高考数学专题复习练习第8讲 曲线与方程 7页

第8讲 曲线与方程 一、选择题 ‎1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 解析 设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，‎ 所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.‎ 由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．‎ 答案　B ‎2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)．‎ A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 解析　由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.‎ 答案　D ‎3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 (　　)．‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ 解析　M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，‎ ‎∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案　D ‎4．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)．‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ 解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.‎ 答案　D ‎5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x2－y2＝9(x≥0)‎ B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)‎ C．y2－x2＝9(y≥0)‎ D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)‎ 解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，‎ 即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．‎ 答案　B ‎6．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，||‎ 为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为 (　　)．‎ A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1‎ C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1‎ 解析　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴ 据题意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．‎ 解析 设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．‎ 答案 ＋＝1(y≠0)‎ ‎8. 如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为________．‎ 解析　由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax.‎ 答案　y2＝4ax ‎9．如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，点M 在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．‎ 解析　过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.‎ 答案　y2＝x－ ‎10. 曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.‎ 其中，所有正确结论的序号是________．‎ 解析 ①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a2；③三角形的面积S△F‎1F2P2≤，很显然 S△F‎1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正确．‎ 答案 ②③‎ 三、解答题 ‎11.如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且· ＝·.求动点P的轨迹C的方程．‎ 解 法一：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，‎ 由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1， y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.‎ 法二：由·＝·，‎ 得·(＋)＝0，∴(－)·(＋)＝0，‎ ‎∴2－2＝0.∴||＝||.‎ ‎∴点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y2＝4x.‎ ‎12．设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：‎ ‎(1)动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)||的最大值，最小值．‎ 解　(1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.‎ 则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ P(x，y)是AB的中点，‎ 则由 消去k得4x2＋y2－y＝0.‎ 当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.‎ ‎(2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤ 而|NP|2＝2＋2＝2＋ ‎＝－32＋，‎ ‎∴当x＝－时，||取得最大值，‎ 当x＝时，||取得最小值.‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)经过点A，且点F(0，－1)为其一个焦点．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设随圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．‎ 解　(1)根据题意可得可解得 ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)为直线y＝4上一点(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为y＝x＋2，直线PA2方程为y＝x－2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得 点N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y＝4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x0＝1时，直线MN的方程为y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM＝＝＝，直线BN的斜率kBN＝＝＝，∴kBM＝kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0，1)，‎ 又∵F(0，－1)，B(0,1)是椭圆E的焦点，‎ ‎∴△FMN周长为|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，为定值．‎ ‎14．已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．‎ ‎(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，‎ 即(x＋)(x－)＋y·y＝0.‎ 化简得＋y2＝1，∴Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，‎ 由于直线与椭圆有两个不同的交点，‎ ‎∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ①‎ ‎(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，‎ 从而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－，‎ 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.‎ 则－＝－，即‎2m＝3k2＋1， ②‎ 将②代入①得‎2m>m2，解得00，解得m>，‎ 故所求的m的取值范围是.‎ ‎(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，‎ ‎∴AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1