数学人教a版选修2-2章末测试：第三章数系的扩充与复数的引入b word版含解析 5页

第三章测评 B (高考体验卷) (时间：90 分钟 满分：100 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．(2014·广东高考)已知复数 z 满足(3＋4i)z＝25，则 z＝( ) A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i 2．(2014·山东高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 3．(2014·课标全国Ⅱ高考)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i， 则 z1z2＝( ) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 4．(2014·福建高考)复数 z＝(3－2i)i 的共轭复数 z 等于( ) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 5．(2013·北京高考)在复平面内，复数 i(2－i)对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(2013·湖北高考)在复平面内，复数 z＝ 2i 1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．(2014·重庆高考)复平面内表示复数 i(1－2i)的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．(2014·江西高考) z 是 z 的共轭复数，若 z＋ z ＝2，(z－ z )i＝2(i 为虚数单位)，则 z ＝( ) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 9．(2013·安徽高考)设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数．若 z· z i＋2＝2z，则 z ＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 10．(2013·课标全国Ⅰ高考)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( ) A．－4 B．－4 5 C．4 D．4 5 第Ⅱ卷(非选择题 共 50 分) 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在题中的横线上) 11．(2013·天津高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则 a＋bi＝ __________. 12．(2013·天津高考)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 13．(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于原点对称， 若 z1＝2－3i，则 z2＝__________. 14．(2014·江苏高考)已知复数 z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为__________． 15．(2012·湖北高考)若3＋bi 1－i ＝a＋bi(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a＋b＝______. 三、解答题(本大题共 4 小题，共 25 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题 6 分)(2014 辽宁高考改编)设复数 z 满足(z－2i)(2－i)＝5，求 z. 17．(本小题 6 分)(2014 广东广州综合测试一改编)已知 i 是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i， 求实数 m 的值． 18．(本小题 6 分)(2014 湖北部分重点中学一联改编)若 z＝sin θ－3 5 ＋ cos θ－4 5 i 是纯虚 数，求 tan θ－π 4 的值． 19．(本小题 7 分)(2014 陕西长安三检改编)设 z＝1 2 ＋ 3 2 i(i 是虚数单位)，求 z＋2z2＋3z3 ＋4z4＋5z5＋6z6. 参考答案 一、1．解析：由已知得 z＝ 25 3＋4i ＝ 25(3－4i) (3＋4i)(3－4i) ＝25(3－4i) 25 ＝3－4i，故选 D． 答案：D 2．解析：由 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，可得 a＝2，b＝1. 所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i. 答案：D 3．解析：由题意知：z2＝－2＋i. 又 z1＝2＋i，所以 z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选 A． 答案：A 4．解析：因为 z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i， 所以 z ＝2－3i.故选 C． 答案：C 5．解析：i(2－i)＝1＋2i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选 A． 答案：A 6．解析：∵z＝ 2i 1＋i ＝ 2i(1－i) (1＋i)(1－i) ＝i(1－i)＝1＋i， ∴复数 z＝ 2i 1＋i 的共轭复数 z ＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限． 答案：D 7．解析：因为 i(1－2i)＝i＋2，其在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限．故选 A． 答案：A 8．解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi. 由 z＋ z ＝2，得 2a＝2，即 a＝1； 又由(z－ z )i＝2，得 2bi·i＝2，即 b＝－1. 故 z＝1－i. 答案：D 9．解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则由 z· z i＋2＝2z 得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)， 即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以 2a＝2，a2＋b2＝2b， 所以 a＝1，b＝1，即 z＝a＋bi＝1＋i. 答案：A 10．解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|， ∴z＝ 5 3－4i ＝ 5(3＋4i) (3－4i)(3＋4i) ＝3 5 ＋4 5i. 故 z 的虚部为4 5 ，选 D． 答案：D 二、11．解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得 a－1＝0， a＋1＝b， 解方程组，得 a＝1， b＝2，则 a＋bi＝1＋2i. 答案：1＋2i 12．解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i. 答案：5－5i 13．解析：z1 在复平面上的对应点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)，故 z2＝－2 ＋3i. 答案：－2＋3i 14．解析：由题意，得 z＝(5＋2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，其实部为 21. 答案：21 15．解析：由题意可得，3＋bi＝(a＋bi)(1－i)＝(a＋b)＋(b－a)i，故 a＋b＝3. 答案：3 三、16．解：∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z－2i＝ 5 2－i ； ∴z＝2i＋ 5 2－i ＝2i＋ 5(2＋i) (2－i)(2＋i) ＝2i＋2＋i＝2＋3i. 17．解：(m＋i)2＝(m2－1)＋2mi＝3－4i，由复数相等得 m2－1＝3， 2m＝－4， 解得 m＝－2. 18．解：依题意 sin θ－3 5 ＝0， cos θ－4 5 ≠0， ∴sin θ＝3 5 ，cos θ＝－4 5 ， ∴tan θ＝sin θ cos θ ＝－3 4 ， ∴tan θ－π 4 ＝ tan θ－tanπ 4 1＋tan θtanπ 4 ＝ －3 4 －1 1－3 4 ＝－7. 19．解：设 S＝z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6，zS＝z2＋2z3＋3z4＋4z5＋5z6＋6z7，两式相减 得(1－z)S＝z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6－6z7＝z(1－z6) 1－z －6z7， 所以 S＝z(1－z6) (1－z)2 － 6z7 1－z ， 因为 z＝1 2 ＋ 3 2 i，故 z6＝1. S＝－ 6z 1－z ＝－6· 1 2 ＋ 3 2 i 1 2 － 3 2 i ＝－6 －1 2 ＋ 3 2 i ＝6 1 2 － 3 2 i ＝3－3 3i.