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- 2021-06-24 发布
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§3.2.1 古典概型(一)
学习目标
通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
重点难点
重点: 理解基本事件的概念、理解古典概型及其概率计算公式.
难点: 古典概型是等可能事件概率.
学法指导
1、基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件,且这些事件彼此互斥.试验中的事件A可以是基本事件,也可以是有几个基本事件组合而成的.
2、基本事件数的探求方法:
(1)列举法(2)树状图法:(3)列表法(4)排列组合
3、本节主要研究了古典概型的概率求法,解题时要注意两点:
(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式
P(A)=此公式只对古典概型适用.
知识链接
随机事件,基本事件的概率值和概率加法公式.
问题探究
通过试验和观察的方法,可以得到一些事件的概率估计,但这种方法耗时多,操作不方便,并且有些事件是难以组织试验的.因此,我们希望在某些特殊条件下,有一个计算事件概率的通用方法.
【探究新知】(一):基本事件
思考1:连续抛掷两枚质地均匀的硬币,可能结果有 ;
连续抛掷三枚质地均匀的硬币,可能结果
.
思考2:上述试验中的每一个结果都是随机事件,我们把这类试验中不能再分的最简单的,且其他事件可以用它们来描述的随机事件事件称为基本事件,通俗地叫试验结果. 在一次试验中,任何两个基本事件是___ 关系.
所有基本事件构成的集合成为基本事件空间。基本事件空间常用大些字母表示.
例1:试验“连续抛掷两枚质地均匀的硬币”的基本事件空间
.
思考3:在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中,随机事件“出现两次正面和一次反面”,“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成?
思考4:综上分析,基本事件的两个特征是:
(1) 任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
【探究新知】(二):古典概型
思考1:抛掷一枚质地均匀的骰子有 ________ 基本事件.每个基本事件出现的可能性相等吗?
思考2:抛掷一枚质地不均匀的硬币有________ 基本事件?每个基本事件出现的可能性相等吗?
思考3:从所有整数中任取一个数的试验中,其基本事件有多少个?
思考4:如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性),且每个基本事件出现的可能性相等(等可能性),则具有这两个特点的概率模型称为古典概型.
例2:下列事件中哪些是古典概型:
(1) 明天是否下雨
(2) 射击运动员在一次比赛中能否击中10环
(3) 某时间内路段是否发生交通事故
(4) 抛掷一枚骰子朝上的点数是奇数.
思考5:随机抛掷一枚质地均匀的骰子是古典概型吗?
每个基本事件出现的概率是多少?
你能根据古典概型和基本事件的概念,检验你的结论的正确性吗?
思考6:一般地,如果一个古典概型共有n个基本事件,那么每个基本事件在一次试验中发生的概率为多少?为什么呢?
思考7:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,利用基本事件的概率值和概率加法公式,“出现偶
数点”的概率如何计算?“出现不小于2点” 的
概率如何计算?
思考8:考察抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数,与“出现偶数点”、“出现不小于2点”所包含的基本事件的个数之间的关系,你有什么发现?
思考9:一般地,对于古典概型,事件A在一次试验中发生的概率如何计算?
.
思考10:从集合的观点分析,如果在一次试验中,等可能出现的所有n个基本事件组成全集U,事件A包含的m个基本事件组成子集A,那么事件A发生的概率 P(A)等于什么?特别地,当A=U,A=Ф时,P(A)等于什么?
重要结论:一般地,对于古典概型,基本事件共有n个,随机事件A包含的基本事件是m.由互斥事件的概率加法公式可得, 所以在古典概型中
这一定义被成为概率的古典定义,其中该公式称为古典概型的概率计算公式.
【例题讲评】
例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?
这些基本事件构成的基本事件空间是什么?
事件“取到字母a”是哪些基本事件的和?
例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案,假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少?
例3: 假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?
例4 同时掷两个不同的骰子,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是5的概率是多少?
目标检测
1、 在下列试验中,哪些试验给 出的随机事件是等可能的? ( )
① 投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”
② 一个盘子中有三个大小完全相同的球,其中红球、黄球、黑球各一个,从中任取一个球,“取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”
③ 一个盒子中有四个大小完全相同的球,其中红球、黄球各一个,黑球两个,从中任取一球, “取出的是红球”,“取出的是黄球”,“取出的是黑球”。
2、从一副扑克牌(54张)中抽到牌“K”的概率是( )
A. B. C. D.
3、将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 ( )
A. B. C. D.
4、从教室到逸夫楼有A1,A2,A3,A4共4条路线,从逸夫楼到礼堂有B1,B2共两条路线,其中A2B1是从教室到礼堂的最短路线,某同学任选一条从教室到礼堂的路线,此路线正好是最短路线的概率是 ( )
A. B. C. D.
5、从A,B,C三个同学中选2名代表学校到省里参加奥林匹克数学竞赛,A被选中的概率是
( )
A. B. C. D.1
6、在40根纤维中,有12根的长度超过30mm,从中任取一根,取到长度超过30mm的纤维的概率是 ( )
A. B. C. D.以上都不对
7.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 ( )
A. B. C. D.
8、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若前三次连续抛到“6点朝上”,则对于第四次抛掷结果的预测,下列说法中正确的是 ( )
A.出现“6点朝上”的概率大 于;
B.出现“6点朝上”的概率等于;
C.一定出现“6点朝上”;
D.无法预测“6点朝上”的概率.
9、做试验“从0,1,2 这三个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序实数对( x, y),x为第一次取到的数字,y为第二次取到的数字”.
(1)写出这个试验的基本事件;
(2)求这个试验基本事件的总数;
(3)写出“第一次取出的数字是2”这一事件,并求其发生的概率。
10、抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率。
纠错矫正
总结反思
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