速增长时期
B.自4月份以来,全国累计确诊病例增速缓慢,疫情扩散势头基本控制
C.自6月16日至24日以来,全国每日现存确诊病例平缓增加
D.自6月16日至24日以来,全国每日现存确诊病例逐步减少
4.已知,则
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
5.疫情期间部分中小学习,某市教育局为了解学生线上学习情况,准备从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研,其中M中学与N小学同时被选中的概率为
A. B. C. D.
6.函数f(x)=的部分图象大致为
7.祖冲之是中国古代数学家、天文学家,他将圆周率推算到小数点后第七位。利用随机模拟的方法也可以估计圆周率的值,如图程序框图中rand( )表示产生区间[0,1]上的随机数,则由此可估计π的近似值为
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A.0.001n B.0.002n C.0.003n D.0.004n
8.已知双曲线C:的右顶点为P,任意一条平行于x轴的直线交C于A,B两点,总有PA⊥PB,则双曲线C的离心率为
A. B. C. D.
9.从一张圆形铁板上剪下一个扇形,将其制成一个无底圆锥容器,当容器体积最大时,该扇形的圆心角是
A.π B.π C.π D.π
10.数列{an}满足:a1=1,am+n=am+an+mn(m,n∈N*),若数列{}的前n项和Sn≥,则n最小为
A.6 B.7 C.8 D.9
11.已知函数f(x)=2cosx-sin2x,则下列结论正确的是
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为
C.f(x)的图象关于(π,0)对称 D.f(x)的图象关于x=对称
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12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AB,C1D1的中点。平面α过B1,M两点,且BN//α。设平面α截正方体所得截面面积为S,且将正方体分成两部分的体积比为V1:V2,有如下结论:①S=,②S=,③V1:V2=1:3,④V1:V2=7:17,则下列结论正确的是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=x+cosx在x=0处的切线方程为 。
14.已知单位向量a,b满足|a+b|=|a-2b|,则a与b的夹角为 。
15.由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn},已知an=3n-2,bn=2n,若{cn}为递增数列,且c5=bm=at,则m+t= 。
16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,⊙C:(x-a)2+(y-6)2=16过点F且与l相切,x轴被⊙C所截得的弦长为4,则a= 。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,5a-3c=5bcosC。
(I)求cosC;
(II)若边AC上中线BD=,求△ABC的周长。
18.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,PA⊥PB,侧面PAB⊥底面ABC。
(1)求证:△PAC是直角三角形;
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(2)若AB=2PB=2BC,求二面角P-AC-B的余弦值。
19.(12分)
已知某工厂有甲乙两条互不影响的生产线,同时生产一种内径为25.40mm的零件。为了对它们生产质量进行检测,分别从生产的零件中随机抽取部分零件绘成频率分布直方图如下:
(1)从直方图中数据均值说明哪条生产线加工零件精确度更高?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)记加工的零件内径尺寸落在[25.38,25.42)的零件为一等品,零件内径尺寸落在[25.42,25.50]的为二等品,零件内径尺寸落在[25.30,25.38)的为三等品。每个零件一等品、二等品和三等品的利润分别为为200元、100元和50元。
(i)从两条生产线生产的零件中分别取一个零件,求甲生产线上零件精度等级高于乙生产线上零件等级的概率;
(ii)现有10000个零件需要加工,其中甲生产线加工n个乙生产线加工10000-n个。以工厂利润的期望为决策依据,在n=5000和n=6000之中选其一,应选哪种方案使工厂的利润最大?
20.(12分)
在△PAB中,已知A(-2,0),B(2,0),直线PA与PB的斜率之积为-,记动点P的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)设Q为曲线C上一点,直线AP与BQ交点的横坐标为4,求证:直线PQ过定点。
21.(12分)
已知函数f(x)=mx+lnx(m∈R)。
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(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤xex-1,求实数m的取值范围。
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中,直线l过定点P(1,0)且倾斜角为α。以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系Ox,曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4。
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)已知直线l交曲线C于A,B两点,且|PA||PB|=,求l的参数方程。
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知不等式|x-1|+|x-2|<3的解集为M。
(1)求M;
(2)若a,b,c∈M,且a+b+c=3,求证:≥≥3。
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