【数学】山东省潍坊诸城市2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版） 14页

山东省潍坊诸城市2019-2020学年高一下学期期中考试 数学试题 本试卷共4页.满分150分.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.‎ ‎3，第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.角的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，且终边过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得.‎ 故选：B.‎ ‎2.向量、满足，，且向量与的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】，且向量与的夹角为，所以，.‎ 故选：A.‎ ‎3.一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆心角为，设扇形的半径为，‎ ‎，‎ 解得.‎ 故选：D ‎4.已知A，B为锐角，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A，B为锐角，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎5.如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎6.若，则（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 且即，‎ 又，‎ 即.‎ 故选：C.‎ ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深是多少尺？（ ）‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 13 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，，‎ 在中，，‎ 解得.‎ 故选：B ‎8.已知是函数的最大值点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，其中，，‎ 当，，即，时，函数有最大值，‎ 此时.‎ 故选：A.‎ 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.‎ ‎9.下列结论中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 若是第三象限角，则 C. 若角的终边过点，‎ D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】对于A，，故A正确；‎ 对于B，由三角函数的象限符号可知，若是第三象限角，则，故B正确；‎ 对于C，角的终边过点，‎ 则，故C错误；‎ 对于D，‎ ‎，故D正确.‎ 故选：ABD ‎10.已知，，则以下结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 ‎【答案】BD ‎【解析】，则.‎ 对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；‎ 对于B选项，若，则，，，则，，‎ B选项正确；‎ 对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；‎ 对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.‎ 故选：BD.‎ ‎11.若在上有解，则m的取值可能为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】AC ‎【解析】，，，‎ 又在上有解，‎ ‎，‎ 对比选项，可得选项A、C符合要求.‎ 故选：A、C.‎ ‎12.将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 是函数图象的一条对称轴 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 ‎【答案】ACD ‎【解析】，‎ 当时，，故是函数图象的一条对称轴，A正确；‎ 当时，，故不是函数图象的对称中心，B错误；‎ 时，，故在上单调递增，C正确；‎ ‎，故的最小值为，D正确.‎ 故选：ACD.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ 故答案为：‎ ‎14.已知是平面向量的一组基底，实数x，y满足，则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】是平面向量的一组基底，且，‎ ‎，解得，‎ ‎.‎ 故答案为：2.‎ ‎15.如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 如图，由向量分解的平行四边形法则，‎ ‎ ‎ 计算可得：‎ 故答案为：‎ ‎16. 的值__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 ‎ ‎.‎ 故答案为:1.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知非零向量与不共线，.‎ ‎（1）若，求t的值；‎ ‎（2）若A、B、C三点共线，求t的值.‎ 解：（1）∵，∴，‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵A、B、C三点共线，∴存在非零实数使，‎ ‎∴即，‎ ‎∴，‎ ‎∵与不共线，∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.已知，且第________象限角.‎ 从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）化简求值：‎ 解：（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；‎ 若选③，；‎ 若选④，；‎ ‎（2）原式.‎ ‎19.向量.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求与所成夹角的余弦值.‎ 解：（1）∵，∴，‎ 又，∴，解得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎20.函数，且函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求及函数对称中心；‎ ‎（2）在给出的坐标系中用五点法做出函数在上的图像，并求在上的最大值及取最大值时x的值.‎ 解：（1）由题意，‎ 因为函数的最小正周期，‎ 所以，所以；‎ 令，解得，‎ 所以函数的对称中心为；‎ ‎（2）列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ 作图如下：‎ ‎ ‎ 因为，所以，‎ 所以当即时，取得最大值为3.‎ ‎21.如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.‎ ‎（1）用向量与表示；‎ ‎（2）用向量与表示，并求出和的值.‎ 解：（1）是线段CD的一个三等分点（靠近C点）.‎ 又D为AB中点，‎ ‎，‎ 故.‎ ‎（2）设三点共线，∴存在，使.‎ 由（1）知，.‎ 又C，F，B三点共线，，‎ 即.‎ ‎.‎ ‎，即.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，∴．‎ 综上，‎ ‎22.函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为的图象与x轴的交点，且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.‎ 解：（1）由题意点的纵坐标为，为等边三角形，‎ 所以三角形边长为2，所以，解得，‎ 所以，‎ 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，‎ 再向右平移个单位，得到；‎ ‎（2）由题意，‎ 所以恒成立，‎ 原不等式等价于在R上恒成立.‎ 令，即在上恒成立，‎ 设，对称轴，‎ 当时，成立；‎ 当时，，解得，此时；‎ 当时，，解得，此时；‎ 综上，实数m的取值范围为.‎