2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第六节　对数与对数函数 16页

www.ks5u.com 第六节　对数与对数函数 最新考纲 考情分析 ‎1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．‎ ‎2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．‎ ‎3．体会对数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.‎ ‎1.以选择、填空题的形式直接考查对数的运算性质．‎ ‎2．考查以对数函数为载体的复合函数的图象和性质．‎ ‎3．以比较大小或探求对数函数值域的方式考查对数函数的单调性.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　　　　对数与对数运算 ‎1．对数的定义 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．‎ ‎2．对数的性质与运算 ‎(1)对数的性质(a>0且a≠1)：‎ ‎①loga1＝0；②logaa＝1；＝N.‎ ‎(2)对数的换底公式：‎ logab＝(a，c均大于零且不等于1，b>0)．‎ ‎(3)对数的运算法则：‎ 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(M·N)＝logaM＋logaN，‎ ‎②loga＝logaM－logaN，‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R)．‎ 知识点二　　　　　　对数函数的图象与性质 ‎1．对数函数的图象与性质 ‎2.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)‎ ‎(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)‎ ‎2．小题热身 ‎(1)已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　B　)‎ A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c ‎(2)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　D　)‎ A．a>1，c>1‎ B．a>1,01‎ D．00且a≠1)，则实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ 解析：当01时，loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　对数的运算 ‎【例1】　(1)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)‎ A．24　　　　B．‎16　‎　　　C．12　　　　D．8‎ ‎(2)计算：log23·log38＋＝________.‎ ‎(3)设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)5　(3) 方法技巧 ‎(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数运算法则化简合并．‎ ‎(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．‎ ‎(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．‎ ‎1．计算：＋log2＝－2.‎ 解析：原式＝|log25－2|＋log25－1＝log25－2－log25＝－2.‎ ‎2．若正数a，b满足3＋log‎2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为72.‎ 解析：根据题意设3＋log‎2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)＝k，‎ 所以有a＝2k－3，b＝3k－2，a＋b＝6k，‎ ＋＝＝＝72.‎ 考点二　对数函数的图象及应用 ‎【例2】　(1)函数y＝lg|x－1|的图象是(　　)‎ ‎(2)当01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.‎ 解法2：因为04x>1，所以01时，显然不成立；‎ 当00且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　B　)‎ 解析：因为lga＋lgb＝0，所以lgab＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确．‎ ‎2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是a>1.‎ 解析：‎ 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．‎ 考点三　对数函数的性质及应用 命题方向1　　　　　　比较大小 ‎【例3】　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝‎0.20.3‎，则(　　)‎ A．a1，c＝‎0.20.3‎∈(0,1)，∴alog24＝2，b＝log381，c＝‎0.30.2‎<1，所以c0，又∵0f(b)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)‎ C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)‎ ‎2．(方向2)已知函数f(x)在区间[－2,2]上单调递增，若f(log‎2m)0，可得x2－2x<0，解得0b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c ‎【答案】　D ‎【素养解读】　‎ 利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”的大小关系，以便比较大小．‎ ‎1．若a＝－0.3，b＝log52，c＝，则(　C　)‎ A．a1；结合对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log520，则，，的大小关系不可能是(　　)‎ A.<< B.<< C.＝＝ D.<< ‎【解析】　解法1：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时选项C正确．‎ 取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<< ‎，此时选项A正确．‎ 取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知<<，此时选项D正确．‎ 综上，利用排除法可知本题应选B.‎ 解法2：设log2x＝log3y＝log5z＝k，‎ 则x＝2k，y＝3k，z＝5k，‎ 所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.‎ 又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论．‎ 若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确．‎ 若03k－1>5k－1，所以<<，所以选项D有可能正确．‎ 若k>1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1<3k－1<5k－1，所以<<，所以选项A有可能正确．综上，利用排除法可知选B.‎ ‎【答案】　B ‎【素养解读】　解法1是在特例的基础上，结合排除法解答；解法2借助设元变形， 先将目标问题等价转化为考查2k－1,3k－1,5k－1的大小，再对幂函数f(x)＝xk－1的单调性加以讨论分析．特别提醒——幂函数y＝xa在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若a>0，则单调递增；②若a＝0，则为常数函数；③若a<0，则单调递减．‎ 总之，结合例题解析，希望能够帮助同学们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能．如此，那么有关指数式、对数式的比较大小问题，我们真的可以说：So easy!‎ ‎2．(2020·济南模拟)若log2x＝log3y＝log5z<－1，则(　B　)‎ A．2x<3y<5z B．5z<3y<2x C．3y<2x<5z D．5z<2x<3y 解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t<－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1,3y＝3t＋1,5z＝5t＋1.又t<－1，∴t＋1<0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z<3y<2x.‎