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  • 2021-06-24 发布

2009年陕西省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年陕西省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设不等式x‎2‎‎-x≤0‎的解集为M,函数f(x)=ln(1-|x|)‎的定义域为N,则M∩N为( )‎ A.‎[0, 1)‎ B.‎(0, 1)‎ C.‎[0, 1]‎ D.‎‎(-1, 0]‎ ‎2. 若tanα=2‎,则‎2sinα-cosαsinα+2cosα的值为( )‎ A.‎0‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎1‎ D.‎‎5‎‎4‎ ‎3. 函数f(x)=‎2x-4‎(x≥4)‎的反函数为( )‎ A.f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+2(x≥0)‎ B.‎f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+2(x≥2)‎ C.f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+4(x≥0)‎ D.‎f‎-1‎‎(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+4(x≥2)‎ ‎4. 过原点且倾斜角为‎60‎‎∘‎的直线被圆x‎2‎‎+y‎2‎-4y=‎0‎所截得的弦长为( )‎ A.‎3‎ B.‎2‎ C.‎6‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎5. 某单位共有老、中、青职工‎430‎人,其中青年职工‎160‎人,中年职工人数是老年职工人数的‎2‎倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工‎32‎人,则该样本中的老年职工人数为( )‎ A.‎9‎ B.‎18‎ C.‎27‎ D.‎‎36‎ ‎6. 若‎(1-2x‎)‎‎2009‎=a‎0‎+a‎1‎x+...+a‎2009‎x‎2009‎(x∈R)‎,则a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎‎2‎+…+‎a‎2009‎‎2‎‎2009‎的值为( )‎ A.‎2‎ B.‎0‎ C.‎-1‎ D.‎‎-2‎ ‎7. ”m>n>0‎”是”方程mx‎2‎+ny‎2‎=1‎表示焦点在y轴上的椭圆”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 在‎△ABC中,M是BC的中点,AM=‎1‎,点P在AM上且满足AP‎→‎‎=2‎PM‎→‎,则PA‎→‎‎⋅(PB‎→‎+PC‎→‎)‎等于( )‎ A.‎-‎‎4‎‎9‎ B.‎-‎‎4‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎4‎‎9‎ ‎9. 从‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎,‎6‎,‎7‎这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为( )‎ A.‎432‎ B.‎288‎ C.‎216‎ D.‎‎108‎ ‎10. 定义在R上的偶函数f(x)‎满足:对任意的x‎1‎,x‎2‎‎∈[0, +∞)(x‎1‎≠x‎2‎)‎,有f(x‎2‎)-f(x‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎‎<0‎.则( )‎ A.f(3)0‎,ω>0‎,‎0<φ<‎π‎2‎)的周期为π,且图象上一个最低点为M(‎2π‎3‎,-2)‎.‎ ‎(1)求f(x)‎的解析式;‎ ‎(2)当x∈[0,π‎12‎]‎,求f(x)‎的最值.‎ ‎18. 椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为‎0‎,‎1‎,‎2‎的概率分别为‎0.4‎,‎0.5‎,‎‎0.1‎ ‎(1)求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过‎1‎次的概率;‎ ‎(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉‎2‎次的概率.‎ ‎19. 如图所示,在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AB=1‎,AC=AA‎1‎=‎‎3‎,‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎.