2009年陕西省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 6页

‎2009年陕西省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设不等式x‎2‎‎-x≤0‎的解集为M，函数f(x)=ln(1-|x|)‎的定义域为N，则M∩N为（ ）‎ A.‎[0, 1)‎ B.‎(0, 1)‎ C.‎[0, 1]‎ D.‎‎(-1, 0]‎ ‎2. 若tanα=2‎，则‎2sinα-cosαsinα+2cosα的值为（ ）‎ A.‎0‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎1‎ D.‎‎5‎‎4‎ ‎3. 函数f(x)=‎2x-4‎(x≥4)‎的反函数为（ ）‎ A.f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+2(x≥0)‎ B.‎f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+2(x≥2)‎ C.f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+4(x≥0)‎ D.‎f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+4(x≥2)‎ ‎4. 过原点且倾斜角为‎60‎‎∘‎的直线被圆x‎2‎‎+y‎2‎-4y＝‎0‎所截得的弦长为（ ）‎ A.‎3‎ B.‎2‎ C.‎6‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎5. 某单位共有老、中、青职工‎430‎人，其中青年职工‎160‎人，中年职工人数是老年职工人数的‎2‎倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工‎32‎人，则该样本中的老年职工人数为（ ）‎ A.‎9‎ B.‎18‎ C.‎27‎ D.‎‎36‎ ‎6. 若‎(1-2x‎)‎‎2009‎=a‎0‎+a‎1‎x+...+a‎2009‎x‎2009‎(x∈R)‎，则a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎‎2‎+…+‎a‎2009‎‎2‎‎2009‎的值为（ ）‎ A.‎2‎ B.‎0‎ C.‎-1‎ D.‎‎-2‎ ‎7. ”m>n>0‎”是”方程mx‎2‎+ny‎2‎=1‎表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 在‎△ABC中，M是BC的中点，AM＝‎1‎，点P在AM上且满足AP‎→‎‎=2‎PM‎→‎，则PA‎→‎‎⋅(PB‎→‎+PC‎→‎)‎等于（ ）‎ A.‎-‎‎4‎‎9‎ B.‎-‎‎4‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎4‎‎9‎ ‎9. 从‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎，‎7‎这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）‎ A.‎432‎ B.‎288‎ C.‎216‎ D.‎‎108‎ ‎10. 定义在R上的偶函数f(x)‎满足：对任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[0, +∞)(x‎1‎≠x‎2‎)‎，有f(x‎2‎)-f(x‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎‎<0‎．则（ ）‎ A.f(3)0‎，ω>0‎，‎0<φ<‎π‎2‎）的周期为π，且图象上一个最低点为M(‎2π‎3‎，-2)‎．‎ ‎（1）求f(x)‎的解析式；‎ ‎（2）当x∈[0,π‎12‎]‎，求f(x)‎的最值．‎ ‎18. 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为‎0‎，‎1‎，‎2‎的概率分别为‎0.4‎，‎0.5‎，‎‎0.1‎ ‎（1）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过‎1‎次的概率；‎ ‎（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉‎2‎次的概率．‎ ‎19. 如图所示，在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AB=1‎，AC=AA‎1‎=‎‎3‎，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎．‎ ‎（1）证明：AB⊥A‎1‎C；‎ ‎（2）求二面角A-A‎1‎C-B的余弦值．‎ ‎20. 