高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-3-2-2　基本不等式的应用 35页

第 2 课时　基本不等式的应用 关键能力 · 合作学习 类型一　利用基本不等式求两个变量的最值问题 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 题组训练 】 　角度 1 　常数代换法  【 典例 】 已知 a>0,b>0,a+b=1, 则 的最小值为 　　　　 .  【 思路导引 】 把“ 1” 代换为“ a+b”( 或者在 上乘以 (a+b), 构造成基本 不等式的原型 , 进而求出最小值 . 【 解析 】 因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 即 的最小值为 4, 当且仅当 a=b= 时等号成立 . 答案 : 4 【 变式探究 】 (1) 本例的条件和结论互换即 : 已知 a>0,b>0, =4, 则 a+b 的最小值为 　　　　 .  【 解析 】 由 =4, 得 =1. 所以 a+b= (a+b)= 当且仅当 a=b= 时取等号 . 答案 : 1 (2) 若本例条件变为 : 已知 a>0,b>0,a+2b=3, 则 的最小值为 　　　　 .  【 解析 】 由 a+2b=3 得 所以 当且仅当 a=2b= 时 , 取等号 . 答案 : 　角度 2 　消元法  【 典例 】 已知 a>0,b>0, 且 2a+b=ab-1, 则 a+2b 的最小值为 　　　　 .  【 思路导引 】 先把 2a+b=ab-1 变形为用 b 表示 a 的形式 , 再把 a+2b 中的 a 消去 , 配凑成能利用基本不等式求解的式子 . 【 解析 】 由 2a+b=ab-1, 得 a= , 因为 a>0,b>0, 所以 a= >0,b+1>0, 所以 b>2, 所以 a+2b= +2b= +2(b-2)+4 =2(b-2)+ +5≥ 当且仅当 2(b-2)= , 即 b=2+ 时等号成立 . 答案 : 5+2 【 解题策略 】 1. 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题 . 应用此种方法求解最值的基本步骤为 : (1) 根据已知条件或其变形确定定值 ( 常数 ). (2) 把确定的定值 ( 常数 ) 变形为 1. (3) 把“ 1” 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除 , 进而构造和或积的形式 . (4) 利用基本不等式求解最值 . 2. 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题 , 若无法直接利用基本不等式求解 , 可尝试减少变量的个数 , 即用其中一个变量表示另一个 , 再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题 . 【 题组训练 】 1. 已知 a>0,b>0,a+b=2, 则 y= 的最小值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.4 C. D.5 【 解析 】 选 C. 依题意 , 得 ·(a+b) 当且仅当 即 a= ,b= 时取等号 , 即 的最小值是 . 2.(2020· 天津高考 ) 已知 a>0,b>0, 且 ab=1, 则 的最小值为 　　　　 .  【 解析 】 因为 a>0,b>0, 所以 a+b>0, 又 ab=1, 所以 = = =4, 当且仅当 a+b=4 时取等号 , 结合 ab=1, 解得 a=2- ,b=2+ , 或 a=2+ ,b=2- 时 , 等号成立 . 答案 : 4 【 补偿训练 】 若正数 x,y 满足 x 2 +3xy-1=0, 则 x+y 的最小值是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【 解析 】 选 B. 对于 x 2 +3xy-1=0 可得 y= 所以 x+y= ( 当且仅当 = , 即 x= 时等号成立 ). 类型二　利用基本不等式证明不等式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 已知 a,b,c 为正实数 , 且 a+b+c=1, 求证 : ≥8. 【 解题策略 】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1) 策略 : 从已证不等式和问题的已知条件出发 , 借助不等式的性质和有关定理 , 经过逐步的逻辑推理 , 最后转化为所求问题 , 其特征是以“已知”看“可知” , 逐步推向“未知” . (2) 注意事项 : ① 多次使用基本不等式时 , 要注意等号能否成立 ; ② 利用同向不等式相加或相乘时要注意不等式成立的前提条件 ; ③ 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合 , 形成基本不等式模型再使用 . 【 跟踪训练 】 设 a,b,c 都为正数 , 求证 : ≥a+b+c. 【 证明 】 因为 a,b,c∈R + , 所以 ∈ R + , 所以 ≥ 2c, ≥2a, ≥2b, 所以 2 ≥2(a+b+c), 所以 ≥ a+b+c, 当且仅当 , 即 a=b=c 时取等号 . 