四川省仁寿一中北校区2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 10页

‎ 仁寿一中北校区高一下期入学考试数学试题 ‎ 时间120分钟满分150分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（非选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.在△ABC中，，，O为△ABC的外接圆的圆心，则CO=（ A）‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，，，则（ A ）‎ A. 2019 B. ‎1010 ‎C. 2018 D. 1011‎ ‎3.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（D ）‎ A. a=7，b=3，B=30° B. b=6，，B=45°‎ C. a=10，b=15，A=120° D. b=6，，C=60°‎ ‎4.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？(B）‎ A. 二升 B. 三升 C. 四升 D. ‎五升 ‎6.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且B为锐角，若，，，则b=（D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.在等差数列{an}中，，则的值为（B）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 在△中，若，则等于（ D ）‎ A B C D ‎ ‎9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a=5，b=7，c=8，则A+C=（ B）‎ A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°‎ ‎10.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(D)‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.在正项等比数列{an}中，，数列的前9项之和为（B）‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 15 D. 13‎ ‎12.在△ABC中，（a，b，c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（ B ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 评卷人 得分 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知角α的终边与单位圆交于点。则_____-3/4______.‎ ‎14.正项等比数列{an}中，，，则公比q=____ ___．‎ ‎15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则b=__1__，a=____．‎ ‎16.已知数列{an}满足，则__________.‎ 评卷人 得分 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分 ,第22题12分)‎ ‎17.在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？‎ ‎18. 三个数成等差数列，其比为，如果最小数加上，则三数成等比数列，‎ 那么原三数为什么？‎ ‎19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值.‎ 答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，‎ 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.‎ 由，及余弦定理，得.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.‎ 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，‎ ‎，故 ‎.‎ 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 ‎20.已知数列{an}的前n项和Sn，且；‎ ‎（1）求它的通项an.‎ ‎（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 答案；（1）（2）‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用与关系式，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当也成立，‎ 所以则通项；‎ ‎（2）由（1）可得，-‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎ 所以数列的前项和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎21.设函数．‎ ‎（1）求函数f(x)的最小正周期．‎ ‎（2）求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎（3）设A，B，C为△ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求．‎ 答案：（1）π（2）减区间为，（3）‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．‎ ‎（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间．‎ ‎（3）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得的值．‎ ‎【详解】（1）函数，‎ 故它的最小正周期为．‎ ‎（2）对于函数，令，求得，‎ 可得它的减区间为，．‎ ‎（3）△ABC中，若，．‎ 若，，为锐角，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎22.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，Sn＝2Sn﹣1+n（n≥2）‎ ‎（1）求出a1，a3的值，并证明：数列{an+1}为等比数列；‎ ‎（2）设bn＝log2（a3n+1），数列{}的前n项和为Tn，求证：1≤18Tn＜2．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可令求得的值；再由数列的递推式，作差可得，可得数列为首项为2，公比为2的等比数列；‎ ‎（2）由（1）求得，，再由数列的裂项相消求和，可得，再由不等式的性质即可得证．‎ ‎【详解】（1）当时，，即，∴，‎ 当时，，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ 又∵，，∴，∴，‎ ‎∴数列是首项为，公比为2的等比数列. ‎ ‎（2）由（1）可知，所以，所以，‎ ‎ ，‎ ‎， ‎ ‎,所以,所以,即．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．‎