高考文科数学复习备课课件：第一节　数系的扩充与复数的引入 25页

文数 课标版 第一节　数系的扩充与复数的引入 教材研读 1.复数的有关概念 (1)形如①      a + b i     ( a , b ∈R)的数叫做复数.复数通常用字母 z 表示,即 z = a + b i,其中 a 与 b 都是实数, a 叫做复数 z 的实部, b 叫做复数 z 的虚部. 对于复数 a + b i( a , b ∈R),当且仅当 b =0时,它是实数; 当 b ≠ 0时,叫做虚数;当②      a =0且 b ≠ 0     时,叫做纯虚数. (2)复数的相等 如果 a , b , c , d 都是实数,那么 a + b i= c + d i ⇔ a = c 且 b = d ; a + b i=0 ⇔ ③      a =0且 b =0     . 2.复数的几何意义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做 虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象 限内的点都表示虚数. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复 平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的. 3.共轭复数的概念 当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭 复数,复数 z 的共轭复数用   表示,即若 z = a + b i( a , b ∈R),则   =④      a - b i     . 4.复数的模 (1)定义:复数 z = a + b i( a , b ∈R)对应的向量   的模叫做 z 的模,记作| z |或| a + b i|,| z |=| a + b i|=   . (2)性质:| z 1 · z 2 |=| z 1 |·| z 2 |,   =   ,| z n |=| z | n ,|   |=| z |. 5.复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则 ( a + b i) ± ( c + d i)=( a ± c )+( b ± d )i( a , b , c , d ∈R). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈C,有 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 , ( z 1 + z 2 )+ z 3 = z 1 +( z 2 + z 3 ). (3)复数的加减法的几何意义 a.复数加法的几何意义 若复数 z 1 、 z 2 对应的向量分别为   、   ,设   =   +   ,则复数 z 1 + z 2 是向量   所对应的复数. b.复数减法的几何意义 若复数 z 1 , z 2 对应的向量分别为   ,   ,则复数 z 1 - z 2 是向量   所对应的 复数. 6.复数的乘法与除法 设 z 1 = a + b i, z 2 = c + d i( a , b , c , d ∈R). (1)复数的乘法 z 1 z 2 =( a + b i)( c + d i)=( ac - bd )+( bc + ad )i; 交换律: z 1 · z 2 =⑤      z 2 · z 1      ; 结合律:( z 1 · z 2 )· z 3 =⑥      z 1 ·( z 2 · z 3 )     ; 分配律: z 1 ( z 2 + z 3 )=⑦      z 1 z 2 + z 1 z 3      . (2)复数的除法 ( a + b i) ÷ ( c + d i)=   +   i( c + d i ≠ 0). 7 .i 4 k =1,i 4 k +1 =i,i 4 k +2 =-1,i 4 k +3 =-i,其中 k ∈N * .   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)复数 z = a + b i( a , b ∈R)中,虚部为 b i.   ( × ) (2)复数可以比较大小.   ( × ) (3)两个复数的积与商一定是虚数.   ( × ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是 复数对应的向量的模.   (√) (5)已知 z = a + b i( a , b ∈R),当 a =0时,复数 z 为纯虚数.   ( × )   1.(2016四川,1,5分)设i为虚数单位,则复数(1+i) 2 =   (　　) A.0　    B.2　    C.2i　　D.2+2i 答案     C　(1+i) 2 =1+2i+i 2 =2i,故选C. 2.(2016山东,2,5分)若复数 z =   ,其中i为虚数单位,则   =   (　　) A.1+i　　B.1-i　　C.-1+i　　D.-1-i 答案     B　∵ z =   =   =1+i, ∴   =1-i,故选B. 3.如果复数   是纯虚数,那么实数 m 等于   (　　) A.-1　    B.0　    C.0或1　    D.0或-1 答案     D       =   =   ,由题意得   解得 m =0或-1.故选D. 4.已知复数 z =   ,则   ·i在复平面内对应的点位于   (　　) A.第一象限　　B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限 答案     B　∵ z =   =   , ∴   =   +   , ∴   ·i=-   +   i. ∴实部为-   ,虚部为   ,在复平面内对应的点为   ,在第二象限,故选 B. 5.设复数   = a + b i( a , b ∈R),则 a + b = 　　　     . 答案 　1 解析 　依题意有   =   =-   +   i= a + b i, 所以 a =-   , b =   , 则 a + b =-   +   =1. 考点一　复数的有关概念 典例1 　(1)(2016安徽安庆二模)设i是虚数单位,如果复数   的实部与 虚部相等,那么实数 a 的值为   (　　) A.   　    B.-   　    C.3　    D.-3 (2)(2016安徽江南十校3月联考)若复数 z 满足 z (1-i)=|1-i|+i,则 z 的实部为   (　　) A.   　    B.   -1　    C.1　    D.   (3)(2016辽宁沈阳二中一模)设i是虚数单位,若复数 a -   ( a ∈R)是纯虚 数,则实数 a 的值为   (　　) A.-4　    B.