高考数学专题复习练习第3讲 三角函数的图象与性质 7页

第3讲 三角函数的图象与性质 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝2sin xcos x是(　　)．‎ A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 解析　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．‎ 答案　C ‎2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为 ‎(　　)．‎ A．0 B. C. D. 解析　据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．‎ 答案　B ‎3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 (　　)．‎ A．2－ B．‎0 ‎ C．－1 D．－1－ 解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.∴函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.‎ 答案　A ‎4．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为(　　)．‎ A．2π B. C．π D. 解析　依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期为2π.‎ 答案　A ‎5．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)．‎ A．[－1,1] B. C. D. 解析　(数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.‎ 答案　C ‎6．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由题意可知函数f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．‎ 解析　f＝f＝f＝sin ＝.‎ 答案　 ‎8．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.‎ 解析　(构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.‎ 答案　2‎ ‎9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________．‎ 解析　f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|‎ ‎＝ 画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.‎ 答案　 ‎10．下列命题中：‎ ‎①α＝2kπ＋(k∈Z)是tan α＝的充分不必要条件；‎ ‎②函数f(x)＝|2cos x－1|的最小正周期是π；‎ ‎③在△ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，则△ABC为钝角三角形；‎ ‎④若a＋b＝0，则函数y＝asin x－bcos x的图象的一条对称轴方程为x＝.‎ 其中是真命题的序号为________．‎ 解析　①∵α＝2kπ＋(k∈Z)⇒tan α＝，‎ 而tan α＝⇒/ α＝2kπ＋(k∈Z)，∴①正确．‎ ‎②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|‎ ‎＝|－2cos x－1|＝|2cos x＋1|≠f(x)，∴②错误．‎ ‎③∵cos Acos B>sin Asin B，∴cos Acos B－sin Asin B>0，‎ 即cos(A＋B)>0，∵00，‎ ‎∴－2asin∈[－‎2a，a]．∴f(x)∈[b,‎3a＋b]，‎ 又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,‎3a＋b＝1，‎ 因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，‎ ‎∴4sin－1＞1，∴sin＞，‎ ‎∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ 又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.‎ 综上，g(x)的递增区间为(k∈Z)；递减区间为(k∈Z)．‎