- 313.16 KB
- 2021-06-24 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
§ 2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方
程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.
1.双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双
曲线.
平 面 内 与 两 个 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 差 的 绝 对 值 等 于 |F1F2| 时 的 点 的 轨 迹 为
________________________________________________________________________.
平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________.
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点 F1 、F2 叫做__________________,两焦点间的距离叫做
__________________.
2.双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是______________________,焦点 F1__________,
F2__________.
(2)焦点 在 y 轴上 的双曲 线的标准 方程是________________,焦 点 F1__________,
F2__________.
(3)双曲线中 a、b、c 的关系是________________.
一、选择题
1.已知平面上定点 F1、F2 及动点 M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a 为常数),命题乙:M
点轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若 ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是( )
A.双曲线,焦点在 x 轴上
B.双曲线,焦点在 y 轴上
C.椭圆,焦点在 x 轴上
D.椭圆,焦点在 y 轴上
3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A.x2-y2
3
=1 B.x2
3
-y2=1
C.y2-x2
3
=1 D.x2
2
-y2
2
=1
4.双曲线x2
m
- y2
3+m
=1 的一个焦点为(2,0),则 m 的值为( )
A.1
2 B.1 或 3
C.1+ 2
2
D. 2-1
2
5.一动圆与两圆:x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线 B.圆
C.双曲线的一支 D.椭圆
6.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段
PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是( )
A.x2
4
-y2=1 B.x2-y2
4
=1
C.x2
2
-y2
3
=1 D.x2
3
-y2
2
=1
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
8.已知方程 x2
1+k
- y2
1-k
=1 表示双曲线,则 k 的取值范围是________.
9.F1、F2 是双曲线x2
9
-y2
16
=1 的两个焦点,P 在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2
=________________________________________________________________________.
三、解答题
10.设双曲线与椭圆x2
27
+y2
36
=1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 4,
求此双曲线的标准方程.
11.在△ABC 中,B(4,0)、C(-4,0),动点 A 满足 sin B-sin C=1
2sin A,求动点 A 的轨迹
方程.
能力提升
A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞)
C.[-7
4
,+∞) D.[7
4
,+∞)
13.已知双曲线的一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中
点的横坐标为-2
3
,求双曲线的标准方程.
1.双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得.
2.和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解,也要和双曲线的定义相
结合.
3.直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求),利用韦达定理,弦长公式
等解决.
§2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
知识梳理
1.(1)|F1F2| 以 F1,F2 为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距
2.(1)x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0) (-c,0) (c,0)
(2)y2
a2
-x2
b2
=1(a>0,b>0) (0,-c) (0,c)
(3)c2=a2+b2
作业设计
1.B [根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲 乙,
只有当 2a<|F1F2|且 a≠0 时,其轨迹才是双曲线.]
2.B [原方程可化为x2
b
a
+y2=1,因为 ab<0,所以b
a<0,所以曲线是焦点在 y 轴上的双曲
线,故选 B.]
3.A [∵双曲线的焦点在 x 轴上,
∴设双曲线方程为x2
a2
-y2
b2
=1 (a>0,b>0).
由题知 c=2,∴a2+b2=4.①
又点(2,3)在双曲线上,∴22
a2
-32
b2
=1.②
由①②解得 a2=1,b2=3,
∴所求双曲线的标准方程为 x2-y2
3
=1.]
4.A [∵双曲线的焦点为(2,0),在 x 轴上且 c=2,
∴m+3+m=c2=4.∴m=1
2.]
5.C [由题意两定圆的圆心坐标为 O1(0,0),O2(4,0),设动圆圆心为 O,动圆半径为 r,
则|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,
∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.]
6.B [设双曲线方程为x2
a2
-y2
b2
=1,因为 c= 5,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以x2
a2
- y2
5-a2
=1.由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( 5,4).代入双曲线方程得 5
a2
- 16
5-a2
=1,解得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为 x2-y2
4
=1.故选 B.]
7.2
解析 ∵||PF1|-|PF2||=4,又 PF1⊥PF2,|F1F2|=2 5,
∴|PF1|2+|PF2|2=20,∴(|PF1|-|PF2|)2
=20-2|PF1||PF2|=16,∴|PF1|·|PF2|=2.
8.-10.所以(k+1)(k-1)<0.
所以-10,b>0),由题意知 c2=36-27=9,
c=3.
又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为± 15,于是有
42
a2
-± 152
b2
=1,
a2+b2=9,
解得 a2=4,
b2=5.
所以双曲线的标准方程为y2
4
-x2
5
=1.
方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15,4),
又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3).
所以 2a=| ± 15-02+4+32-
± 15-02+4-32|=4,
即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5,
所以双曲线的标准方程为y2
4
-x2
5
=1.
11.解 设 A 点的坐标为(x,y),在△ABC 中,由正弦定理,
得 a
sin A
= b
sin B
= c
sin C
=2R,代入 sin B-sin C=1
2sin A,
得|AC|
2R
-|AB|
2R
=1
2·|BC|
2R
,又|BC|=8,
所以|AC|-|AB|=4.
因此 A 点的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a=4,2c=8,所以 a
=2,c=4,b2=12.
所以 A 点的轨迹方程为x2
4
-y2
12
=1 (x>2).
12.B
[由 c=2 得 a2+1=4,
∴a2=3,
∴双曲线方程为x2
3
-y2=1.
设 P(x,y)(x≥ 3),
13.解 设双曲线的标准方程为x2
a2
-y2
b2
=1,
且 c= 7,则 a2+b2=7.①
由 MN 中点的横坐标为-2
3
知,
中点坐标为 -2
3
,-5
3 .
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由
x21
a2
-y21
b2
=1,
x22
a2
-y22
b2
=1,
得 b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵
x1+x2=-4
3
y1+y2=-10
3
,且y1-y2
x1-x2
=1,
∴2b2=5a2.②
由①,②求得 a2=2,b2=5.
∴所求双曲线的标准方程为x2
2
-y2
5
=1.
相关文档
- 【数学】2020届一轮复习北师大版 2021-06-2420页
- 高考数学一轮—35曲线方程及圆锥曲2021-06-2425页
- 【数学】2020届一轮复习人教B版(文)42021-06-246页
- 河北省衡水市武邑中学2019-2020学2021-06-2415页
- 【数学】2018届一轮复习人教A版专2021-06-248页
- 【数学】2021届一轮复习人教A版平2021-06-244页
- 【数学】2020届一轮复习人教B版恒2021-06-2433页
- 【数学】2018届一轮复习北师大版三2021-06-244页
- 【数学】四川省成都市新都一中20192021-06-2415页
- 山西省长治市第二中学2019-2020学2021-06-247页