四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含解析 18页

www.ks5u.com 蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考 数学 考试时间共120分钟，满分150分 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.‎ ‎2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.‎ ‎3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A，B，再求即可 ‎【详解】由题可知 故 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 ‎2.设向量，，若，则（ ）‎ A. 6 B. C. 24 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标关系求解即可 - 18 -‎ ‎【详解】由 故选：D ‎【点睛】本题考查由向量平行的坐标运算求解参数，属于基础题 ‎3.已知函数的图象过定点，且点在角的终边上，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用整体法和函数图像平移法则即可求解 ‎【详解】，令，则此时，则函数过定点，则 故选：A ‎【点睛】本题考查函数过定点的判断，已知终边上的点求三角函数值，属于基础题 ‎4.设，，，则下列结论成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，再结合正弦函数的增减性和函数值域，即可求解 ‎【详解】，因时，为增函数，‎ 故，又，故 故选：C ‎【点睛】本题考查由三角函数诱导公式和的增减性判断函数值的大小，属于基础题 ‎5.函数的单调递减区间为（ ）‎ - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 ‎【详解】由题可知，或，‎ 可看作，则为增函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，根据复合函数的增减性，当时，为减函数 故选：B ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的增减区间判断，属于基础题 ‎6.若为幂函数，则（ ）‎ A. 9 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的性质可求参数和幂函数表达式，将代入即可求解 ‎【详解】为幂函数，则，则，则，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解，属于基础题 ‎7.已知函数的最小正周期为，则（ ）‎ A. 1 B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】D - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由最小正周期求参数，再代值运算即可 ‎【详解】因函数的最小正周期为，则，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查由函数的最小正周期求参数，函数具体值的求解，属于基础题 ‎8.中，为边上一点，且，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以和向量为基底向量，将向量通过向量的加法和减法公式转化为基底向量，即可求解对应参数 ‎【详解】，则，则 故选：C ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于中档题 ‎9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立不等式组且即可求解 ‎【详解】由题可知，解得，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域求法，属于基础题 ‎10.已知函数为偶函数，则函数在上值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为偶函数可得，可求值，再采用整体法求出在的范围，结合函数图像即可求解值域 ‎【详解】因为函数为偶函数，故又，故，‎ 则，当时，令，当时，函数取得最小值，，当时，，故函数的值域为 故选：B ‎【点睛】本题考查由奇偶性求解参数，在给定区间求解函数值域，属于中档题 ‎11.函数的零点个数为（ ）‎ - 18 -‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用构造函数形式，令，采用数形结合法即可求解 ‎【详解】由题可知，，当时，，‎ 令，‎ 令，画出函数图像，如图：‎ 则两函数图像有两交点，故函数的零点个数为2个 故选：B ‎【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题 ‎12.已知函数，若关于的不等式的解集为，且，，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知，由表达式画出函数图像，再分类讨论与函数图像位置关系，结合不等关系即可求解 ‎【详解】易知当，时，，‎ - 18 -‎ 的图象如图所示.‎ 当直线在图中的位置时，，得，‎ 为方程的两根，‎ 即的两根，‎ 故；‎ 而 则，‎ 即，解得，所以；‎ 当直线在图中的位置时，且，得；此时 则，得.‎ 所以，的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若向量，为单位向量，与的夹角为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出模长，再由向量数量积公式求解即可 ‎【详解】由题可知，，‎ - 18 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题 ‎14.已知一个扇形的面积为，弧长为，圆心角为，则函数的单调递增区间为______.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知先求出圆心角，再采用整体代入法即可求解 ‎【详解】由，则，‎ 则，令，解得，‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查扇形弧长域面积公式的基本应用，整体法求解正切函数的单调区间，属于基础题 ‎15.