高考数学专题复习练习：9-6 专项基础训练 8页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2015·广东)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　　　　　B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【解析】 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2．(2016·课标全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1，3) B．(－1，)‎ C．(0，3) D．(0，)‎ ‎【解析】 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，‎ ‎∴①‎ 或②‎ 由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②无解．故选A.‎ ‎【答案】 A ‎3．(2016·广东茂名二模)已知双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D.＋1‎ ‎【解析】 ∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.‎ ‎∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin 60°＝c，由双曲线的定义有：|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，∴离心率e＝＝＝＋1，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎4．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意知a＝，b＝1，c＝，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，‎ ‎∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．‎ ‎∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，‎ 即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，‎ ‎∴－y＝1，即x＝2＋2y，‎ ‎∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎5．(2017·安徽江南十校3月联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎【解析】 F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2015·北京)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝‎ ‎________．‎ ‎【解析】 双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.‎ ‎【答案】 ‎7．(2016·福建漳州二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1，0)，且P与点F1关于直线y＝－对称，则双曲线的方程为________．‎ ‎【解析】 设点A(1，0)，因为△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1，0)，则|PF1|－|PF2|＝|AF1|－|AF2|，所以2a＝(c＋1)－(c－1)，则a＝1.因为点P与点F1关于直线y＝－对称，所以∠F1PF2＝，且＝＝b，结合|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝4＋4b2，可得b＝2.所以双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎【答案】 x2－＝1‎ ‎8．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．‎ ‎【解析】 由OA、OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝2，根据c2＝2a2可得a＝2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎9．(2016·山东)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ ‎【解析】 由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.‎ 因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，‎ 又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，‎ 解得e＝2，或e＝－(舍去)．‎ ‎【答案】 2‎ ‎10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.‎ 故C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又·>2，得x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，解得0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0)∪(0，1)‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－，0)∪(0，)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎【解析】 由题作出图象如图所示．‎ 由－＝1可知A(a，0)，F(c，0)．‎ 易得B，C.‎ ‎∵kAB＝＝，∴kCD＝.‎ ‎∵kAC＝＝，∴kBD＝－.‎ ‎∴lBD：y－＝－(x－c)，‎ 即y＝－x＋＋，‎ lCD：y＋＝(x－c)，‎ 即y＝x－－.‎ ‎∴xD＝c＋.∴点D到BC的距离为.‎ ‎∴b2，∴0<<1.‎ ‎∴0<<1.∵该双曲线渐近线斜率为k＝±，∴其取值范围为(－1，0)∪(0，1)．‎ ‎【答案】 A ‎12．(2016·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎【解析】 方法一 由MF1⊥x轴，可得M，‎ ‎∴|MF1|＝.由sin∠MF2F1＝，可得cos∠MF2F1＝＝，又tan∠MF2F1＝＝，∴＝，∴b2＝ac，∵c2＝a2＋b2⇒b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0⇒e2－e－1＝0，∴e＝.‎ 故选A.‎ 方法二 由MF1⊥x轴，得M，∴|MF1|＝，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝2a＋，又sin∠MF2F1＝＝＝⇒a2＝b2⇒a＝b，‎ ‎∴e＝＝.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎13．(2017·山东东营模拟)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠CBA＝，若双曲线Γ以AB为实轴，且过点C，则Γ的焦距为________．‎ ‎【解析】 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．‎ 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则由题意，2a＝4，a＝2.‎ 在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠CBA＝，‎ 故C的横坐标为－＝－4，纵坐标为BC＝6.‎ 又因为双曲线过点C，则－＝1，解得b2＝12，因此c2＝a2＋b2＝16，c＝4.‎ 则Γ的焦距为8.‎ ‎【答案】 8‎ ‎14．(2016·福建厦门一中期中)已知点A(2，4)在抛物线y2＝2px上，且抛物线的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ‎________．‎ ‎【解析】 ∵点A(2，4)在抛物线y2＝2px上，∴16＝4p，即p＝4.‎ ‎∴抛物线的准线方程为x＝－2.‎ 又抛物线的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，∴c＝2，而e＝＝2，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3.‎ ‎∴该双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎【答案】 x2－＝1‎ ‎15．(2017·甘肃兰州诊断)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ ‎【解析】 (1)依题意有＝，c－＝，‎ ‎∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，‎ ‎∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，‎ ‎∴双曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)证明 设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，‎ 由得2x2－2mx－m2－3＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，‎ 又∵·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，‎ ‎∴m＝0(舍)或m＝2，‎ ‎∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，‎ ‎∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，‎ ‎∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，‎ ‎∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，‎ ‎∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