高考文科数学复习备课课件：第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 20页

文数 课标 版 第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及 二倍角公式 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( α ± β )=①     sin α cos β ± cos α sin β      , cos( α ± β )=②     cos α cos β ∓ sin α sin β      , tan( α ± β )=③             . 教材研读 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 α =④ 　2sin α cos α      , cos 2 α =⑤     cos 2 α -sin 2 α      =⑥ 　2cos 2 α -1     =⑦ 　1-2sin 2 α      , tan 2 α =⑧             . 3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α ± tan β =tan( α ± β )⑨ 　(1 ∓ tan α tan β )     ; (2)cos 2 α =⑩             ,sin 2 α =               ; (3)1+sin 2 α =(sin α +cos α ) 2 ,1-sin 2 α =(sin α -cos α ) 2 .   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)存在实数 α , β 使等式sin( α + β )=sin α +sin β 成立.   (√) (2)在锐角△ ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 的大小不确定.( × ) (3)公式tan( α + β )=   可以变形为tan α +tan β =tan( α + β )(1-tan α tan β ), 且对任意角 α , β 都成立.   ( × ) (4)存在实数 α ,使tan 2 α =2tan α .   (√) (5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α , β 是任意的.   (√) 1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20 ° cos 10 ° -cos 160 ° sin 10 ° =   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案     D　原式=sin 20 ° cos 10 ° +cos 20 ° sin 10 ° =sin(20 ° +10 ° )=sin 30 ° =   , 故选D. 2.已知 α ∈   ,cos α =   ,则cos   =   (　　) A.   -   　    B.1-   C.-   +   　    D.-1+   答案     A　∵ α ∈   ,cos α =   ,∴sin α =   . ∴cos   =cos α cos   -sin α sin   =   ×   -   ×   =   -   . 3.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)若tan θ =-   ,则cos 2 θ =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案     D　解法一:cos 2 θ =cos 2 θ -sin 2 θ =   =   =   .故选D. 解法二:由tan θ =-   ,可得sin θ = ±   , 因而cos 2 θ =1-2sin 2 θ =   . 4.   = 　　　     . 答案        解析        =   tan 30 ° =   ×   =   . 考点一　三角函数公式的基本应用 典例1 　已知 α ∈   ,sin α =   . (1)求sin   的值; (2)求cos   的值. 解析 　(1)因为 α ∈   ,sin α =   , 所以cos α =-   =-   . 故sin   =sin   cos α +cos   sin α =   ×   +   ×   考点突破 =-   . (2)由(1)知sin 2 α =2sin α cos α =2 ×   ×   =-   , cos 2 α =1-2sin 2 α =1-2 ×   =   , 所以cos   =cos   cos 2 α +sin   sin 2 α =   ×   +   ×   =-   . 方法指导 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. 1-1　 设sin 2 α =-sin α , α ∈   ,则tan 2 α 的值是 　　　     . 答案        解析 　∵sin 2 α =2sin α cos α =-sin α , α ∈   , ∴cos α =-   , ∴sin α =   ,tan α =-   , ∴tan 2 α =   =   =   . 考点二　三角函数公式的逆用及变形应用 典例2 　(1)计算   的值为   (　　) A.-   　    B.   　    C.   　    D.-   (2)在△ ABC 中,若tan A tan B =tan A +tan B +1,则cos C 的值为   (　　) A.-   　    B.   　    C.   　    D.-   答案　 (1)B　(2)B 解析　 (1)   =   =   =   =   . (2)由tan A tan B =tan A +tan B +1,可得   =-1,即tan( A + B )=-1,又 A + B ∈(0,π),所以 A + B =   ,则 C =   ,cos C =   . 方法指导 三角函数公式的活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan α tan β ,tan α +tan β (或tan α -tan β ),tan( α + β )(或tan( α - β ))三者中可以 知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. 2-1     (2016江西新余三校联考)已知cos   =-   ,则sin   的值为   (　　) A.   　    B.   　    C. ±   　    D. ±   答案     C　因为cos   =cos   =   ,所以有sin 2   =   ×   =   ,从而求得sin   的值为 ±   ,故选C. 考点三　角的变换 典例3 　已知 α , β 均为锐角,且sin α =   ,tan( α - β )=-   . (1)求sin( α - β )的值; (2)求cos β 的值. 解析 　(1)∵ α , β ∈   ,∴-   < α - β <   . 又∵tan( α - β )=-   <0,∴-   < α - β <0. ∴   =   =1+tan 2 ( α - β )=   , ∴cos( α - β )=   , ∴sin( α - β )=-   . (2)∵ α 为锐角,且sin α =   , ∴cos α =   . 由(1)可得,cos( α - β )=   ,sin( α - β )=-   . 则cos β =cos[ α -( α - β )] =cos α cos( α - β )+sin α sin( α - β ) =   ×   +   ×   =   . 方法技巧 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角” 的和或差的形式; (2)当“已知角”只有一个时,应着眼于“所求角”与“已知角”的和 或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 变式3-1 　在本例条件下,求sin( α -2 β )的值. 解析 　∵cos β =   , β 为锐角,∴sin β =   . 又∵sin( α - β )=-   ,cos( α - β )=   , ∴sin( α -2 β )=sin[( α - β )- β ]=sin( α - β )cos β -cos( α - β )·sin β =-   . 变式3-2 　若将本例中“sin α =   ”变为“tan α =   ”,其他条件保持不变, 求tan(2 α - β )的值. 解析 　∵tan α =   ,tan( α - β )=-   , ∴tan(2 α - β )=tan[ α +( α - β )]=   =   =   . 3-3 　已知0< β <   < α <π,且cos   =-   ,sin   =   ,求cos   的值. 解析　 ∵0< β <   < α <π, ∴   < α -   <π,-   <   - β <   , ∴sin   =   =   , cos   =   =   , ∴cos   =cos   =cos   cos   +sin   sin   =   .