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- 2021-06-24 发布
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河北省沧州市盐山县盐山中学2019-2020学年高一下学期
学业水平考试数学试题
一、单选题
1.设为等差数列的前项和,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据等差数列的求和公式
化简得,根据等差数列通项公式得
解方程组得
所以选C
2.如图,中,,,,以AC所在直线为轴旋转一周,所得几何体的表面积等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得旋转体为圆锥,底面半径为3,高为4,故它的母线长,
侧面积为,
而它底面积为,
故它的表面积为,故选A.
3.在中,已知的平分线,则的面积( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
为角平分线
,即
则
本题正确选项:D
4.已知不等式的解集是,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵不等式的解集是,
∴是方程的两根,
∴,解得.
∴不等式为,
解得,
∴不等式的解集为.
故选A.
5.圆上到直线的距离为的点共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】圆可化为,
所以圆心为,半径为2,
圆心到直线的距离为:,
所以,
所以圆上到直线的距离为的点共有3个.
故选:C
6.若直线与曲线没有公共点,则实数m所取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
如图,是曲线,它是以为圆心,1为半径的圆的下半部分,
当直线过时,,
当直线与曲线相切时,,(舍去),
由直线方程知是直线的纵截距,
所以直线与曲线没有公共点时,或.
故选B.
7.若点和都在直线上,又点和点,则( )
A. 点和都不在直线上 B. 点和都在直线上
C. 点在直线上且不在直线上 D. 点不在直线上且在直线上
【答案】B
【解析】由题意得:,易得点满足
由方程组得,两式相加得,即点 在直线上,
故选B.
8.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形
(如图).若底面圆的弦所对的圆心角为,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,
则,
,
,
所以依题意可得,
所以.,
故选:A
9.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为,经过1 min后又看到山顶的俯角为,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:)
A. 11.4 km B. 6.6 km C. 6.5 km D. 5.6 km
【答案】C
【解析】在中,
根据正弦定理,
所以:山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km.
故选:C
10.在各项均为正数的等比数列中,公比,若,,数列的前项和为,,则当取最小值时,的值为( )
A. 4 B. 6 C. 4或5 D. 5或6
【答案】C
【解析】∵是等比数列且,,公比,
可得:,,
解得或(舍去),∴,
则,,
则数列的前项和,
,
,
所以或5时,取最小值.
故选:C.
二、多选题
11.在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若 , ,则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】∵,且公比为整数,
∴,,
∴,或(舍去)故A正确,
,∴,故C正确;
∴,故数列是等比数列,故B正确;
而,故数列是公差为lg2的等差数列,故D错误.
故选:ABC.
12.在三角形中,下列命题正确的有( )
A. 若,,,则三角形有两解
B. 若,则一定是钝角三角形
C. 若,则一定是等边三角形
D. 若,则的形状是等腰或直角三角形
【答案】BCD
【解析】因为,,
所以由正弦定理得,
所以角只有一个解,故A错误
由,即
所以,即
所以,所以,故一定是钝角三角形
故B正确
因为
所以
所以,故C正确
因为
所以
所以
因为
所以,所以或
所以或,所以形状是等腰或直角三角形
故选:BCD
三、填空题
13.在数列中,已知,,则=______.
【答案】
【解析】因为,
故可得,
累加可得,又因为,
则,
故可得,
则.
故答案为:.
14.已知三棱锥中,,,,,,则三棱锥的体积是__________.
【答案】
【解析】因为,
所以,
则,
所以,
又因为,即,,平面,
所以平面,
又由于,
所以,
故答案为:
15.已知圆上一动点,定点,轴上一点,则的最小值等于______.
【答案】
【解析】根据题意画出圆,以及点B(6,1)的图象如图,
作B关于x轴的对称点,连接圆心与,则与圆的交点A,即为的最小值,为点(0,2)到点(6,-1)的距离减圆的半径,
即,
故答案为:.
16.设的内角所对的边分别为,且满足,的周长为,则面积的最大值为_________.
【答案】
【解析】因为,故可得
即,整理得,
故可得.
又三角形为直角三角形,故可得
即
解得,当且仅当时取得最大值.
则其面积.
故三角形面积的最大值为.
故答案为:.
四、解答题
17.已知直线经过点(-2,5),且斜率为
(1)求直线的方程;
(2)若直线与平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.
解:(1)由点斜式方程得,,∴.
(2)设的方程为,则由平线间的距离公式得,,
解得:或.
∴或
18.在中,,,分别为内角所对的边,已知,其中为外接圆的半径,,其中为的面积.
(1)求;
(2)若,求的周长.
解:(1)由正弦定理得,,又,
,则.
由,由余弦定理可得,
,又,,
.
(2)由正弦定理得,
又,,
又
.
19.已知数列是以为首项,为公比的等比数列,
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
解:(1)由等比数列通项公式得:
(2)由(1)可得:
20.已知不等式的解集为或.
(1)求;(2)解关于的不等式
解:(1)因为不等式ax2﹣3x+6>4解集为{x|x<1,或x>b},
所以1和b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根,且b>1;
由根与系数关系,得,
解得a=1,b=2;
(2)所求不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0化为x2﹣(2+c)x+2c<0,
即(x﹣2)(x﹣c)<0;
①当c>2时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0的解集为{x|2<x<c};
②当c<2时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0的解集为{x|c<x<2};
③当c=2时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0的解集为∅.
21.已知数列满足.
(1)证明数列为等差数列;
(2)若,求数列的前项和.
解:(1)当时,;
当时,由①;
得②,
①-②得,
当时符合,即,
则,所以数列为等差数列.
(2)由题可知.
所以③,
④,
③-④得,
所以.
22.已知点在圆上运动,且存在一定点,点为线段的中点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点,是否存在实数使得,并说明理由.
解:(1)由中点坐标公式,得
即,.
∵点在圆上运动,
∴,
即,
整理,得.
∴点的轨迹的方程为.
(2)设,,直线的方程是,
代入圆.
可得,
由,得,
且,,
∴
.
.
解得或1,不满足.
∴不存在实数使得.