云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题 14页

陆良联中2022届高一年级下学期入学考试 数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数不等式的解法，先化简集合A，B，再利用交集的定义求解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及指数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由三视图知，该几何体是半圆柱，且其底面是以为半径的半圆，高为，底面积为，故该几何体的体积为，故选B.‎ 考点：1.三视图；2.简单几何体的体积.‎ ‎3.下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 根据一次函数的性质判断. B.根据二次函数的选择判断.C. 根据反比例函数的性质判断.D. 根据分段函数的性质判断.‎ ‎【详解】A. 根据一次函数的性质知，在R上为增函数，故错误. ‎ B.因为，在上是减函数，在上为增函数，故错误.‎ C. 因为，在上是增函数，在上为增函数，故错误.‎ ‎ ‎ D. 因为，在上是增函数，在上为减函数，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性，还考查了转化，理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的定义域是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数非负可得出关于 的不等式，再利用指数函数的单调性可解得函数的定义域.‎ ‎【详解】要是函数有意义须满足，即，解得，‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.函数（且）的图象恒过的定点为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数过定点，令求解.‎ ‎【详解】因为函数过定点，‎ 令，解得，而，‎ 所以的图象恒过的定点为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎6.二次函数的零点个数是（ ） ‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的零点与相应方程的根的关系，利用判别式求解.‎ ‎【详解】已知二次函数，‎ 因为，所以二次函数有2个零点.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数是偶函数，那么为（ ）．‎ A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是偶函数，得到， ，再利用奇偶性的定义求解.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，‎ 所以， ，‎ 因为，‎ 所以是奇函数.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎8.已知，，则 A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，所以又，因此c>a>b，选D.‎ ‎9.函数的图象是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 去掉绝对值，结合图象利用定义域求解.‎ ‎【详解】因为，其定义域为，‎ 故函数的图象为C选项中的图象.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数为奇函数，则等于（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，根据定义域化简函数，然后根据函数为奇函数，利用奇函数的定义求解.‎ ‎【详解】已知函数，‎ 所以，解得，所以函数的定义域为，‎ 所以，‎ 又因为为奇函数，所以，即，‎ 即，解得，则，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.如果一个函数同时满足：‎ ‎（1）定义域为；‎ ‎（2）任意，若，则；‎ ‎（3）任意，若，，则可以是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本函数的性质一一验证即可.‎ ‎【详解】（1）满足定义域为的，有A，B，C；‎ ‎（2）因为任意，当时，，所以为奇函数，有A，C满足；‎ ‎（3）因为任意，当时，，所以为增函数，有C满足.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本函数的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若方程有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）．‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将有两个不等的实根，转化为与的图象有两个交点求解.‎ ‎【详解】因为有两个不等的实根，‎ 所以与的图象有两个交点，‎ 当时，是减函数，所以，‎ 当时，是减函数，所以，‎ 所以实数的取值范围为．‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.求值：______．‎ ‎【答案】（或者）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数和对数的运算性质求解.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数和指数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎14.已知集合，，若，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，再根据，利用数轴求解.‎ ‎【详解】已知，，‎ 因为，所以，所以.‎ 所以实数的取值范围是．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎15.已知定义在上的奇函数满足，则的值为______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据满足，得到的最小正周期为4，则，再根据是上的奇函数求解.‎ ‎【详解】因为满足，‎ 所以的最小正周期为4，‎ 所以，‎ 又因为是上的奇函数，‎ 所以，‎ 所以的值为0.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16.求值：‎ ‎（1）已知集合，，，，求，，的值．‎ ‎（2）已知，求实数的值．‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，得到3是方程的根，有，解得．得到，再根据，，得到．从而3是方程唯一的实数根求解.；‎ ‎（2）利用对数的换底公式求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以3是方程的根，则，解得，所以，‎ 又因为，，得，则．‎ 所以3是方程唯一的实数根，‎ 所以，解得，．‎ 综上所述：，，；‎ ‎（2）∵，∴，∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算和对数运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎17.（1）设函数，若函数为偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）已知函数，是否存在实数使函数为奇函数.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在实数使得为奇函数．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据为偶函数，得到，则，对恒成立求解；‎ ‎（2）根据的定义域为，若要为奇函数，则求解.‎ ‎【详解】（1）∵为偶函数，∴，‎ ‎∴，即对恒成立，‎ ‎∴．‎ ‎（2）因为的定义域为，若要为奇函数，则，‎ 即，解得：，‎ 经检验，符合题意.‎ ‎∴存在实数使得为奇函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.已知幂函数的图象过点，且．‎ ‎（1）试求出函数的解析式；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（1）；（2）是区间上的单调递增函数．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据图象过点，由求解.‎ ‎（2），定义域为，利用单调性的定义求解.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 因为图象过点，所以，∴，‎ 函数的解析式为；‎ ‎（2），定义域为，‎ 设，则．‎ ‎∵，∴，又，∴，‎ ‎∴是区间上的单调递增函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的解析式以及单调性的定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值和最小值；‎ ‎(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f(x)min＝－10，f(x)max＝26；（2）(－∞，－10].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得，f(x)＝4x－2·2x＋1－6，令t=2x，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解 （2）由题意可得，a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min恒成立，结合（1）可求 试题解析：‎ ‎(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．‎ 令t＝2x，∵0≤x≤3，∴1≤t≤8.‎ 则h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．‎ 当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．‎ ‎∴f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.‎ ‎(2)∵f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，‎ ‎∴a≤f(x)min恒成立．‎ 由(1)知f(x)min＝－10，∴a≤－10.‎ 故a的取值范围为(－∞，－10]．‎ ‎20.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段，其中．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．‎ ‎（Ⅰ）试求的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）当时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得的函数关系式.‎ ‎（II）利用分段函数解析式解不等式，由此求得学习效果最佳的时间段.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，设，过点代入得，则 ‎，‎ 当时，设，过点、，‎ 得，即，则函数关系式.‎ ‎（Ⅱ）由题意，或，.‎ 得或，∴.则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎21.已知二次函数满足（），且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程有区间上有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设（）代入得对于恒成立，列出方程，求得的值，即可求解函数的解析式；（2）由，根据函数在上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数的取值范围；（3）由方程得，令，即要求函数在上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）设（）代入得 对于恒成立，故，‎ 又由得，解得，，，所以；‎ ‎（2）因为，‎ 又函数在上是单调函数，故或，‎ 解得或，故实数的取值范围是；‎ ‎（3）由方程得，‎ 令，，即要求函数在上有唯一零点，‎ ‎①，则，代入原方程得或3，不合题意；‎ ‎②若，则，代入原方程得或2，满足题意，故成立；‎ ‎③若，则，代入原方程得，满足题意，故成立；‎ ‎④若且且时，由得，‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．‎