【数学】江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一上学期开学考试数学试卷（理） 9页

江西省赣州市崇义县崇义中学2019-2020学年高一上学期 开学考试数学（理）‎ 一、单选题（每题5分，共60分)‎ ‎1．已知向量，且，则m=( )‎ A．−8 B．−6 C．6 D．8‎ ‎2．如图，已知，，，则（ ） A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3．不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为　　‎ A．16 B．9 C．5 D．4‎ ‎5．已知向量，点，，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ）‎ A．48里 B．24里 C．12里 D．6里 ‎7．已知为等比数列,,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知等差数列、，其前项和分别为、，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若 ‎，则的形状是（）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎10．正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（ ）‎ A．2018 B．4036 C．2019 D．4038‎ ‎12．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共20分)‎ ‎13．设等比数列的前n项和为，若，则为________.‎ ‎14．不等式的解集是__________．‎ ‎15．不等式的解集为，则实数的取值范围为________.‎ ‎16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. ‎ 三、解答题（17题10分，其他12分，共70分)‎ ‎17．设向量满足,且.‎ ‎(1)求与的夹角;‎ ‎(2)求的大小.‎ ‎18．已知等差数列满足，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设是等比数列的前项和，若，，求．‎ ‎19．在中，角，，的对边分别是，，，若，，成等差数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎20．已知数列满足.‎ ‎（1）证明数列为等差数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎21．为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为200米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点为线段向半圆外作等腰直角三角形（为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示．‎ ‎（1）若时，与出入口的距离为多少米？‎ ‎（2）设计在什么位置时，公园的面积最大？‎ ‎22．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点.已知AB=3米，AD=2米.‎ ‎ （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围；‎ ‎（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小，并求出最小面积.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1．D2．D3．D4．A5．C6．C7．D8．A9．．C10．D11．C12．A ‎11、∵正数数列是公比不等于1的等比数列，且 ‎∴，即.∵函数 ‎∴‎ 令，则 ‎∴‎ ‎∴故选C.‎ ‎12∵，，‎ 可得：， ，解得， ∵， ∴由余弦定理可得 ∵由， ，得， ∴，即． ∴周长 ．故选A．‎ 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎16、试题分析:由题设可知在中,,由此可得 ‎,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)设与的夹角为θ.由已知得,即,‎ 因此,于是,故 ,即与的夹角为.‎ ‎(2).‎ ‎18．解：(I)设等差数列的公差为，∵．‎ ‎∴，，‎ 解得，， ∴．‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，‎ 联立解得，，‎ ‎∴，或．‎ ‎19．解：（1）∵，，成等差数列,∴，‎ 由正弦定理，，，为外接圆的半径，‎ 代入上式得：，‎ 即.‎ 又，∴，即.‎ 而，∴，由，得.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，又，，∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎20．解：（1）当时，；‎ 当时，由①；‎ 得②，‎ ‎①-②得，‎ 当时符合，即，‎ 则，所以数列为等差数列.‎ ‎（2）由题可知.‎ 所以③，‎ ‎④，‎ ‎③-④得，‎ 所以.‎ ‎21．解：（1）设则在中在中则米 ‎（2）如图，设∠AOB＝α，则AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosα＝50000﹣40000cosα，‎ 又12500﹣10000cosα，又200×100sinα＝10000sinα，‎ ‎∴S四边形OACB＝S△ABC+S△AOB＝12500﹣10000cosα+10000sinα＝10000（sinα﹣cosα）+12500‎ ‎＝10000sin（）+12500，‎ ‎∴当sin（）＝1，即时，四边形OACB面积最大为（1000012500）m2．‎ ‎22．解：（1）（），则由，得，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ 又，所以，解得，或，‎ 所以的长度的取值范围为；‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以当的长度是时，矩形的面积最小，最小值为．‎