高考数学专题复习练习第4讲 平面向量应用举例 8页

第4讲 平面向量应用举例 一、选择题 ‎1．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　)．‎ A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析　△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.‎ 答案　C ‎2. 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是(　　)‎ A．－2‎ B．－1‎ C．2‎ D．无法确定，与C点位置有关 解析 (＋)·＝2·＝－2.‎ 答案　A ‎3. 函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝ (　　)．‎ A．4 B．6‎ C．1 D．2‎ 解析　由条件可得B(3,1)，A(2,0)，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.‎ 答案　B ‎4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　法一　依题意，不妨设＝E，＝2，‎ 则有－＝(－)，即＝＋；‎ －＝2(－)，即＝＋.‎ 所以·＝· ‎＝(2＋)·(＋2)‎ ‎＝(22＋22＋5·)‎ ‎＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，选A.‎ 法二　由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，‎ 如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，‎ ‎∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.‎ 答案　A ‎5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)．‎ A．3 B. C．2 D. 解析　(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.‎ 答案　B ‎6．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为 (　　)．‎ A．1 B．‎2 ‎ C. D．3‎ 解析　如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，‎ ‎∴AO为BC的中垂线，‎ ‎∴||＝||＝||＝2，||＝1，‎ ‎∴||＝，∴在方向上的投影为.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7. △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．‎ 解析 ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，‎ ‎∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.‎ ‎∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.‎ 答案 3‎ ‎8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．‎ 解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝‎4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，‎ ‎∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－‎2a·b＝3，∴|a－b|＝.‎ 答案　 ‎9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．‎ 解析　若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.‎ ‎9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.‎ 当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．‎ 答案　6‎ ‎10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．‎ 解析　由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－‎4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O为坐标原点 ‎(1) ·＝－，求sin 2θ的值．‎ ‎(2)若|＋|＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．‎ 解 (1) ＝(cos θ，sin θ)－(2,0)‎ ‎＝(cos θ－2，sin θ)‎ ‎＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)．‎ ‎·＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)‎ ‎＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ ‎＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－.‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin 2θ＝－1＝－.‎ ‎(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，‎ ‎∴|＋|＝＝.‎ 即4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7.‎ ‎∴4cos θ＝2，即cos θ＝.‎ ‎∵－π<θ<0，∴θ＝－.‎ 又∵＝(0,2)，＝，‎ ‎∴cos 〈，〉＝＝＝－.‎ ‎∴〈，〉＝.‎ ‎12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.‎ ‎(1)若||＝||，求角α的值；‎ ‎(2)若·＝－1，求的值．‎ 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，‎ ‎∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，‎ 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，‎ 由||＝||，可得2＝2，‎ 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.‎ 又α∈，∴α＝.‎ ‎(2)由·＝－1，‎ 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，‎ ‎∴sin α＋cos α＝.①‎ 又＝＝2sin αcos α.‎ 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－.‎ ‎∴＝－.‎ ‎13．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．‎ ‎(1)若x＝，求向量a与c的夹角；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)＝‎2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．‎ 解　(1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝，‎ cos θ＝＝ ‎＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎(2)f(x)＝‎2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin，‎ ‎∵x∈，∴2x－∈，‎ 故sin∈，∴当2x－＝，‎ 即x＝时，f(x)max＝1.‎ ‎14．已知向量m＝，‎ n＝.‎ ‎(1)若m·n＝1，求cos的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(‎2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．‎ 解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2 ‎＝sin ＋＝sin＋，‎ ‎∵m·n＝1，∴sin＝.‎ cos＝1－2sin2＝，‎ cos＝－cos＝－.‎ ‎(2)∵(‎2a－c)cos B＝bcos C，‎ 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.‎ ‎∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.‎ ‎∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.‎ ‎∴＜＋＜，sin∈.‎ 又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.‎ 故函数f(A)的取值范围是.‎