已知函数f(x)=x‎3‎-3ax-1‎，‎a≠0‎ ‎（1）求f(x)‎的单调区间；‎ ‎ 6 / 6‎ ‎（2）若f(x)‎在x=-1‎处取得极值，直线y=m与y=f(x)‎的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．‎ ‎21. 已知数列‎{an}‎满足a‎1‎‎=1‎，a‎2‎‎=2‎，an+2‎‎=‎an‎+‎an+1‎‎2‎，n∈‎N‎*‎．‎ ‎（1）令bn‎=an+1‎-‎an，证明：‎{bn}‎是等比数列；‎ ‎（2）求‎{an}‎的通项公式．‎ ‎22. 已知双曲线C的方程为y‎2‎a‎2‎‎-x‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎，离心率e=‎‎5‎‎2‎，顶点到渐近线的距离为‎2‎‎5‎‎5‎．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP‎→‎‎=λPB‎→‎，λ∈[‎1‎‎3‎,2]‎，求‎△AOB面积的取值范围．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年陕西省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.A ‎2.B ‎3.B ‎4.D ‎5.B ‎6.C ‎7.C ‎8.A ‎9.C ‎10.A ‎11.B ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎2n ‎14.‎1‎,‎‎11‎ ‎15.‎‎2π‎3‎ ‎16.‎‎8‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17.解：（1）由最低点为M(‎2π‎3‎，-2)得A=2‎由T=π得ω=‎2πT=‎2ππ=2‎ 由点M(‎2π‎3‎，-2)‎在图象上得‎2sin(‎4π‎3‎+φ)=-2‎即sin(‎4π‎3‎+φ)=-1‎ 所以‎4π‎3‎‎+φ=2kπ-‎π‎2‎故φ=2kπ-‎11π‎6‎(k∈Z)‎ 又φ∈(0,π‎2‎)‎，所以φ=‎π‎6‎所以f(x)=2sin(2x+π‎6‎)‎ ‎（2）因为x∈[0,π‎12‎]‎，可得‎2x+π‎6‎∈[π‎6‎,π‎3‎]‎ 所以当‎2x+π‎6‎=‎π‎6‎时，即x=0‎时，f(x)‎取得最小值‎1‎；‎ 当‎2x+π‎6‎=‎π‎3‎，即x=‎π‎12‎时，f(x)‎取得最大值‎3‎；‎ ‎18.解：（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为‎0‎”，‎ 事件B表示“一个月内被投诉的次数为‎1‎”‎ 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9‎ ‎（2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为‎0‎”，‎ 事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为‎1‎”，‎ 事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为‎2‎”，‎ 事件D表示“两个月内被投诉‎2‎次”‎ 所以P(Ai)=0.4‎，P(Bi)=0.5‎，‎P(Ci)=0.1(i=1, 2)‎ 所以两个月中，一个月被投诉‎2‎次，另一个月被投诉‎0‎次的概率为P(A‎1‎C‎2‎+A‎2‎C‎1‎)‎ 一、二月份均被投诉‎1‎次的概率为P(B‎1‎B‎2‎)‎ 所以P(D)=P(A‎1‎C‎2‎+A‎2‎C‎1‎)+P(B‎1‎B‎2‎)=P(A‎1‎C‎2‎)+P(A‎2‎C‎1‎)+P(B‎1‎B‎2‎)‎ 由事件的独立性的p(D)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33‎．‎ ‎19.解：（1）证明：∵ 三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎为直三棱柱，∴ AB⊥AA‎1‎，在‎△ABC中，AB=1‎，AC=‎‎3‎，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，由正弦定理得‎∠ACB=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎，即AB⊥AC，‎ ‎∴ AB⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎，‎ 又A‎1‎C⊂‎平面ACC‎1‎A‎1‎，‎ ‎∴ AB⊥A‎1‎C．‎ ‎（2）如图，作AD⊥A‎1‎C交A‎1‎C于D点，连接BD，‎ ‎ 6 / 6‎ 由三垂线定理知BD⊥A‎1‎C，‎ ‎∴ ‎∠ADB为二面角A-A‎1‎C-B的平面角．