-1　    C.4　    D.1 考点突破 A.1+2i　　B.1-2i　　C.2+i　　D.2-i 答案 　(1)C　(2)A　(3)C　(4)D 解析 　(1)   =   ,由题意知   =   ,解得 a =3. (2)由 z (1-i)=|1-i|+i,得 z =   =   =   +   i,故 z 的实部为   ,故选A. (3)因为 a -   = a -   =( a -4)-i是纯虚数,所以 a -4=0, a =4,故选C. (4)   =   ( x - x i)=1- y i,∴   解得 x =2, y =1,故选D. (4)(2016福建基地综合)已知   =1- y i,其中 x , y 是实数,i是虚数单位,则 x + y i的共轭复数为   (　　) 方法技巧 解决复数有关概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应的点位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满 足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程 (不等式)组,解之即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a + b i( a , b ∈R)的形式,以确定实部和虚 部. 1-1 　若 a + b i=   (i是虚数单位, a , b ∈R),则 ab =   (　　) A.-2　    B.-1　    C.1　    D.2 答案     A     a + b i=   =1-2i,所以 a =1, b =-2,则 ab =-2. 1-2 　设复数 z =-1-i(i为虚数单位), z 的共轭复数为   ,则|(1- z )·   |=   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.1 答案     A　解法一:∵ z =-1-i,∴   =-1+i, ∴(1- z )·   =(2+i)·(-1+i)=-3+i, ∵|-3+i|=   =   , ∴|(1- z )·   |=   .故选A. 解法二:|(1- z )·   |=|1- z |·|   |=|2+i|·| z |=   ×   =   .故选A. 考点二　复数的几何意义 典例2 　(1)(2016河北唐山模拟)复数 z =   +3i在复平面内对应的点在   (　　) A.第一象限　    B.第二象限 C.第三象限　    D.第四象限 (2)在复平面内与复数 z =   所对应的点关于虚轴对称的点为 A ,则 A 对 应的复数为   (　　) A.1+2i　　B.1-2i　　C.-2+i　　D.2+i (3)如图,在复平面内,复数 z 1 , z 2 对应的向量分别是   ,   ,则| z 1 + z 2 |=   (    　)   A.2　    B.3　    C.2   　    D.3   答案 　(1)A　(2)C　(3)A 解析 　(1) z =   +3i=   +3i=   +3i=2-i+3i=2+2i,故 z 在复平面 内对应的点在第一象限,故选A. (2)依题意得,复数 z =   =i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1), 因此点 A 的坐标为(-2,1),其对应的复数为-2+i,选C. (3)由题图可知 z 1 =-2-i, z 2 =i, 则 z 1 + z 2 =-2, ∴| z 1 + z 2 |=2. 方法技巧 (1)复数 z 、复平面上的点 Z 及向量   相互联系,即 z = a + b i( a , b ∈R) ⇔ Z ( a , b ) ⇔   . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、 向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简 单化. 2-1　 如图,在复平面内,点 A 表示复数 z ,则图中表示 z 的共轭复数的点是   (　　)   A. A 　    B. B 　    C. C 　    D. D 答案     B　设 z =- a + b i( a , b ∈R + ),则 z 的共轭复数   =- a - b i,它对应的点的坐 标为(- a ,- b ),是第三象限的点.故选B. 2-2 　已知复数 z =1+ a i( a ∈R,i是虚数单位)在复平面上表示的点在第四 象限,且   · z =5,则 a =   (　　) A.2　    B.-2　    C.   　    D.-   答案     B　易知   =1- a i,则   · z =(1- a i)(1+ a i)=1+ a 2 =5,解得 a = ± 2, 又 z 在复平面内表示的点在第四象限,则 a =-2,故选B. 2-3 　已知复数 z 1 =-1+2i, z 2 =1-i, z 3 =3-4i,它们在复平面上对应的点分别 为 A , B , C ,若   = λ   + μ   ( λ , μ ∈R),则 λ + μ 的值是 　　　     . 答案 　1 解析 　由条件得   =(3,-4),   =(-1,2),   =(1,-1),根据   = λ   + μ   得 (3,-4)= λ (-1,2)+ μ (1,-1)=(- λ + μ ,2 λ - μ ), ∴   解得   ∴ λ + μ =1. 考点三　复数的代数运算 典例3 　(1)(2016安徽合肥模拟)已知 z =   (i为虚数单位),则复数 z =   (　　) A.-1　    B.1　    C.i　　D.-i (2)已知复数 z 满足 z +i=   (i为虚数单位),则| z |=   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.1 (3)(2016湖南长沙模拟)已知( a + b i)·(1-2i)=5(i为虚数单位, a , b ∈R),则 a + b 的值为   (　　) A.-1　    B.1　    C.2　    D.3 答案 　(1)C　(2)A　(3)D 解析 　(1) z =   =   =   =i,故选C. (3)因为( a + b i)(1-2i)= a +2 b +( b -2 a )i=5,故   解得 a =1, b =2,故 a + b =3, 故选D. 方法技巧 (1)复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分 子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. (2)几个常用结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. ①(1 ± i) 2 = ± 2i;   =i;   =-i. ②i( a + b i)=- b + a i, a , b ∈R. (2)由题意可得 z =   -i=   =1-2i,故| z |=   ,选A. ③i 4 n =1,i 4 n +1 =i,i 4 n +2 =-1,i 4 n +3 =-i,i 4 n +i 4 n +1 +i 4 n +2 +i 4 n +3 =0, n ∈N * . 3-1     (2016课标全国Ⅱ,2,5分)设复数 z 满足 z +i=3-i,则   =   (　　) A.-1+2i　　B.1-2i　     C.3+2i　　D.3-2i 答案     C     z =3-2i,所以   =3+2i,故选C. 3-2 　复数 z =1-i,则   + z =   (　　) A.   +   i　　B.   -   i C.   +   i　　D.   -   i 答案     D　∵ z =1-i,∴   + z =   +1-i=   +1-i=   +1-i=   -   i. 3-3 　已知复数 z =   ,   是 z 的共轭复数,则 z ·   = 　　　     . 答案        解析 　∵ z =   =   =   =   =   = -   +   i, ∴ z ·   =    =   +   =   .