‎ ‎(1)证明:AB⊥A‎1‎C;‎ ‎(2)求二面角A-A‎1‎C-B的余弦值.‎ ‎20. 已知函数f(x)=x‎3‎-3ax-1‎,‎a≠0‎ ‎(1)求f(x)‎的单调区间;‎ ‎ 6 / 6‎ ‎(2)若f(x)‎在x=-1‎处取得极值,直线y=m与y=f(x)‎的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.‎ ‎21. 已知数列‎{an}‎满足a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎=2‎,an+2‎‎=‎an‎+‎an+1‎‎2‎,n∈‎N‎*‎.‎ ‎(1)令bn‎=an+1‎-‎an,证明:‎{bn}‎是等比数列;‎ ‎(2)求‎{an}‎的通项公式.‎ ‎22. 已知双曲线C的方程为y‎2‎a‎2‎‎-x‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎,离心率e=‎‎5‎‎2‎,顶点到渐近线的距离为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若AP‎→‎‎=λPB‎→‎,λ∈[‎1‎‎3‎,2]‎,求‎△AOB面积的取值范围.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年陕西省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.A ‎2.B ‎3.B ‎4.D ‎5.B ‎6.C ‎7.C ‎8.A ‎9.C ‎10.A ‎11.B ‎12.B 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎2n ‎14.‎1‎,‎‎11‎ ‎15.‎‎2π‎3‎ ‎16.‎‎8‎ 三、解答题(共6小题,满分76分)‎ ‎17.解:(1)由最低点为M(‎2π‎3‎,-2)得A=2‎由T=π得ω=‎2πT=‎2ππ=2‎ 由点M(‎2π‎3‎,-2)‎在图象上得‎2sin(‎4π‎3‎+φ)=-2‎即sin(‎4π‎3‎+φ)=-1‎ 所以‎4π‎3‎‎+φ=2kπ-‎π‎2‎故φ=2kπ-‎11π‎6‎(k∈Z)‎ 又φ∈(0,π‎2‎)‎,所以φ=‎π‎6‎所以f(x)=2sin(2x+π‎6‎)‎ ‎(2)因为x∈[0,π‎12‎]‎,可得‎2x+π‎6‎∈[π‎6‎,π‎3‎]‎ 所以当‎2x+π‎6‎=‎π‎6‎时,即x=0‎时,f(x)‎取得最小值‎1‎;‎ 当‎2x+π‎6‎=‎π‎3‎,即x=‎π‎12‎时,f(x)‎取得最大值‎3‎;‎ ‎18.解:(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为‎0‎”,‎ 事件B表示“一个月内被投诉的次数为‎1‎”‎ 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9‎ ‎(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为‎0‎”,‎ 事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为‎1‎”,‎ 事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为‎2‎”,‎ 事件D表示“两个月内被投诉‎2‎次”‎ 所以P(Ai)=0.4‎,P(Bi)=0.5‎,‎P(Ci)=0.1(i=1, 2)‎ 所以两个月中,一个月被投诉‎2‎次,另一个月被投诉‎0‎次的概率为P(A‎1‎C‎2‎+A‎2‎C‎1‎)‎ 一、二月份均被投诉‎1‎次的概率为P(B‎1‎B‎2‎)‎ 所以P(D)=P(A‎1‎C‎2‎+A‎2‎C‎1‎)+P(B‎1‎B‎2‎)=P(A‎1‎C‎2‎)+P(A‎2‎C‎1‎)+P(B‎1‎B‎2‎)‎ 由事件的独立性的p(D)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33‎.‎ ‎19.解:(1)证明:∵ 三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎为直三棱柱,∴ AB⊥AA‎1‎,在‎△ABC中,AB=1‎,AC=‎‎3‎,‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎,由正弦定理得‎∠ACB=‎‎30‎‎∘‎,‎ ‎∴ ‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎,即AB⊥AC,‎ ‎∴ AB⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,‎ 又A‎1‎C⊂‎平面ACC‎1‎A‎1‎,‎ ‎∴ AB⊥A‎1‎C.‎ ‎(2)如图,作AD⊥A‎1‎C交A‎1‎C于D点,连接BD,‎ ‎ 6 / 6‎ 由三垂线定理知BD⊥A‎1‎C,‎ ‎∴ ‎∠ADB为二面角A-A‎1‎C-B的平面角.