类型三　基本不等式的实际应用 ( 数学建模 ) 【 典例 】 如图 , 动物园要围相同面积的长方形虎笼四间 , 一面可利用原有的墙 , 其他各面用钢筋网围成 . (1) 现有可围 36 m 长网的材料 , 每间虎笼的长、宽各设计为多少时 , 可使每间虎笼面积最大 ? (2) 要使每间虎笼面积为 24 m 2 , 则每间虎笼的长、宽各设计为多少时 , 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小 ? 【 思路导引 】 若 a>0,b>0,(1) 已知 a+b 为定值 , 可以求 ab 的最大值 ;(2) 已知 ab 为定值 , 可以求 a+b 的最小值 . 【 解析 】 设每间虎笼长 x m, 宽 y m, 则由条件知 :4x+6y=36, 即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S, 则 S=xy. (1) 方法一 : 由于 2x+3y≥ 所以 2 ≤18, 得 xy≤ , 即 S≤ , 当且仅当 2x=3y 时 , 等号成立 . 由 解得 故每间虎笼长 4.5 m, 宽 3 m 时 , 可使面积最大 . 方法二 : 由 2x+3y=18, 得 x=9- y. 因为 x>0, 所以 9- y>0, 所以 00, 所以 S≤ 当且仅当 6-y=y, 即 y=3 时 , 等号成立 , 此时 x=4.5. 故每间虎笼长 4.5 m, 宽 3 m 时 , 可使面积最大 . (2) 由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l , 则 l =4x+6y. 方法一 : 因为 2x+3y≥ =24, 所以 l =4x+6y=2(2x+3y)≥48. 当且仅当 2x=3y 时 , 等号成立 . 由 , 解得 故每间虎笼长 6 m, 宽 4 m 时 , 可使钢筋网总长最小 . 方法二 : 由 xy=24, 得 x= . 所以 l =4x+6y= 当且仅当 =y, 即 y=4 时 , 等号成立 , 此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m, 宽 4 m 时 , 可使钢筋网总长最小 . 【 解题策略 】 应用基本不等式解决实际问题的方法 (1) 先理解题意 , 设出变量 , 一般把要求最值的量定为函数 ; (2) 建立相应的函数关系 , 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题 ; (3) 在定义域内 , 求出函数的最大值或最小值 , 正确写出答案 . 【 跟踪训练 】 某镇计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室 . 在温室内 , 沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道 , 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地 . 当矩形温室的边长各为多少时 , 蔬菜的种植面积最大 ? 最大种植面积是多少 ? 【 解析 】 设矩形温室的左侧边长为 a m, 后侧边长为 b m, 蔬菜的种植面积为 S m 2 , 则 ab=800. 所以 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4 =648, 当且仅当 a=2b, 即 a=40,b=20 时等号成立 , 则 S 最大值 =648. 答 : 当矩形温室的左侧边长为 40 m, 后侧边长为 20 m 时 , 蔬菜的种植面积最大 , 最 大种植面积为 648 m 2 . 课堂检测 · 素养达标 1. 若 a>0,b>0, 且 a+b=4, 则下列不等式恒成立的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【 解析 】 选 D.4=a+b≥2 ( 当且仅当 a=b 时 , 等号成立 ), 即 ≤ 2,ab≤4, ≥ ,A,C 不成立 ; = = ≥1,B 不成立 ;a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=16- 2ab≥8. 2. 若 x>0,y>0, 且 =1, 则 xy 有 ( 　　 ) A. 最大值 64 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 64 【 解析 】 选 D. 由题意 , 得 xy= xy=2y+8x≥ 所以 ≥ 8, 即 xy 有最小值 64, 等号成立的条件是 x=4,y=16. 3. 设 02>0, 所以 y= ≤ = =4, 当且仅当 3x=8-3x, 即 x= 时 , 取等号 . 所以当 x= 时 ,y= 有最大值 4. 答案 : 4 4. 已知 x>0,y>0, 且 =1, 则 x+y 的最小值为 　　　　 .  【 解析 】 因为 x>0,y>0, =1, 所以 x+y= (x+y)= +10≥6+10=16, 当且仅当 = , 即 x=4,y=12 时 , 上式取等号 . 故当 x=4,y=12 时 ,(x+y) min =16. 答案 : 16 5. 某游泳馆出售冬季游泳卡 , 每张 240 元 , 其使用规定 : 不记名 , 每卡每次只限一人 , 每天只限一次 . 某班有 48 名同学 , 老师打算组织同学们集体去游泳 , 除需购买若干张游泳卡外 , 每次游泳还需包一辆汽车 , 无论乘坐多少名同学 , 每次的包车费均为 40 元 . 若使每名同学游 8 次 , 每人最少应交多少元钱 ? 【 解析 】 设买 x 张游泳卡 , 总开支为 y 元 , 则每批去 x 名同学 , 共需去 批 , 总 开支又分为 :① 买卡所需费用 240x,② 包车所需费用 ×40. 所以 y=240x+ ×40(0