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- 2021-06-24 发布
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课时素养评价
九 不等式的性质
(15分钟 30分)
1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 ( )
A.< B.a2>b2
C.> D.a|c|>b|c|
【解题指南】依据不等式的性质或用特殊值法.
【解析】选C.对A,若a>0>b,则>0,<0,
此时>,所以A不成立;
对B,若a=1,b=-2,则a2b,
所以>恒成立,所以C成立;
对D,当c=0时,a|c|=b|c|,所以D不成立.
2.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A.a>b2 B.>
C.< D.a2>2b
【解析】选A.对于A,因为-11,所以a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.
3.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.
即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不一定成立,如a=6,b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.
【补偿训练】
“>1”的一个充分不必要条件是 ( )
A.x>y B.x>y>0
C.xy>0时,必有>1,
而>1⇔>0⇔x>y>0或xy>0是>1的充分不必要条件.
4.已知x≠0,则(x2+1)2与x4+x2+1的大小关系为 .
【解析】因为(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2,
又x≠0,所以x2>0,
所以(x2+1)2-(x4+x2+1)>0,
故(x2+1)2>x4+x2+1.
答案:(x2+1)2>x4+x2+1
5.已知a>b>0,c.
【证明】因为c-d>0,
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<<,
又因为e<0,所以>.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.设xax>a2
C.x2a2>ax
【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2.
【光速解题】选B.本题可以利用特殊值法解答,由题意,可以令x=-2,a=-1,则x2=4,ax=2,a2=1,直接得出答案.
2.已知a>b>c,则++的值 ( )
A.为正数 B.为非正数
C.为非负数 D.不确定
【解析】选A.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0,>0,<,所以+>0,所以++>0,所以++的值为正数.
3.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x0,故ax+by+cz>az+by+cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx|b| D.ab0,所以a+b|b|不成立,C错误;
因为b0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab”“<”或“=”).
【解题指南】尝试利用作差法比较大小.
【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)=(x-1).
因为x<1,所以x-1<0.
又+>0,
所以(x-1)<0.
所以x3-1<2x2-2x.
答案:<
【补偿训练】
若x∈R,则与的大小关系为 .
【解析】因为-==≤0.所以≤.
答案:≤
四、解答题
7.(10分)(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小.
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
【解析】(1)-=
==
=.
因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.
所以>0,即>.
(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.
因为≥0,所以+≥>0,
所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
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