‎ 在Rt△AA‎1‎C中,AD=AA‎1‎⋅ACA‎1‎C=‎3‎‎×‎‎3‎‎6‎=‎‎6‎‎2‎,‎ 在Rt△BAD中,tan∠ADB=ABAD=‎‎6‎‎3‎,‎ ‎∴ cos∠ADB=‎‎15‎‎5‎,‎ 即二面角A-A‎1‎C-B的余弦值为‎15‎‎5‎.‎ ‎20.解析:(1)f'(x)=3x‎2‎-3a=3(x‎2‎-a)‎,‎ 当a<0‎时,对x∈R,有f'(x)>0‎,‎ 当a<0‎时,f(x)‎的单调增区间为‎(-∞, +∞)‎ 当a>0‎时,由f'(x)>0‎解得x<-‎a或x>‎a;‎ 由f'(x)<0‎解得‎-a0‎时,f(x)‎的单调增区间为‎(-∞,-a),(a,+∞)‎;‎ f(x)‎的单调减区间为‎(-a,a)‎.‎ ‎(2)因为f(x)‎在x=-1‎处取得极大值,‎ 所以f'(-1)=3×(-1‎)‎‎2‎-3a=0‎,∴ a=1‎.‎ 所以f(x)=x‎3‎-3x-1‎,f'(x)=3x‎2‎-3‎,‎ 由f'(x)=0‎解得x‎1‎‎=-1‎,x‎2‎‎=1‎.‎ 由(1)中f(x)‎的单调性可知,f(x)‎在x=-1‎处取得极大值f(-1)=1‎,‎ 在x=1‎处取得极小值f(1)=-3‎.‎ 因为直线y=m与函数y=f(x)‎的图象有三个不同的交点,‎ 结合f(x)‎的单调性可知,m的取值范围是‎(-3, 1)‎.‎ ‎21.解:(1)证b‎1‎‎=a‎2‎-a‎1‎=1‎,‎ 当n≥2‎时,‎bn‎=an+1‎-an=an-1‎‎+‎an‎2‎-an=-‎1‎‎2‎(an-an-1‎)=-‎‎1‎‎2‎bn-1,‎ 所以‎{bn}‎是以‎1‎为首项,‎-‎‎1‎‎2‎为公比的等比数列.‎ ‎(2)解由(1)知bn‎=an+1‎-an=(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎,‎ 当n≥2‎时,‎an‎=a‎1‎+(a‎2‎-a‎1‎)+(a‎3‎-a‎2‎)++(an-an-1‎)=1+1+(-‎1‎‎2‎)+...+(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-2‎ ‎=1+‎1-(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎‎1-(-‎1‎‎2‎)‎=1+‎2‎‎3‎[1-(-‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎]=‎5‎‎3‎-‎2‎‎3‎(-‎‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎‎,‎ 当n=1‎时,‎5‎‎3‎‎-‎2‎‎3‎(-‎1‎‎2‎‎)‎‎1-1‎=1=‎a‎1‎.‎ 所以an‎=‎5‎‎3‎-‎2‎‎3‎(-‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎22.解:(1)由题意知,双曲线C的顶点‎(O, a)‎到渐近线ax-by=0‎的距离为‎2‎‎5‎‎5‎,‎ ‎∴ aba‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎2‎‎5‎‎5‎,即abc=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 由abc‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎ca‎=‎‎5‎‎2‎c‎2‎‎=a‎2‎+‎b‎2‎,得a=2‎b=1‎c=‎‎5‎ ‎∴ 双曲线C的方程为y‎2‎‎4‎‎-x‎2‎=1‎.‎ ‎(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x.‎ 设A(m, 2m)‎,B(-n, 2n)‎,m>0‎,n>0‎.‎ 由AP‎→‎‎=λPB‎→‎得P点的坐标为‎(m-λn‎1+λ,‎2(m+λn)‎‎1+λ)‎,‎ 将P点坐标代入y‎2‎‎4‎‎-x‎2‎=1‎,化简得mn=‎‎(1+λ‎)‎‎2‎‎4λ.‎ 设‎∠AOB=2θ,∵ tan(π‎2‎-θ)=2‎,∴ tanθ=‎1‎‎2‎,sinθ=‎5‎‎5‎,sin2θ=‎‎4‎‎5‎.‎ 又‎|OA|=‎5‎m,|OB|=‎‎5‎n‎+‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎|OA|⋅|OB|⋅sin2θ=2mn=‎1‎‎2‎(λ+‎1‎λ)+1‎.‎ 记S(λ)=‎1‎‎2‎(λ+‎1‎λ)+1,λ∈[‎1‎‎3‎,2]‎,‎ 由S‎'‎‎(λ)=0‎得λ=1‎,又S(1)=2‎,S(‎1‎‎3‎)=‎8‎‎3‎,S(2)=‎‎9‎‎4‎,‎ 当λ=1‎时,‎△AOB的面积取得最小值‎2‎,当λ=‎‎1‎‎3‎时,‎ ‎△AOB的面积取得最大值‎8‎‎3.‎ ‎∴ ‎△AOB面积的取值范围是‎[2,‎8‎‎3‎]‎.‎ ‎ 6 / 6‎