2019-2020学年福建省厦门第六中学高一3月月考数学试题（解析版） 12页

‎2019-2020学年福建省厦门第六中学高一3月月考数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据诱导公式化角，再根据两角和正弦公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2．已知中，则等于（ ）‎ A．60°或120° B．30° C．60° D．30°或150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由正弦定理得 ‎【考点】正弦定理 ‎3．已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 （ ）‎ A．10 km B． km C． km D． km ‎【答案】D ‎【解析】直接利用余弦定理求出A，C两地的距离即可．‎ ‎【详解】‎ 因为A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，‎ 则A，C两地的距离为：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcos∠ABC＝102+202﹣2700．‎ 所以AC＝10km．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．‎ ‎4．已知，且，则等于（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件可先求出，然后再利用两角和的正切三角函数公式可解.‎ ‎【详解】‎ 解析：由，且，得，故，∴． 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的关系，两角和的正切公式的应用,属于基础题.‎ ‎5．在中，角的对边分别为，且，则的形状为(　　).‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】用降幂公式化，化简后再由余弦定理用三边表示出来，变形后可得三角形形状．‎ ‎【详解】‎ ‎，∴，‎ ‎∴，化简得，‎ ‎∴是直角三角形．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理．本题较易，属于基础题型．‎ ‎6．若，则化简的结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，所以，再由正弦的二倍角公式可得，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以，‎ 则=，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦的二倍角公式及确定角的正弦值与余弦值的大小关系，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎7．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力.‎ ‎8．如图，在中，，点在边上，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，则可得CD.‎ ‎【详解】‎ 在中，由余弦定理可得.‎ 又，故为直角三角形，故.‎ 因为，且为锐角，故.‎ 由 利用正弦定理可得，代值可得，‎ 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，属于综合基础题.‎ 二、多选题 ‎9．已知向量，，设函数 ‎，则下列关于函数的性质的描述正确的是 （ ）‎ A．的最大值为 B．的周期为 C．的图象关于点对称 D．在上是增函数 ‎【答案】ABD ‎【解析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数，根据性质判断.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 当，时，的最大值为，选项A描述准确；‎ 的周期,选项B描述准确；‎ 当时，，所以的图象关于点对称，选项C描述不准确；‎ 当时，，所以在上是增函数，选项D描述准确.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.‎ ‎10．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 ‎【答案】ACD ‎【解析】由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D.‎ ‎【详解】‎ 解：由，可设，，，，‎ 根据正弦定理可知，选项A描述准确；‎ 由为最大边，可得，‎ 即为锐角，选项B描述不准确；‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，，可得，选项C描述准确；‎ 若，可得，‎ 外接圆半径为，选项D描述准确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.‎ 三、填空题 ‎11．若，且为第三象限角，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系算出再利用两角和的正弦公式，即可算出的值；是第三象限的角，‎ ‎.‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系 ‎12．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由，整理得，即，，为内角，或，因为ΔABC为锐角三角形，，故答案为.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎13．一艘船以每小时的速度向东行驶，船在处看到一灯塔在北偏东，行驶小时后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设过点的南北方向直线与直线交于点，且，结合题中数据在中算出，然后在中算出，根据，建立关于的方程解出，最后中利用三角函数的定义加以计算，即可算出船与灯塔的距离.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，在中，设，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，‎ 即，解得.‎ 由此可得中，.‎ 此时的船与灯塔的距离为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在直角三角形中三角函数的定义和方位角的概念和两角和差正切和正弦值解三角形，属于中档题.‎ ‎14．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，‎ 在上，，‎ 若在上的值域为，则，‎ ‎，求得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题.‎ 四、解答题 ‎15．已知均为锐角.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】首先根据的大小，求得的值.‎ ‎（1）利用的二倍角公式，求得的值.‎ ‎（2）利用，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于为锐角，所以，所以，‎ ‎.‎ ‎（1）由二倍角公式得，，由于，所以.‎ ‎（2）由.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16．如图，在平面四边形中，，，的面积为．‎ ‎⑴求的长；‎ ‎⑵若，，求的长．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长；‎ ‎（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长．‎ ‎【详解】‎ ‎⑴∵，，的面积为 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴由余弦定理得 ‎∴ ‎ ‎⑵由（1）知中，，‎ ‎∴‎ ‎∵,∴ ‎ 又∵ ， ‎ ‎∴在中，由正弦定理得 即,∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎17．设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）对进行化简，得到正弦型函数，然后根据的范围，求出的范围，得到的值域. （Ⅱ）由得到的值，根据和正弦定理得到的值，再由求出，根据和正弦定理，得到，由面积公式求出的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴函数的值域为 ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，即．‎ 由，由正弦定理，∵∴，∴．‎ ‎∵∴ ‎ ‎∴，∵，∴‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，求正弦型函数的值域，正弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.‎