‎ 在Rt△AA‎1‎C中，AD=AA‎1‎⋅ACA‎1‎C=‎3‎‎×‎‎3‎‎6‎=‎‎6‎‎2‎，‎ 在Rt△BAD中，tan∠ADB=ABAD=‎‎6‎‎3‎，‎ ‎∴ cos∠ADB=‎‎15‎‎5‎，‎ 即二面角A-A‎1‎C-B的余弦值为‎15‎‎5‎．‎ ‎20.解析：（1）f'(x)=3x‎2‎-3a=3(x‎2‎-a)‎，‎ 当a<0‎时，对x∈R，有f'(x)>0‎，‎ 当a<0‎时，f(x)‎的单调增区间为‎(-∞, +∞)‎ 当a>0‎时，由f'(x)>0‎解得x<-‎a或x>‎a；‎ 由f'(x)<0‎解得‎-a0‎时，f(x)‎的单调增区间为‎(-∞,-a)，(a,+∞)‎；‎ f(x)‎的单调减区间为‎(-a，a)‎．‎ ‎（2）因为f(x)‎在x=-1‎处取得极大值，‎ 所以f'(-1)=3×(-1‎)‎‎2‎-3a=0‎，∴ a=1‎．‎ 所以f(x)=x‎3‎-3x-1‎，f'(x)=3x‎2‎-3‎，‎ 由f'(x)=0‎解得x‎1‎‎=-1‎，x‎2‎‎=1‎．‎ 由（1）中f(x)‎的单调性可知，f(x)‎在x=-1‎处取得极大值f(-1)=1‎，‎ 在x=1‎处取得极小值f(1)=-3‎．‎ 因为直线y=m与函数y=f(x)‎的图象有三个不同的交点，‎ 结合f(x)‎的单调性可知，m的取值范围是‎(-3, 1)‎．‎ ‎21.解：（1）证b‎1‎‎=a‎2‎-a‎1‎=1‎，‎ 当n≥2‎时，‎bn‎=an+1‎-an=an-1‎‎+‎an‎2‎-an=-‎1‎‎2‎(an-an-1‎)=-‎‎1‎‎2‎bn-1,‎ 所以‎{bn}‎是以‎1‎为首项，‎-‎‎1‎‎2‎为公比的等比数列．‎ ‎（2）解由（1）知bn‎=an+1‎-an=(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎，‎ 当n≥2‎时，‎an‎=a‎1‎+(a‎2‎-a‎1‎)+(a‎3‎-a‎2‎)++(an-an-1‎)=1+1+(-‎1‎‎2‎)+...+(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎ ‎=1+‎1-(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎‎1-(-‎1‎‎2‎)‎=1+‎2‎‎3‎[1-(-‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎]=‎5‎‎3‎-‎2‎‎3‎(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎‎，‎ 当n=1‎时，‎5‎‎3‎‎-‎2‎‎3‎(-‎1‎‎2‎‎)‎‎1-1‎=1=‎a‎1‎．‎ 所以an‎=‎5‎‎3‎-‎2‎‎3‎(-‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎22.解：（1）由题意知，双曲线C的顶点‎(O, a)‎到渐近线ax-by=0‎的距离为‎2‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴ aba‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎2‎‎5‎‎5‎，即abc=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 由abc‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎ca‎=‎‎5‎‎2‎c‎2‎‎=a‎2‎+‎b‎2‎，得a=2‎b=1‎c=‎‎5‎ ‎∴ 双曲线C的方程为y‎2‎‎4‎‎-x‎2‎=1‎．‎ ‎（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．‎ 设A(m, 2m)‎，B(-n, 2n)‎，m>0‎，n>0‎．‎ 由AP‎→‎‎=λPB‎→‎得P点的坐标为‎(m-λn‎1+λ，‎2(m+λn)‎‎1+λ)‎，‎ 将P点坐标代入y‎2‎‎4‎‎-x‎2‎=1‎，化简得mn=‎‎(1+λ‎)‎‎2‎‎4λ．‎ 设‎∠AOB=2θ，∵ tan(π‎2‎-θ)=2‎，∴ tanθ=‎1‎‎2‎，sinθ=‎5‎‎5‎，sin2θ=‎‎4‎‎5‎．‎ 又‎|OA|=‎5‎m，|OB|=‎‎5‎n‎+‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎|OA|⋅|OB|⋅sin2θ=2mn=‎1‎‎2‎(λ+‎1‎λ)+1‎．‎ 记S(λ)=‎1‎‎2‎(λ+‎1‎λ)+1，λ∈[‎1‎‎3‎,2]‎，‎ 由S‎'‎‎(λ)=0‎得λ=1‎，又S(1)=2‎，S(‎1‎‎3‎)=‎8‎‎3‎，S(2)=‎‎9‎‎4‎，‎ 当λ=1‎时，‎△AOB的面积取得最小值‎2‎，当λ=‎‎1‎‎3‎时，‎ ‎△AOB的面积取得最大值‎8‎‎3．‎ ‎∴ ‎△AOB面积的取值范围是‎[2,‎8‎‎3‎]‎．‎ ‎ 6 / 6‎