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- 2021-06-24 发布
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高一6月考数学试卷
一、选择题(每小题5分共70分)
1、下列说法正确的是( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
2、下列命题正确的是( ).
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
3、如图所示,正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A. B. C. D.
4、棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶(-1) D.1∶(+1)
5、某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:)是( )
A. B. C. D.
6、如图所示,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
7、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,面积等于的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8、已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列不正确的是( )
A.平面分正方体所得两部分的体积相等;
B.四边形一定是平行四边形;
C.平面与平面不可能垂直;
D.四边形的面积有最大值.
9、一正四面体木块如图所示,点是棱的中点,过点将木块锯开,使截面平行于棱和,则下列关于截面的说法正确的是( ).
A.满足条件的截面不存在 B.截面是一个梯形 C.截面是一个菱形 D.截面是一个三角形
10、M是正方体的棱的中点,给出下列四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线都平行.其中真命题是
(A)②③④ (B)①③④ (C)①②④ (D)①②③
11、如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
12、点,分别是棱长为2的正方体中棱,的中点,动点在正方形(包括边界)内运动.若面,则的长度范围是( )
A. B. C. D.
13、设,是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,下面四个命题中正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,,则
14、在正方体中,P是侧面上的动点,与垂直,则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共30分)
15、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4,面积为的扇形,则该圆锥的高为__________.
16、如图所示,在正方体中,点是上底面内一动点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比值为_________.
17、已知直三棱柱所有的棱长都相等,D,E分别为棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_______________
18、在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示,平面,四边形,均为等腰梯形,四边形为正方形,,,,点到平面的距离为2,则这个羡除的表面积为 。
19、如图,在正三棱柱中,,,为的中点,是上一点,且由点沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为,的长为________.
20、如图所示,在直角梯形中,,、分别是、上的点,,且(如图①).将四边形沿折起,连接、、(如图②).在折起的过程中,则下列表述:
①平面;
②四点、、、可能共面;
③若,则平面平面;
④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.
高一6月考数学试卷参考答案
1、因为有两个面平行,其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱,所以A,B错误;
因为有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥,所以C错误;
而一个平行于底面的平面截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台,所以棱台各侧棱的延长线交于一点,所以D正确.故选:D.
2、共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,是不能
确定一个平面的,故B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的
一条直线,故C正确;如果两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故D错误.
故选:C
3、,,,
,原图形周长为8.
故选:B.
4、设截后棱锥的高为h,原棱锥的高为H,由于截面与底面相似,所以截面面积与底面面积的比等于相似比的平方,所以有,故本题选C.
5、由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥,如图:
所以该几何体的体积为:.
故选:D
6、∵AB=CB,AD=CD,E为AC中点.
∴AC⊥DE,AC⊥BE,又BE∩DE=E,
∴AC⊥平面EDB.
又AC⊂平面ABC,AC⊂平面ADC,
∴平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE.
选C.
7、该几何体对应的直观图如下图所示
;;
,
,
则面积等于的有3个,故选:C.
8、 对于A:由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等,故A正确;
对于B:因为平面,平面平面,
平面平面,.
同理可证:,故四边形一定是平行四边形,故B正确;
对于C:当为棱中点时,平面,又因为平面,
所以平面平面,故C不正确;
对于D:当与重合,当与重合时的面积有最大值,故D正确.
故选:C.
9、取的中点,的中点,的中点,连接,
易得∥且,∥且,所以∥,,
所以四边形为平行四边形,又平面,平面,由线面平行
的判定定理可知,∥平面,∥平面,即截面为四边形,又
,所以四边形为菱形,所以选项C正确.
10、①中要求过M点作直线与直线都相交,因为是异面直线且垂直,所以该直线有且只有一条,故①正确;又③中过M点所在棱的平面有无数个与直线都相交,故③错误。所以选C
11、根据三视图可知,该几何体的直观图为三棱锥,
如图
可知,点到平面的距离为
所以
故选:D.
12取,中点,, 连接、 .
则∥.∥.又因为 .
所以平面∥平面.
又因为动点在正方形(包括边界)内运动,
所以点的轨迹为线段.
又因为正方体的棱长为2,
所以, .
所以为等腰三角形.
故当点在点或者在点处时,此时最大,最大值为.
当点为中点时,最小,最小值为 .
故选:B.
13、若,,与也可以垂直,如正方体有公共点的三个面,A错;
若,,但不与的交线垂直时,不与垂直,还可以平行,B错;
若,, m与n可能异面,可能平行,C错;
若,,,则,这是面面平行的性质定理,D正确.
故选:D.
14、如图,连接,易证得直线平面.
因为与垂直,且是侧面上的动点,所以点是线段上的动点.
又,所以直线与直线所成的角即.
连接,平面,平面,,
在直角三角形中,设,,
则,因此,
因为,所以当时,取得最小值,最小值为.
故选:B.
15、设圆锥底面圆的半径为,扇形的弧长为,半径为,由已知,,,
解得,所以,,故圆锥的高为.
故答案为:
16、由题意知,点在正视图中的射影在上,
所以正视图是以为底边,为高的三角形,
同理,点在侧视图中的射影在上,
所以侧视图是以为底边,为高的三角形,
因为为正方体,所以,
所以三棱锥的正视图与侧视图的面积比为.
故答案为:1
17、设棱长为,取的中点为,连接,
由分别为的中点,则.
所以为异面直线与所成角.
三棱柱为直三棱柱,所以平面,所以
在中,,
所以
故答案为:.
18、因为平面,平面平面,
根据面面垂直的性质定理,
得点到平面的距离为到的距离,
所以等腰梯形的高为2,
腰,
因为四边形为正方形,且,
等腰梯形的高为,
所以该羡除的表面积为
19、正三棱柱的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为;将三棱柱沿展开,如图所示,设,则,在直角三角形中,,
即,解得,所以.
20、对于命题①,连接、交于点,取的中点、,连接、,如下图所示:
则且,四边形是矩形,且,为的中点,
为的中点,且,且,
四边形为平行四边形,,即,
平面,平面,平面,命题①正确;
对于命题②,,平面,平面,平面,
若四点、、、共面,则这四点可确定平面,则,平面平面,由线面平行的性质定理可得,
则,但四边形为梯形且、为两腰,与相交,矛盾.
所以,命题②错误;
对于命题③,连接、,设,则,
在中,,,则为等腰直角三角形,
且,,,且,
由余弦定理得,,
,又,,平面,
平面,,
,、为平面内的两条相交直线,所以,平面,
平面,平面平面,命题③正确;
对于命题④,假设平面与平面垂直,过点在平面内作,
平面平面,平面平面,,平面,
平面,
平面,,
,,,,,
又,平面,平面,.
,平面,平面,.
,,显然与不垂直,命题④错误.
故答案为:①③.