奇函数对任意实数都有成立，且时，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得函数周期为4，则，结合函数为奇函数可得，再由时，即可求解 - 18 -‎ ‎【详解】，‎ 则，‎ 又，，‎ 则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题 ‎16.函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可拆分理解，构造，由对勾函数可得时取得最小值，又当时，也取到最小值，即可求解 ‎【详解】令，由对勾函数性质可知当时，；‎ 因为，当时，，所以当时，取到最小值，，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求下列表达式的值.‎ - 18 -‎ ‎（1）；‎ ‎（2）已知：，.‎ 求：的值.‎ ‎【答案】（1）4；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合对数的运算性质求解即可；‎ ‎（2）由条件判断为第二象限的角，再结合同角三角函数和诱导公式化简求值即可 ‎【详解】（1）原式 ‎（2），，‎ 原式 ‎【点睛】本题考查对数式的化简求值，同角三角函数的基本求法，诱导公式的应用，属于基础题 ‎18.如图，平行四边形的一边在轴上，点，，是上一点，且.‎ - 18 -‎ ‎（1）当时，求点的坐标；‎ ‎（2）连接，当为何值时，.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平行四边形性质可得，结合可得，‎ ‎（1）将代入即可求解；‎ ‎（2）利用，求解关于的一元二次方程即可；‎ ‎【详解】设点，，‎ 又平行四边形，‎ 由，即 ‎，‎ ‎（1）当时，即：，‎ ‎（2），‎ 由，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查由向量的平行与垂直求解对应点坐标和参数问题，属于基础题 ‎19.已知定义在上的函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）当时，判断函数的单调性并加以证明；并求在上有零点时，的取值范围.‎ - 18 -‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）增函数，证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）需进行分类讨论，当时和当时两种情况，结合奇偶函数定义即可判断；‎ ‎（2）结合增函数定义即可求解 ‎【详解】解：（1）当时，，既为奇函数又为偶函数 ‎②当时，为奇函数 证明：‎ 为奇函数 ‎（2）当时，为增函数 证明：任取，‎ 则 ‎，‎ 在上为增函数 在上的值域为：‎ 要使在上有零点，则 ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与增减性的判断与证明，属于中档题 - 18 -‎ ‎20.某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）.‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式，并写出该函数的最小正周期；‎ ‎（2）若利用的图象用图象变化法作的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）‎ 第一步：的图象向右平移_____得到_____的图象；‎ 第二步：的图象（纵坐标不变）______得到_____的图象；‎ 第三步：的图象（横坐标不变）_____得到的图象.‎ ‎【答案】（1）填表见解析； ；；（2）详见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合5点作图法原理即可快速求解，可判断函数周期为，即，当时，函数值为0，可判断为正弦函数，再将具体点坐标代入即可求出对应值；‎ ‎（2）由（1）知，，结合函数图像平移法则即可求解；‎ ‎【详解】1）‎ - 18 -‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ 由对应关系可知，函数最小正周期为，故，，将代入可得，又，故，故函数表达式为 ‎，最小正周期 ‎（2）第一步：的图象向右平移（个单位长度）得到的图象.‎ 第二步：的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的倍得到的图象.‎ 第三步：的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到的图象 ‎【点睛】本题考查五点代入法的具体应用，函数解析式的求法，函数图像平移法则的具体应用，属于中档题 ‎21.已知：向量，.‎ ‎（1）当，时，求及与夹角的余弦值；‎ ‎（2）若给定，，函数的最小值为，求的表达式.‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ ‎（1）当，时，求得，，结合模长和夹角公式即可求解；‎ ‎（2）先化简得，采用换元法令，设，再分类讨论和时对应表达式，再结合对称轴与定义域关系可进一步求解；‎ ‎【详解】（1）当，时，，‎ ‎，‎ ‎（2）‎ 令，则，‎ 设，‎ ‎①当时，，‎ ‎②当时，函数的对称轴为（或）‎ 当（或），即时，‎ 当（或），即时，‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的模长公式和角角公式求解，三角换元法在三角函数中的应用，含参二次函数在给定区间最值的求法，属于难题 ‎22.已知：函数，.‎ ‎（1）若的定义域为，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若，对于任意总成立.求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，当参数时，恒成立，符合题意；当参数时，满足，解不等式组即可；‎ ‎（2）将不等式等价转化为在上恒成立，令，不等式组化为，，再采用分离参数法，通过求解关于的函数最值，进而求解参数范围 ‎【详解】（1）函数的定义域为，即在上恒成立， ‎ 当时，恒成立，符合题意 当时，必有 综上：的取值范围是 ‎（2）‎ ‎，对任意总成立，‎ 等价于在总成立 即：在上恒成立 - 18 -‎ 设：，因为，所以，‎ 不等式组化为 时，（当且仅当时取等号）‎ 时，不等式组显然成立 当时，恒成立 ‎，即 在上递减，所以的最小值为，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查由具体函数定义域范围求解参数范围，由不等式恒成立求解参数取值范围，分离参数法的应用，转化与化归能力，计算能力，属于难题 - 18 -‎ - 18 -‎