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- 2021-06-24 发布
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第6讲 抛物线
一、选择题
1.抛物线x2=(2a-1)y的准线方程是y=1,则实数a=( )
A. B. C.- D.-
解析 根据分析把抛物线方程化为x2=-2y,则焦参数p=-a,
故抛物线的准线方程是y==,则=1,解得a=-.
答案 D
2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=( )
A. B.1
C.2 D.3
解析 ∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,∴+p-3=0,解得p=2或p=-6(舍去).
答案 C
3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB= ( ).
A. B. C.- D.-
解析 由得x2-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,∴cos∠AFB===-.故选D.
答案 D
4.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为
( ).
A.x2=y B.x2=y
C.x2=8y D.x2=16y
解析 ∵-=1的离心率为2,∴=2,即==4,∴=.x2=2py的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意,得=2,∴p=8.故C2:x2=16y,选D.
答案 D
5.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( ).
A.18 B.24 C.36 D.48
解析 如图,设抛物线方程为
y2=2px(p>0).
∵当x=时,|y|=p,
∴p===6.
又P到AB的距离始终为p,
∴S△ABP=×12×6=36.
答案 C
6.已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是 ( ).
A. B. C.2 D.-1
解析 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l
的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.
答案 D
二、填空题
7.已知动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.
解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
答案 y2=4x
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=|MN|,则∠NMF=________.
解析 过N作准线的垂线,垂足是P,则有PN=NF,∴PN=MN,∠NMF=∠MNP.又cos∠MNP=,
∴∠MNP=,即∠NMF=.
答案
9.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
解析 如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py.由题意A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,故水面宽为2米.
答案 2
10.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=________.
解析 设过抛物线焦点的直线为y=k,联立得,整理得,k2x2-(k2+2)x+k2=0,x1+x2=,x1x2=.|AB|=x1+x2+1=+1=,得,k2=24,代入k2x2-(k2+2)x+k2=0得,12x2-13x+3=0,解之得x1=,x2=,又|AF|<|BF|,故|AF|=x1+=.
答案
三、解答题
11.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
(1)求a与b;
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过F2且与x轴垂直,动直线l2与y轴垂直,l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型.
解 (1)由e== =,得=.
又由原点到直线y=x+2的距离等于椭圆短半轴的长,得b=,则a=.
(2)法一 由c==1,得F1(-1,0),F2(1,0).
设M(x,y),则P(1,y).
由|MF1|=|MP|,得(x+1)2+y2=(x-1)2,即y2=-4x,所以所求的M的轨迹方程为y2=-4x,该曲线为抛物线.
法二 因为点M在线段PF1的垂直平分线上,所以|MF1|=|MP|,即M到F1的距离等于M到l1的距离.此轨迹是以F1(-1,0)为焦点,l1:x=1为准线的抛物线,轨迹方程为y2=-4x.
12.已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设=λ.
(1)若点P关于x轴的对称点为M,求证:直线MQ经过抛物线C的焦点F;
(2)若λ∈,求|PQ|的最大值.
思维启迪:(1)可利用向量共线证明直线MQ过F;(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值.
(1)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1).
∵=λ,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2,
∴y=λ2y,y=4x1,y=4x2,x1=λ2x2,
∴λ2x2+1=λ(x2+1),λx2(λ-1)=λ-1,
∵λ≠1,∴x2=,x1=λ,又F(1,0),
∴=(1-x1,y1)=(1-λ,λy2)
=λ=λ,
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.
(2)由(1)知x2=,x1=λ,
得x1x2=1,y·y=16x1x2=16,
∵y1y2>0,∴y1y2=4,
则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=x+x+y+y-2(x1x2+y1y2)
=2+4-12
=2-16,
λ∈,λ+∈,
当λ+=,即λ=时,|PQ|2有最大值,|PQ|的最大值为.
13.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4 ,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
解 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|= p.
因为△ABD的面积为4 ,所以|BD|·d=4 ,
即·2p· p=4 ,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|.
所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.
当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0,
解得b=-.
因为m的纵截距b1=,=3,
所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.
14.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.
解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).
∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得p=2.
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,
则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1),
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.
由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
y=4x1,①
y=4x2,②
∴=-,∴y1+2=-(y2+2).
∴y1+y2=-4.
由①-②得,y-y=4(x1-x2),
∴kAB===-1(x1≠x2).
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