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- 2021-06-24 发布
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[基础题组练]
1.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
解析:选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4,故选B.
2.(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著,某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
解析:选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下:
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.
3.现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A=120种不同的取法,若活动恰好在第四次抽奖结束,则前三次共抽到2张中奖票,第四次抽到最后一张中奖票,共有3AAA=36种取法,所以P==.故选C.
4.据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.现有每个级别的诸侯各一人,共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子,级别每高一级就多分m个(m为正整数),若按这种方法分橘子,“公”恰好分得30个橘子的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选B.由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列,设“男”分得的橘子个数为a1,其前n项和为Sn,则S5=5a1+m=80,即a1+2m=16,且a1,m均为正整数,若a1=2,则m=7,此时a5=30,若a1=4,m=6,此时a5=28,若a1=6,m=5,此时a5=26,若a1=8,m=4,此时a5=24,若a1=10,m=3,此时a5=22,若a1=12,m=2,此时a5=20,若a1=14,m=1,此时a5=18,所以“公”恰好分得30个橘子的概率为.故选B.
5.(2020·陕西榆林模拟)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教,若每个村小学至少分配1名大学生,则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选C.依题意,小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人,另外2个学校各1人,共有CA=36(种)分配方法,若小明必分配到甲村小学,有CA+CA=12(种)分配方法,根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为=,故选C.
6.(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.
解析:经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.
答案:0.98
7.(2020·四川绵阳诊断改编)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则P1=________,P2=________.
解析:三辆车的出车顺序可能为:123,132,213,231,312,321,共6种.
方案一坐3号车可能为:132,213,231,共3种,所以P1==;方案二坐3号车可能为:312,321,共2种.所以P2==.
答案:
8.已知|p|≤3,|q|≤3,当p,q∈Z,则方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根的概率是________.
解析:由方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根,可得Δ=(2p)2-4(-q2+1)>0,即p2+q2>1.
当p,q∈Z时,设点M(p,q),如图,直线p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直线q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交点,即为点M,共有49个,其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点).当点M(p,q)落在圆p2+q2=1外时,方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根,所以方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根的概率P==.
答案:
9.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得
P(A)==0.15,P(B)==0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
10.在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.
解:(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA,那么P(EA)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.
(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2==,所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1=1-P2=.
[综合题组练]
1.已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证,现把三张身份证收起来后,再随机分给甲、乙、丙每人一张,则恰有一人取到自己身份证的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证,
现把三张身份证收起来后,再随机分给甲、乙、丙每人一张,
基本事件总数n=A=6,
恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m=CCC=3,
所以恰有一人取到自己身份证的概率为p===.故选A.
2.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架,一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选B.根据题意,最近路线就是不能走回头路,不能走重复的路,所以一共要走3次向上,2次向右,2次向前,共7次,所以最近的行走路线共有A=5 040(种).因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空隙中,5个位置排3个元素,也就是A,则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有AA=1 440(种),所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P==.故选B.
3.连续抛掷同一颗均匀的骰子,记第i次得到的向上一面的点数为ai,若存在正整数k,使a1+a2+…+ak=6,则称k为幸运数字,则幸运数字为3的概率是________.
解析:连续抛掷同一颗均匀的骰子3次,所含基本事件总数n=6×6×6,要使a1+a2+a3=6,则a1,a2,a3可取1,2,3或1,1,4或2,2,2三种情况,其所含的基本事件个数m=A+C+1=10.
故幸运数字为3的概率为P==.
答案:
4.如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率为________.
解析:从九个数中任取三个数的不同取法共有C==84种,取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C=6种,所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1-=.
答案:
5.某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1
000名购物者2017年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为:[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下:
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下:
购物金
额分组
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
发放金额
50
100
150
200
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数;
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
解:(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表:
x
0.3≤x<0.5
0.5≤x<0.6
0.6≤x<0.8
0.8≤x≤0.9
y
50
100
150
200
频率
0.4
0.3
0.28
0.02
这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为
(50×400+100×300+150×280+200×20)=96.
(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知,
P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,
P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02,
从而,获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3.
6.(2020·延安一模)某快递公司收取快递费用的标准如下:质量不超过1 kg的包裹收费10元;质量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每1 kg(不足1 kg,按1 kg计算)需再收5元.
该公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围
0~100
101~200
201~300
301~400
401~500
包裹件数(近似处理)
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
(1)某人打算将A(0.3 kg),B(1.8 kg),C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出,求该人支付的快递费不超过30元的概率;
(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件,工资100元,目前前台有工作人员3人,那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利?
解:(1)由题意,寄出方式有以下三种可能:
情况
第一个包裹
第二个包裹
礼物
质量(kg)
快递费(元)
礼物
质量(kg)
快递费(元)
甲支付的总快递费
1
A
0.3
10
B,C
3.3
25
35
2
B
1.8
15
A,C
1.8
15
30
3
C
1.5
15
A,B
2.1
20
35
所有3种可能中,有1种可能快递费未超过30元,根据古典概型概率计算公式,所求概率为.
(2)由题目中的天数得出频率,如下:
包裹件数范围
0~100
101~200
201~300
301~400
401~500
包裹件数(近似处理)
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:
包裹件数(近似处理)
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
350
450
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均揽件数
50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260
故公司每日利润为260×5-3×100=1 000(元);
若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下:
包裹件数(近似处理)
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
300
300
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均揽件数
50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235
故公司每日利润为235×5-2×100=975(元).
综上,公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
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